複利計算ツール

30年間で金利が1パーセントポイント変わるとどのような価値が生まれ、それは複利計算の頻度を増やすことと比べてどうなのだろうか。このツールでは、P = 1,000を名目年率7%の月次複利で30年間運用し、併せて連続複利極限を描画している。

1. 月次複利では年率を12等分し、その各部分をその時点で増えた残高に適用する。30年間とは、その分割が360回繰り返されることである。

   $$i=\frac{r}{n}=\frac{0.07}{12}=0.0058\overline{3},\qquad N=nt=12\times30=360$$

2. 各ステップは残高に同じ倍率を掛けるため、30年全体では、その1つの倍率を分割回数分だけ累乗したものとなる。

   $$A=P(1+i)^{N}=1000\,(1.0058\overline{3})^{360}=8116.50,\qquad I=A-P=7116.50$$

3. 連続複利モデルは360回のステップを極限に置き換えたものであり、金利と時間が積 rt としてしか現れないため、扱う価値のある形式である。これら2つのモデルの差は、一方を他方に置き換えても答えが実質的に変わらないことを確認するための検証となる。

   $$A_c=Pe^{rt}=1000\,e^{0.07\times30}=8166.17,\qquad \Delta=A_c-A=49.67\ (0.61\%)$$

4. rがδだけ変化するとrtはtδだけ変化するため、最終残高にはe^tδが掛けられることになる。これは運用期間のみによって決まる倍率であり、Pは含まれない。6%における正確な月次複利残高を再計算することで、この簡便法が信頼できるかどうかを検証する。

   $$\frac{A(r+\delta)}{A(r)}\approx e^{t\delta}:\quad e^{-0.30}=0.7408\quad\text{vs}\quad\frac{1000(1.005)^{360}}{8116.50}=\frac{6022.58}{8116.50}=0.7420$$

5. ここで問いを逆転させてみよう。無限回（連続）の複利計算によって得られたのと同じ金額を得るには、金利がどれだけ変化すればよいのだろうか。

   $$e^{t\delta}=1+\frac{\Delta}{A}\ \Longrightarrow\ \delta=\frac{\ln(1.006120)}{30}=\frac{0.006101}{30}=2.03\times10^{-4}$$

パネルは 10,000 を、年 7%・月複利の 30 年で 81,164.97 に変えます。これを暗算する人はいません。だから誰もが代わりに「72 の法則」を持ち出します——お金はおよそ 72/7 ≈ 10.3 年で 2 倍になる、と。この 72 はどこから来て、いつ嘘をつくのでしょうか。

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1. パネルの数から始めましょう。倍化時間はすでにその中に隠れています。

   $$A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=10\,000\left(1+\frac{0.07}{12}\right)^{360}=81\,164.97,\qquad I=A-P=71\,164.97$$

2. 元本で割り、それが 2 の何乗かを問います。30 年で 3 回とすこしの倍化ですから、1 回の倍化には 9.9310 年。ここで元本が約分で消えたことに注目してください。だから「いくらから始めたか」を誰も尋ねないのです。

   $$\frac{A}{P}=8.1165=2^{\,3.0209}\ \Longrightarrow\ t_2=\frac{30}{3.0209}=9.9310$$

3. 比から読み取るのではなく、きちんと導きましょう。残高を元本の 2 倍とおいて解きます。P が消えるのは同じ理由で、答えは上の道筋と小数第 4 位まで一致します。

   $$2P=P\left(1+\tfrac{r}{n}\right)^{nt_2}\ \Longrightarrow\ t_2=\frac{\ln2}{n\ln\!\left(1+r/n\right)}=\frac{0.693147}{12\ln(1.00583\overline{3})}=9.9310$$

4. では俗説と比べます。72 の法則は年複利を前提に語られるので n = 1 とすると、正確な倍化時間は 10.2448 年、法則は 10.2857 年。10 年に対して 15 日のずれです。

   $$n=1:\quad t_2=\frac{\ln2}{\ln1.07}=10.2448\qquad\frac{72}{7}=10.2857\qquad \Delta=0.0409\ (\approx15\ \mathrm{d})$$

5. では 72 はどこから来るのか。倍化時間にパーセント表示の利率を掛けると、r はほとんど約分されます。対数を第 2 項まで展開すると、残るのは定数ではなく、69.31 に利率とともに増える小さな補正が付いたものです。

   $$100\,r\,t_2=\frac{100\,r\ln2}{\ln(1+r)}\approx\frac{100\,r\ln2}{r\left(1-\tfrac r2\right)}=\frac{69.31}{1-\tfrac r2}\approx69.31\left(1+\tfrac r2\right)$$

6. これを 3 つの利率で評価します。真の「定数」は上昇していき、72 はそれが 8% あたりで通過する値にすぎません——人々が実際に議論する利率帯に合わせた妥協です。

   $$r=2\%:\ 70.01\qquad r=8\%:\ 72.05\qquad r=15\%:\ 74.39$$

7. ひとつ説明が残ります。69.31 は四捨五入すれば 69 であり、低利率では 70 のほうが 72 より正確です。しかしどちらも勝ちませんでした。

   $$72=2^{3}\cdot3^{2}\ \Rightarrow\ 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72\qquad 70=2\cdot5\cdot7\ \Rightarrow\ 1,2,5,7,10,14,35,70$$