← Mathematik

Reihenkonvergenz-Explorer

Beobachte, wie die Partialsummen wachsen. Konvergiert die Reihe gegen einen endlichen Grenzwert, oder divergiert sie?

Interaktive Simulation wird geladen...

Fünfzig Glieder, sechs richtige Nachkommastellen

Wählst du 1/n² bei N = 50, liefert die Seite S50 = 1,625133. Bis π²/6 fehlen da noch 0,0198. Diese Lücke ist der weggelassene Rest. Dieser Rest entspricht fast einer Fläche: Die Glieder nach dem 50. summieren sich beinahe exakt auf die Fläche unter 1/x² ab 50. Das ist 1/50, abzüglich der Hälfte des 50. Glieds. Fügst du das wieder hinzu, ergibt sich 1,625133 + 0,02 − 0,0002 = 1,644933. Der Wert weicht nur noch in der sechsten Nachkommastelle ab (der Fehler beträgt 1,3 × 10⁻⁶). Die einfache Summe braucht etwa 750.000 Glieder, um so nah heranzukommen. Bei N = 10 liefert dieselbe Korrektur 1,549768 + 0,1 − 0,005 = 1,644768. Drei exakte Nachkommastellen aus zehn Gliedern.

Was eine Partialsumme wirklich ist

Eine unendliche Reihe wird nie auf einen Schlag summiert. Man verfolgt stattdessen die Partialsumme SN, den laufenden Gesamtwert der ersten N Glieder, und beobachtet, wohin er für wachsendes N strebt. Flacht die Kurve im Diagramm zu einer waagerechten Linie ab, konvergiert die Reihe gegen diese Höhe; steigt sie weiter, divergiert sie. Konvergenz ist also nur eine Folge von Summen, die sich beruhigt.

Wie die harmonische Reihe Klötze stapelt

Stapelt man gleiche Klötze an der Tischkante, kann der oberste höchstens um ½ HN überstehen, die Hälfte der N-ten harmonischen Partialsumme. Weil die harmonische Reihe divergiert, hat dieser Überhang keine Grenze — mit genügend Klötzen ragt der oberste vollständig über die Tischkante hinaus und weiter. Schon 4 Klötze überragen eine ganze Klotzlänge, denn H4 ≈ 2.08.

REIHENTHEORIE — WELCHES KONVERGENZKRITERIUM PASST

Das richtige Konvergenzkriterium: Kriterium zur Form wählen

Kein einzelnes Kriterium klärt jede Reihe. Jedes ist auf eine bestimmte Form des allgemeinen Glieds zugeschnitten — konstantes Verhältnis, reine Potenz von n, Fakultät, wechselnde Vorzeichen — und das falsche liefert meist „unentscheidbar“ statt eines falschen Ergebnisses. Lies zuerst das Glied, erkenne seine Form, und das Kriterium ergibt sich von selbst.

Trivialkriterium — beweist nur Divergenz lim an ≠ 0 ⇒ ∑an → ∞
Geometrisch — konstantes Verhältnis der Glieder Σarn, |r| < 1
p-Reihe — reine Potenz von n im Nenner Σ1/np, p > 1
Quotientenkriterium — Fakultäten und n-te Potenzen L = lim |an+1/an|
Alternierend — das Vorzeichen wechselt bei jedem Glied Σ(−1)nbn, bn ↓ 0
Teleskopierend — die Mitte der Summe hebt sich auf Σ[f(n) − f(n+1)]

01

Trivialkriterium — beweist nur Divergenz

Glied hat die Form: Jede beliebige Reihe. Prüfe das zuerst; es kostet einen einzigen Grenzwert.

Kriterium: lim an ≠ 0 ⇒ ∑an → ∞

Rechenbeispiel: Σ1/n hat aₙ → 0, das Kriterium sagt also nichts — und die Reihe divergiert trotzdem.

Diesen Fall öffnen: Harmonisch
Trivialkriterium — beweist nur Divergenz. Die harmonischen Partialsummen steigen weiter, obwohl die einzelnen Glieder verschwinden. Jede beliebige Reihe. Prüfe das zuerst; es kostet einen einzigen Grenzwert.
Die harmonischen Partialsummen steigen weiter, obwohl die einzelnen Glieder verschwinden.

