レート制御シミュレーター

アクションシーン、CRF 23、4フレームのバッファ。CBR の最も低いフレーム品質は、このモデルが許可する最大値 85 のうち 60 と評価される。ルールはすべてページ上に示されている。CRF は各フレームの複雑さに比例したビットを割り当て、CBR は一律 2000 ビットを支払った上で 4 フレーム分を保持するバッファから補充を行い、CBR の品質は供給量を需要量で割った値の平方根の 85 倍となる。この 60 を導出せよ。

1. CRF の割り当てはシーンの平均複雑さを基準に記述されているため、その平均をとると直ちに平均値へと戻る。シーンや CRF の値が何であれ、平均は目標値である 2000 ビットになる。その表示値は測定値ではなく定義である。

   $$\bar b=\frac{1}{120}\sum_{i=1}^{120}B\,\frac{c_i}{\bar c}=B=2000\ \mathrm{bits/frame}$$

2. 情報を与えてくれるのはピーク値である。2000 に対する 4078 という数値は、最も負荷の高いフレームが平均複雑さの 2.039 倍であることを示している。生成器は複雑さの上限を 0.95 に制限しているため、このシーンの平均複雑さは 0.466 でなければならない。

   $$\frac{b_{\max}}{\bar b}=\frac{c_{\max}}{\bar c}=\frac{4078}{2000}=2.039\ \Longrightarrow\ \bar c=\frac{0.95}{2.039}=0.466$$

3. CBR も同じ曲線に直面する。フレームごとの需要量は CRF 割り当てと同じ式で表されるため、CRF が 4078 ビットを支払うフレームは、CBR も 4078 ビットを要求されるものの 2000 ビットしか受け取れないフレームとなる。

   $$D_t=B\,\frac{c_t}{\bar c}=b_t\ \Longrightarrow\ D_{\max}=4078,\quad B=2000$$

4. それを補うのがバッファの役割である。満たされた状態では 8000 ビットを保持し、供給量を 5040 まで引き上げる。これは最も厳しいフレームが求める 4078 を余裕で上回る。満杯のバッファはピークを完全に隠し、品質が 85 から低下することはない。

   $$S=B+0.38\beta,\quad \beta_{\max}=4\times2000=8000\ \Longrightarrow\ S_{\max}=5040$$

5. 実際には品質は 85 から低下するため、バッファが満杯であるはずがない。代わりにバッファを空と仮定する。供給量はわずか 2000 であり、比率は 0.4904、その平方根は 0.7003 となり、これに 85 を掛けた値は 59.5 となる。パネルはこれを四捨五入して 60 と表示する。表示された最小値は、バッファが空のときの下限値と正確に一致する。

   $$\beta=0:\quad\frac{S}{D}=\frac{2000}{4078}=0.4904,\quad Q=85\sqrt{0.4904}=59.5\to60$$

6. バッファは、需要が割り当てを超えた分だけ枯渇していく。ピークフレームではそれが 2078 ビットとなる。8000 ビットのバッファは、これの 3.85 フレーム分に相当する。このシーンの負荷の高い区間は 40 フレーム続く。

   $$\beta_{t+1}-\beta_t=B-D_t=-2078\ \Longrightarrow\ \frac{8000}{2078}=3.85\ \mathrm{frames}$$

どちらのモードもこのシーンでフレームあたり同じ 2000 ビットを費やす。CRF の品質ラインは 89.8 に位置し、CBR の平均は 79 である。この 10.8 ポイントの差が何によってもたらされているか、そしてそれが CRF のステップ数でどれほどのコストに相当するかを導出せよ。

1. CRF のスコアはスライダーのみから定まる。CRF 18 から CRF 40 までの 22 ステップにわたって 45 ポイントが割り振られている。CRF 23 は 5 ステップ下であるため、89.8 となる。

   $$Q^{\mathrm{CRF}}=100-\frac{23-18}{22}\times45=100-10.227=89.8$$

2. したがって、スケール上のどこであれ 1 ステップは 2.045 ポイントに相当する。このモデルは CRF 品質を線形にしており、これにより後で差をステップ数に換算することが可能となる。

   $$\frac{\Delta Q}{\Delta\,\mathrm{CRF}}=\frac{45}{22}=2.045$$

3. ビットレートは単に似ているだけでなく、完全に同一である。CRF は構造上目標値を平均し、CBR はすべての単一フレームで目標値を支払うため、両者とも 120 フレーム全体で 240,000 ビットを生成する。

   $$\bar b^{\mathrm{CRF}}=2000,\quad b^{\mathrm{CBR}}_i=2000\ \forall i\ \Longrightarrow\ 120\times2000=240\,000\ \mathrm{bits}$$

4. したがって、89.8 と 79 の間の 10.8 ポイントの差にビットレートの違いは一切存在しない。同じビット数、同じファイルサイズでありながら、10.8 ポイント離れている。

   $$\Delta Q=89.8-79=10.8$$

5. この差は 2 つに分かれる。CBR は容易にクリアできるフレームであっても 85 に制限されており、これが CRF の 89.8 に対して 4.8 ポイントの損失となる。そして残りの 6.0 ポイントは、バッファに余裕がなくなったフレームで失われる。

   $$89.8-85=4.8,\qquad 85-79=6.0,\qquad 4.8+6.0=10.8$$