偶然の集中(連続パターンのパラドックス)

公正なコインを100回投げたとき、そのどこかで6回連続して同じ結果が出るかどうかが問題である。条件を回避する系列を数え上げるが、2¹⁰⁰通りの系列を1つずつ数えるわけではない。

1. 系列を極大ランに分割する。6連続の発生を回避するということは、すべてのランの長さが5以下であることを意味するため、数え上げる対象は100を1から5までの数の順序付きの和として表す方法の数となり、最初の投擲がどちらの面でもよいため2倍される。その総数を R(i) と置くと、長さ j の先頭のランの後に R(i − j) が残るため、許容される5通りの長さによって5つの項が得られる。

   $$R(i)=R(i-1)+R(i-2)+R(i-3)+R(i-4)+R(i-5),\qquad R(0)=1$$

2. 個数の代わりに確率で扱うために 2^N で割ると、長さ j の各部分は 2^−j という因子を伴う。6回未満の投擲は無条件で安全であるため、q₁ から q₅ までは 1 となり、最初の計算値は手計算で検証できる。6回投擲の64通りの系列のうち、すべて同じ面になるのは正確に2通りであるため、q₆ = 31/32 となる。

   $$q_N=\frac{2R(N)}{2^{N}}=\sum_{j=1}^{5}2^{-j}q_{N-j},\qquad q_6=\tfrac{31}{32}$$

3. 11回以下の投擲までは近道が存在する。6連続のランが2つ並ぶには12回の投擲が必要だからである。それ未満では2つの連続を含む系列は存在しないため、連続が発生する確率はその期待値と正確に一致する。すなわち、第1投から始まるランの確率は 2/64 であり、それ以降の開始位置では（直前の投擲が異なる面である必要があるため）それぞれ 1/64 となる。N = 10 のとき、この値は 6/64 となるため、一切の近似なしに q₁₀ = 29/32 = 0.90625 となる。

   $$1-q_N=\frac{2}{64}+\frac{N-6}{64}=\frac{N-4}{64}\ \ (6\le N\le 11)$$

4. 11回を超えるとイベントが重複して数え上げの近道は使えなくなるが、漸化式は安定した等比級数的な減衰へと収束する。q_N = Ax^N を代入すると、2x の5つの累乗の和が 1 となり、等比級数の公式によってこれら5つの項が1つの式 y = 2 − y⁻⁵ （ただし y = 2x）にまとめられる。y = 2 から反復計算を行うと、4ステップ — 1.968750, 1.966190, 1.965969, 1.965950 — で y = 1.965948 へと収束し、x = 0.982974 が得られる。

   $$1=\sum_{j=1}^{5}(2x)^{-j}\ \Longrightarrow\ y=2-y^{-5},\quad y=2x=1.965948$$

5. N = 10 における正確な基準点から N = 100 の目標点までは90回の投擲がある。N = 10 では等比級数的減衰が始まったばかりであるため、これは近似に過ぎないが、誤差の補正は十分急速に減衰するため、ツールが正確な漸化式から出力する2桁の小数点を再現する。

   $$q_{100}\approx q_{10}\,x^{90}=0.90625\times0.982974^{90}=0.1932\ \Longrightarrow\ P=0.8068$$