02

Geometrisch — konstantes Verhältnis der Glieder

Glied hat die Form: Jedes Glied ist ein festes Vielfaches des vorigen: aₙ₊₁/aₙ = r, durchgehend dasselbe r.

Kriterium: Σarn, |r| < 1

Rechenbeispiel: Σ(1/2)ⁿ hat r = 1/2, konvergiert also — und die Summe ist exakt a/(1 − r).

Diesen Fall öffnen: Geometrisch
Geometrisch — konstantes Verhältnis der Glieder. Konstantes Verhältnis unter 1: Die Partialsummen legen sich flach auf den exakten Grenzwert. Jedes Glied ist ein festes Vielfaches des vorigen: aₙ₊₁/aₙ = r, durchgehend dasselbe r.
Konstantes Verhältnis unter 1: Die Partialsummen legen sich flach auf den exakten Grenzwert.

03

p-Reihe — reine Potenz von n im Nenner

Glied hat die Form: Das Glied ist 1/nᵖ und sonst nichts: keine Fakultät, kein wechselndes Vorzeichen.

Kriterium: Σ1/np, p > 1

Rechenbeispiel: 1/n² konvergiert (p = 2); 1/n divergiert (p = 1). Die Grenze liegt genau bei p = 1.

Diesen Fall öffnen: p-Reihe
p-Reihe — reine Potenz von n im Nenner. p = 2 kommt schnell zur Ruhe, p = 1 steigt weiter. Die Schwelle liegt genau bei p = 1. Das Glied ist 1/nᵖ und sonst nichts: keine Fakultät, kein wechselndes Vorzeichen.
p = 2 kommt schnell zur Ruhe, p = 1 steigt weiter. Die Schwelle liegt genau bei p = 1.

04

Quotientenkriterium — Fakultäten und n-te Potenzen

Glied hat die Form: Das Glied enthält n!, cⁿ oder nⁿ. Berechne L = lim |aₙ₊₁/aₙ|.

Kriterium: L = lim |an+1/an|

Rechenbeispiel: Σ1/n! ergibt L = lim 1/(n+1) = 0 < 1, konvergiert also — und zwar sehr schnell.

Diesen Fall öffnen: e−1-Reihe
Quotientenkriterium — Fakultäten und n-te Potenzen. 1/n! fällt innerhalb weniger Glieder auf seinen Grenzwert zusammen. Das Glied enthält n!, cⁿ oder nⁿ. Berechne L = lim |aₙ₊₁/aₙ|.
1/n! fällt innerhalb weniger Glieder auf seinen Grenzwert zusammen.

05

Alternierend — das Vorzeichen wechselt bei jedem Glied

Glied hat die Form: Das Glied trägt (−1)ⁿ, und die Beträge fallen stetig gegen null.

Kriterium: Σ(−1)nbn, bn ↓ 0

Rechenbeispiel: Σ(−1)ⁿ⁺¹/n konvergiert gegen ln 2, obwohl Σ1/n divergiert.

Diesen Fall öffnen: Alt. harmonisch
Alternierend — das Vorzeichen wechselt bei jedem Glied. Die Partialsummen schießen abwechselnd über und unter das Ziel und nähern sich dem Grenzwert. Das Glied trägt (−1)ⁿ, und die Beträge fallen stetig gegen null.
Die Partialsummen schießen abwechselnd über und unter das Ziel und nähern sich dem Grenzwert.

06

Teleskopierend — die Mitte der Summe hebt sich auf

Glied hat die Form: Das Glied zerfällt in eine Differenz f(n) − f(n+1), meist per Partialbruchzerlegung.

Kriterium: Σ[f(n) − f(n+1)]

Rechenbeispiel: 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1), also Sₙ = 1 − 1/(n+1) → 1.

Diesen Fall öffnen: Teleskopierend
Teleskopierend — die Mitte der Summe hebt sich auf. Alles zwischen erstem und letztem Glied hebt sich auf, übrig bleibt Sₙ = 1 − 1/(n+1). Das Glied zerfällt in eine Differenz f(n) − f(n+1), meist per Partialbruchzerlegung.
Alles zwischen erstem und letztem Glied hebt sich auf, übrig bleibt Sₙ = 1 − 1/(n+1).
Quellen (2)

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Die 50. Partialsumme von 1 + 1/2 + 1/3 + … 5 Schritte

    Die 50. Partialsumme von 1 + 1/2 + 1/3 + … beträgt 4,499, die Glieder sind auf 0,02 gesunken, und das Quotientenkriterium ergibt 0,98. Alles auf dem Bedienfeld sieht nach Konvergenz aus. Beweisen Sie, dass sie divergiert — und berechnen Sie dann, wie weit man gehen müsste, um 100 zu erreichen.

