量子ランダムウォーク

10ステップ、2つのウォーカー。一方は各ステップで公平なコインを投げて±1移動する。他方はコイン状態 |0⟩ から出発し、毎回の移動の前にコインにアダマールゲートを適用する。両者の広がりを正確に算出し、古典ウォーカーが同じ広がりをカバーするのに必要なステップ数を求めよ。

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1. 古典的なステップは独立であり、各ステップが正確に 1 の分散に寄与するため、分散は足し合わされる。この一行が古典解のすべてであり、上のパネルがシミュレーションではなく平方根を表示する理由でもある。

   $$\sigma_c^2=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{10}=10\quad\Longrightarrow\quad\sigma_c=\sqrt{10}=3.1623$$

2. 量子ウォーカーは分岐を選択することはない。各サイトでコインの値ごとに1つずつ、計 2 つの振幅を保持する。アダマールゲートはそれらを和と差で置き換え、|0⟩ の成分は左へ、|1⟩ の成分は右へ移動する。サイトは両隣から受信し得るため、振幅は足し合わされ、差が 0 になることもある。

   $$(a_0,a_1)_x\ \longrightarrow\ \tfrac{a_0+a_1}{\sqrt2}(1,0)_{x-1}+\tfrac{a_0-a_1}{\sqrt2}(0,1)_{x+1}$$

3. 原点で (1, 0) から開始し、2 ステップ進める。各ステップから因子 1/√2 を外に括り出すと振幅は整数のまま保たれるため、ステップ n の後、以下のペアはすべて 2^n/2 で除される。

   $$n=1:\ (1,0)_{-1},\,(0,1)_{+1}\qquad n=2:\ (1,0)_{-2},\,(1,1)_{0},\,(0,-1)_{+2}$$

4. ステップ 3 で対称性が崩れる。原点のサイトは (1, 1) を保持しており、左方向に 1 + 1 = 2 を、右方向に 1 − 1 = 0 を送り出す。アダマール行列の最下行にあるマイナス符号が、そのサイトの右方向への寄与を完全に打ち消し、x = −1 は x = +1 の 5 倍の確率を持つようになる。

   $$n=3:\ (1,0)_{-3},\,(2,1)_{-1},\,(-1,0)_{+1},\,(0,1)_{+3}\ \Longrightarrow\ p(-1)=\tfrac58,\ p(+1)=\tfrac18$$

5. ステップ 10 まで計算を進める。振幅は依然として 2⁵ を分母とする整数であるため、すべての確率は 1024 を分母とする整数となる。以下の 11 個の分子は厳密な値であり、それらの和は 1024 になる。

   $$n=10:\ 1024\,p(x)=1,82,449,64,100,72,52,64,89,50,1\quad(x=-10,-8,\ldots,+10)$$

6. リストから最も大きい分子を直接読み取る。それは 449 であり、原点からも遠い端からも十分離れた x = −6 に位置している。

   $$\max_x p_q(x)=p_q(-6)=\tfrac{449}{1024}=0.4385$$

7. 平均は 0 ではない。|0⟩ は左に移動する側のコイン状態であり、ステップ 3 ですでにそれが大きな割合を占めることが示されているため、分布全体がそちらに偏る。

   $$\mu=\sum_x x\,p(x)=-\tfrac{2512}{1024}=-2.4531$$

8. 分散は 2 乗平均から平均の 2 乗を引いたものであり、どちらの総和も同じ 11 個の分子から得られるため、新たな情報は必要ない。

   $$\sigma_q^2=\sum_x x^2p(x)-\mu^2=\tfrac{30672}{1024}-6.0177=23.935\ \Longrightarrow\ \sigma_q=4.8924$$

9. ステップ 1 で求めた古典的な広がりで割る。

   $$\dfrac{\sigma_q}{\sigma_c}=\dfrac{4.8924}{3.1623}=1.5471$$