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Astronomischer Doppler-Effekt-Rechner

Gib Ruhe- und beobachtete Spektralwerte ein, um z zu schätzen und klassische mit relativistischer Geschwindigkeit zu vergleichen.

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Bei großer Rotverschiebung liefert die Abkürzung v = zc die dreifache Lichtgeschwindigkeit

Das Werkzeug zeigt die relativistische Geschwindigkeit und die klassische v = zc nebeneinander, und der Abstand zwischen beiden ist der ganze Punkt. Bei den zwei Wasserstoff-Voreinstellungen liegt z bei etwa 0,006, beide stimmen auf die Stelle überein, die Abkürzung ist also harmlos. Lade dann die Voreinstellung quasar: Lyman-α ist von 121,567 nm auf 486,268 nm gewandert, genau das Vierfache seiner Ruhewellenlänge, also z = 3. Jetzt ergibt v = zc 3c — die dreifache Lichtgeschwindigkeit — während das relativistische β = ((1+z)² − 1)/((1+z)² + 1) auf 0,882c führt. Die Abkürzung überschätzt die Geschwindigkeit um 240 % und verletzt dabei die Physik.

Was eine Rotverschiebung wirklich misst

Eine Spektrallinie ist ein fester Fingerabdruck — Wasserstoff strahlt in Ruhe stets bei 656.28 nm. Miss, wo du diese Linie tatsächlich siehst: Wandert sie zu längerer (röterer) Wellenlänge, entfernt sich die Quelle; bei kürzerer (blauerer) nähert sie sich. Die Rotverschiebung z ist einfach die relative Dehnung. Erscheint H-alpha bei 660 nm statt 656.28 nm, folgt z ≈ 0.0057 — eine Fluchtgeschwindigkeit von rund 1700 km/s.

Rotverschiebung über 100% ohne c zu brechen

Lade die Quasar-Vorgabe: Lyman-alpha verschiebt sich von 121.567 nm auf 486.268 nm, also z = 3, und die Linie vervierfacht sich (1 + z = 4). Das naive v = zc behauptete dreifache Lichtgeschwindigkeit — unmöglich. Die relativistische Formel β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) liefert stattdessen 15/17 ≈ 0.88, sicher unter c. Wie groß z auch wird, β erreicht nie 1.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Fluchtgeschwindigkeit, wenn die Wasserstoff-alpha-Linie einer Galaxie bei 660,00 nm liegt 6 Schritte

    Die H-alpha-Linie einer Galaxie liegt bei 660,00 nm statt bei 656,28 nm. Bestimmen Sie ihre Fluchtgeschwindigkeit exakt und klären Sie, ob die Schulbuchformel v = cz hier ausreicht — und ab wo sie nicht mehr ausreicht.

    0.1 1 z β = 1 1.000 0.600 β = z

    1. Die Rotverschiebung ist als relative Änderung der Wellenlänge definiert und ist die einzige gemessene Größe auf dieser Seite. Alles Weitere ist Arithmetik auf ihrer Grundlage.

      z=λobs−λ0λ0=660.00−656.28656.28=0.00566831z=\frac{\lambda_{\text{obs}}-\lambda_0}{\lambda_0}=\frac{660.00-656.28}{656.28}=0.00566831

    2. Die relativistische Doppler-Formel für eine sich direkt entfernende Quelle kombiniert die klassische Verschiebung mit der Zeitdilatation. Lösen Sie nach β auf — durch Quadrieren beider Seiten wird die Umstellung zu einem Einzeiler.

      1+z=1+β1−β⟹β=(1+z)2−1(1+z)2+11+z=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\quad\Longrightarrow\quad \beta=\frac{(1+z)^{2}-1}{(1+z)^{2}+1}

    3. Setzen Sie ein. Der Zähler ist im Wesentlichen 2z und der Nenner im Wesentlichen 2; deshalb liegt das Ergebnis bei kleiner Rotverschiebung so nahe an z, und deshalb muss die Übereinstimmung zusammenbrechen, sobald z² nicht mehr vernachlässigbar ist.

      (1+z)2=1.01136877,β=0.011368772.01136877=0.0056522(1+z)^{2}=1.01136877,\qquad \beta=\frac{0.01136877}{2.01136877}=0.0056522

    4. Multiplizieren Sie auf beide Arten mit c und vergleichen Sie. Der Unterschied von 4,8 km/s ist weit kleiner als die Pekuliargeschwindigkeit einer Galaxie in einem Haufen, sodass bei dieser Rotverschiebung die Wahl der Formel nicht der begrenzende Fehler ist.

      vrel=βc=1694.501 km/s;vclass=zc=1699.317 km/s;Δ=0.2842%v_{\text{rel}}=\beta c=1694.501\ \mathrm{km/s};\quad v_{\text{class}}=zc=1699.317\ \mathrm{km/s};\quad \Delta=0.2842\%

    5. Erhöht man z, laufen die beiden auseinander. Der klassische Ausdruck besitzt keine Obergrenze; der relativistische hat β → 1 direkt in seiner Algebra verankert.

      z=0.1⇒β=0.09502 (classical is 5.24% high);z=1⇒β=0.600 (classical gives c)z=0.1\Rightarrow\beta=0.09502\ (\text{classical is }5.24\%\ \text{high});\qquad z=1\Rightarrow\beta=0.600\ (\text{classical gives }c)

    6. Ein weiterer Schritt wandelt die Geschwindigkeit in eine Entfernung um. Das Hubblesche Gesetz mit H₀ = 70 km/s/Mpc verortet diese Galaxie in etwa 24 Mpc Entfernung — weit außerhalb der Lokalen Gruppe und eine Distanz, die nichts anderes in der Messung hätte liefern können.

      d=vH0=1694.570=24.2 Mpc≈79 million light yearsd=\frac{v}{H_0}=\frac{1694.5}{70}=24.2\ \mathrm{Mpc}\approx79\ \text{million light years}

    Antwort

    1694,501 km/s gegenüber 1699,317 km/s aus v = cz — eine Überschätzung um 0,28 %. Bei dieser Rotverschiebung ist die Abkürzung harmlos. Sie bleibt eine Weile harmlos und versagt dann abrupt: Bei z = 0,1 liegt sie um 5,2 % zu hoch, und bei z = 1 liefert sie exakt c, was kein großer Fehler, aber eine unmögliche Antwort ist. Die relativistische Formel kann das nicht tun, da β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) sich unabhängig davon, wie groß z wird, von unten der 1 nähert. Setzt man z = 5 ein, liefert sie 0,946c; setzt man bei der Näherungsformel z = 5 ein, ergibt sich das Fünffache der Lichtgeschwindigkeit.

    β=(1+z)2−1(1+z)2+1⇒v=1694.501 km/s\beta=\frac{(1+z)^{2}-1}{(1+z)^{2}+1}\Rightarrow v=1694.501\ \mathrm{km/s}
Quellen (1)

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.