    1. Schaffen wir zuerst das Quotientenkriterium aus dem Weg. Es vergleicht aufeinanderfolgende Glieder, und für 1/n beträgt dieses Verhältnis (n − 1)/n, was in jedem Fall von unten gegen 1 steigt. Das Kriterium liefert unentscheidbar, nicht konvergiert. Eine Seite, die 0,98 ohne dieses Wort ausgeben würde, wäre durch Auslassung irreführend.

      ∣a50a49∣=4950=0.98 ⟶ 1(test inconclusive)\left|\frac{a_{50}}{a_{49}}\right|=\frac{49}{50}=0.98\ \longrightarrow\ 1\quad(\text{test inconclusive})

    2. Der Beweis stammt von Oresme und ist sieben Jahrhunderte alt. Fasst man die Glieder in Blöcken zusammen, die jeweils bei einer Zweierpotenz enden: 1/3 + 1/4 ist größer als 1/2, die nächsten vier Glieder sind größer als 1/2, die nächsten acht ebenfalls. Jeder Block trägt mindestens ein Halbes bei, und es gibt unendlich viele Blöcke.

      ∑n=12m1n ≥ 1+m2⟹unbounded\sum_{n=1}^{2^m}\frac1n\ \ge\ 1+\frac{m}{2}\quad\Longrightarrow\quad \text{unbounded}

    3. Das beweist zwar die Divergenz, liefert aber keine Geschwindigkeit, und erst die Geschwindigkeit macht die Divergenz angesichts einer gedruckten Summe von 4,5 glaubwürdig. Ein Vergleich der Summe mit ∫dx/x liefert eine: Die Partialsummen folgen ln n plus einer Konstanten, und diese Konstante ist γ.

      Hn=ln⁡n+γ+12n+O(n−2),γ=0.5772157H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+O(n^{-2}),\qquad \gamma=0.5772157

    4. Testen wir es. ln 50 + γ = 4,489239 gegenüber den gedruckten 4,499205, und die verbleibenden 0,009967 sind das nächste Glied der Entwicklung, 1/2n = 0,01. Die Näherung ist nicht bloß nah; sie ist auf eine Weise nah, die ihren eigenen Fehler vorhersagt.

      ln⁡50+γ=4.489239,4.499205−4.489239=0.009967≈12×50\ln 50+\gamma=4.489239,\qquad 4.499205-4.489239=0.009967\approx\frac{1}{2\times50}

    5. Kehren wir es also um. Eine Summe von 10 benötigt etwa e^(10−γ) ≈ 12 000 Glieder. Eine Summe von 100 benötigt e^(100−γ).

      Hn=100 ⟹ n≈e 100−γ=1.5×1043H_n=100\ \Longrightarrow\ n\approx e^{\,100-\gamma}=1.5\times10^{43}

    Antwort

    Das Werkzeug gibt nach 50 Gliedern 4,499205 aus und nennt die Reihe divergent, und beides ist zugleich wahr — was die gesamte Schwierigkeit dieses Beispiels ausmacht. Die Summe wächst wie ln n, überschreitet also schließlich jedes endliche Ziel. Das Erreichen von 10 dauert etwa 12 000 Glieder; das Erreichen von 100 dauert 1,5 × 10⁴³. Divergenz ist eine Aussage über die Ewigkeit, nicht über die nächsten paar Tausend Glieder, und 1/n ist der Standardbeweis dafür, dass dies nicht dasselbe ist. Stellt man die Reihe auf 1/n² um, pendeln sich dieselben 50 Glieder bei 1,625 ein und bleiben dort: π²/6 ist 1,645, und der gesamte unendliche Rest ist 0,02 wert.

    H50=4.499205,Hn∼ln⁡n ⟹ Hn=100 at n≈1.5×1043H_{50}=4.499205,\qquad H_n\sim\ln n\ \Longrightarrow\ H_n=100\ \text{at}\ n\approx1.5\times10^{43}

Lernpfad

Unendliche Reihen und Konvergenz

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.