Duração do dia e a equação do tempo

O dia mais curto em Nova Iorque em 2026 é 21 de dezembro, e o seu pôr do sol mais cedo calha a 8 de dezembro. De onde vêm esses treze dias, e será que todas as latitudes os têm?

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1. O pôr do sol é o meio-dia solar mais metade do dia. O meio-dia solar no relógio é 720 − 4λ − E + 60Z minutos após a meia-noite, sendo λ a longitude leste, Z o fuso horário e E a equação do tempo. Nem λ nem Z mudam ao longo do ano, por isso apenas duas grandezas podem mover o pôr do sol: E e a duração do dia D.

   $$t_{\mathrm{set}} = (720 - 4\lambda + 60Z) - E + \tfrac{1}{2}D$$

2. Nas três semanas anteriores ao solstício, a ferramenta coloca o meio-dia solar às 11:45 no dia 1 de dezembro e às 11:54 a 21 de dezembro, o que corresponde a 705,1 e 714,2 minutos após a meia-noite. O meio-dia escorregou 9,1 minutos para mais tarde, e o único termo que varia é a equação do tempo, que cai de +10,92 min para +1,84 min.

   $$\Delta(-E) = 714.2 - 705.1 = +9.1\ \mathrm{min}$$

3. Durante essas mesmas semanas, o dia encurta de 568,4 para 555,0 minutos, o que a ferramenta exibe como 9h 28m e 9h 15m. O pôr do sol assume metade dessa variação, perdendo assim 6,7 minutos.

   $$\tfrac{1}{2}\Delta D = \tfrac{1}{2}(555.0 - 568.4) = -6.7\ \mathrm{min}$$

4. Somando ambas as parcelas, o pôr do sol atrasa-se 2,4 minutos, passando de 989,3 para 991,7 minutos após a meia-noite, ao longo de três semanas em que o dia encolheu 13,3 minutos.

   $$\Delta t_{\mathrm{set}} = +9.1 - 6.7 = +2.4 \quad 989.3 \to 991.7\ \mathrm{min}$$

5. O ponto de viragem é a data em que os dois ritmos se anulam. A 8 de dezembro, dE/dn é −0,441 minutos por dia e metade de dD/dn é −0,433, praticamente iguais, e a ferramenta imprime o pôr do sol às 16:28 com um dia de 9h 21m. Trata-se do pôr do sol mais cedo do ano.

   $$\frac{dE}{dn} = \frac{1}{2}\frac{dD}{dn} \;\Longrightarrow\; -0.441 \approx -0.433$$

6. Consideremos agora todas as latitudes ao mesmo tempo. D depende da latitude, mas a sua variação ao longo do ano é determinada apenas pela declinação. Num solstício, a declinação é estacionária, pelo que dD/dn quase se anula, seja qual for a latitude. Resta dt/dn = −dE/dn, que vale +0,497 minutos por dia em 21 de dezembro e não depende da latitude. Ao percorrer, em centésimos de grau, o intervalo entre 66° S e 66° N, a taxa real vai de +0,497 no equador a +0,411 nas extremidades, sem nunca se tornar negativa. Assim, o pôr do sol mais cedo não ocorre no solstício de dezembro em nenhuma dessas latitudes. O argumento deixa de valer precisamente onde «quase se anula» já não é verdade. A 65,72° N, no solstício de junho, o dia dura 23 h 47 min; dois centésimos de grau mais a norte, dura 24 h completas. Nessa zona, dD/dn está longe de ser desprezável e o pôr do sol ocorre efetivamente 0,11 minutos mais cedo a cada dia. Essa faixa tem apenas alguns centésimos de grau de largura.

   $$\left.\frac{dD}{dn}\right|_{n_{\mathrm{sol}}} \to 0 \;\Rightarrow\; \left.\frac{dt_{\mathrm{set}}}{dn}\right|_{n_{\mathrm{sol}}} = -\frac{dE}{dn} = +0.497 > 0$$

A 3 de novembro, com o relógio em GMT, o meio-dia solar de Londres calha às 11:44. Calcule quanto teria de se deslocar para leste para que um relógio de tempo médio concordasse com o relógio de sol, e decida depois se um relógio de sol alguma vez poderia ter dado a longitude no mar.

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1. O meio-dia solar é o meio-dia médio deslocado por duas causas, e aqui só uma conta. Londres está a menos de um milésimo de grau do meridiano, pelo que todo o desvio é a equação do tempo, que o painel indica como +16,46 minutos.

   $$t_{\mathrm{noon}} = 720 - 4\lambda - E + 60Z = 720 - 4(-0.0015) - 16.46 + 0 = 703.5\ \mathrm{min}$$

2. O tempo e a longitude são uma só grandeza em duas unidades, a um ritmo fixado pela rotação da Terra: uma volta completa em 1.440 minutos.

   $$\frac{1440\ \mathrm{min}}{360^\circ} = 4\ \mathrm{min}\ \mathrm{per}\ \mathrm{degree}$$

3. O avanço do relógio de sol vale, portanto, 4,11° de longitude. Um relógio de tempo médio nessa longitude dá meio-dia exatamente quando o dá um relógio de sol de Londres.

   $$\frac{16.46}{4} = 4.11^\circ$$

4. Em distância no terreno, à latitude de Londres, são 285 km para leste.

   $$111.32\cos 51.48^\circ = 69.3\ \mathrm{km}\ \mathrm{per}\ \mathrm{degree}, \qquad 4.11 \times 69.3 = 285\ \mathrm{km}$$

5. E inverte-se. A equação do tempo atinge o mínimo de −14,18 minutos a 11 de fevereiro, pelo que ao longo de um ano o relógio de sol oscila 30,64 minutos, ou seja, 7,66° de longitude.

   $$E_{\max} - E_{\min} = 16.46 - (-14.18) = 30.64\ \mathrm{min} = 7.66^\circ$$

6. No equador essa oscilação são 853 km, e um único minuto de erro de relógio são 27,8 km. É por causa destes dois números que a equação do tempo vem tabelada em todos os almanaques em vez de ser posta de lado.

   $$7.66^\circ \times 111.32 = 853\ \mathrm{km}, \qquad 1\ \mathrm{min} \to 0.25^\circ \to 27.8\ \mathrm{km}$$