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Calculadora de Densidade Planetária

ρ = 3M / 4πR³ — a densidade média é o único número que restringe do que um planeta é feito, sem nunca pousar nele.

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Lição

A teoria — Calculadora de Densidade Planetária

A densidade média é a massa total de um planeta dividida pelo seu volume total — um único número para todo o corpo. Não é a densidade de nada que se possa pegar na mão: é a média da crosta, do manto e do núcleo em conjunto.

O que significa cada símbolo

ρ
a densidade média, apresentada aqui em gramas por centímetro cúbico para que os números sejam comparáveis aos de materiais familiares — a água é 1, o ferro cerca de 7,9.
R
o raio do planeta, 6.371 × 10⁶ m para a Terra. Entra ao cubo, pelo que um erro de 10% no raio altera a densidade em cerca de 30%.
3/4π
a constante geométrica que surge ao assumir uma esfera — nada de físico, apenas a forma.

De onde vem a fórmula

  1. A densidade é a massa sobre o volume: ρ = M / V. Ainda nada sobre planetas.
  2. Assumindo que o corpo é uma esfera, o seu volume é V = (4/3)πR³.
  3. Substituindo e simplificando: ρ = M / ((4/3)πR³) = 3M / (4πR³). É essa a expressão na página e, com a massa e o raio da Terra, resulta em 5.513 g/cm³.
Pressupõe
Uma esfera, e que tanto a massa como o raio são conhecidos. Nenhum dos dois é medido diretamente para um planeta distante: a massa decorre da sua atração gravítica sobre outro corpo, e o raio da quantidade de luz estelar que bloqueia — pelo que a densidade global herda as margens de erro de ambos.
Falha quando
Uma média oculta totalmente a estrutura, e a Terra é o exemplo mais evidente: a média é 5.513 g/cm³, mas o seu núcleo tem sensivelmente o dobro desse valor e a sua crosta cerca de metade. Dois planetas com estruturas muito diferentes podem ter exatamente a mesma densidade média, pelo que o número condiciona aquilo de que um mundo é feito sem nunca o determinar.

densidade como um raio-X planetário

Nunca perfuramos a Terra a mais de 12 km de profundidade, mas ainda assim sabemos que seu núcleo é de ferro. O truque é a densidade média: ρ = 3M/(4πR³). A massa vem da cronometragem das órbitas de luas ou espaçonaves; o raio, de ocultações ou altimetria por radar. A densidade resultante, cruzada com equações de estado para rocha, gelo e ferro sob alta pressão, ajuda a delimitar que mistura de materiais deve existir no interior. Uma densidade abaixo de ~2 g/cm³ descarta uma fração significativa de rocha. Acima de ~5 g/cm³, um grande núcleo de ferro é quase inevitável. Sismologia e medições do momento de inércia refinam o quadro — mas a densidade sozinha faz a maior parte do trabalho antes mesmo de qualquer sonda ser enviada.

o que o empacotamento revela de um mundo

A densidade apenas mede quanto material está comprimido num dado espaço, em gramas por centímetro cúbico. Comparar esse único número entre mundos permite adivinhar do que um planeta é feito sem jamais pousar. Um caso marcante: a densidade média de Saturno é de apenas cerca de 0,69 g/cm³, menos que a água, de modo que um oceano grande o bastante o deixaria flutuar, enquanto a rochosa Terra, com 5,51 g/cm³, é o planeta mais denso do Sistema Solar.

a gravidade falsifica a densidade de um planeta

Planetas grandes comprimem a si mesmos: a própria gravidade aperta o interior, de modo que a densidade média medida fica maior que o valor natural do material. Os astrônomos corrigem isso para obter a densidade não comprimida. Feito isso, é Mercúrio, e não a Terra, que sai como o mais denso, com cerca de 5,3 g/cm³ ante os ~4,4 da Terra, denunciando um núcleo de ferro descomunal que preenche cerca de 83% do seu raio.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

  1. O raio entra ao cubo, por isso um pequeno erro nele é um grande erro na densidade. Os 6.371 × 10⁶ m da Terra dão 5.513 g/cm³. Aumente o raio 10% para 7.008 × 10⁶ e depois baixe-o 10% para 5.734 × 10⁶. Os dois erros são do mesmo tamanho?

    Mostrar a resposta
    Não, e a diferença vale a pena saber-se antes de anunciar uma barra de erro. Dez por cento a mais dá 4.142 g/cm³, uma queda de 25%. Dez por cento a menos dá 7.563 g/cm³, uma subida de 37%. Um cubo não é simétrico em torno de 1: 1.1³ = 1.331 mas 0.9³ = 0.729. O mesmo deslize no raio custa metade mais num dos sentidos, e é da densidade tirada de um raio subestimado que menos se deve fiar.

  2. Carregue em Mercury e depois em Earth. As duas médias saem 5.427 e 5.513 g/cm³, menos de 2% de diferença. Isso faz deles mundos parecidos?

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    Não — e as caixas da massa mostram a armadilha antes de qualquer correção: os 5.972 × 10²⁴ kg da Terra contra os 3.301 × 10²³ de Mercúrio são um fator de dezoito. Um planeta grande comprime-se a si próprio, por isso a média da Terra exagera o que o seu material seria em repouso, enquanto Mercúrio, bem mais leve, quase não se comprime. Corrija isso e os dois trocam de lugar: Mercúrio perto de 5.3 contra os 4.4 da Terra. Uma densidade média é uma restrição forte e uma conclusão fraca: exclui aquilo de que um mundo não pode ser feito muito antes de dizer do que é feito.

Problema resolvido na íntegra

  1. Gravidade superficial a partir da densidade média da Terra de 5,513 g/cm³ e rocha superficial 6 passos

    A massa e o raio da Terra dão uma densidade média de 5,513 g/cm³. A rocha à superfície é de cerca de 2,9. Determine o que isso implica e, em seguida, obtenha a gravidade à superfície a partir dos mesmos dois números.

    1. A densidade média é a massa sobre o volume, e o volume de uma esfera é onde o raio faz o seu trabalho — ao cubo, pelo que um erro de 1% em R é de 3% em ρ.

      ρ=M43πR3=5.972×102443π(6.371×106)3=5.972×10241.0832×1021=5513 kg/m3\rho=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}=\frac{5.972\times10^{24}}{\tfrac{4}{3}\pi(6.371\times10^{6})^{3}}=\frac{5.972\times10^{24}}{1.0832\times10^{21}}=5513\ \mathrm{kg/m^{3}}

    2. Converta para a unidade que os geólogos usam e coloque-a ao lado de uma rocha. O basalto é 2,9, o granito 2,7, e a média da Terra é quase o dobro de ambos.

      ρ=5.513 g/cm3against surface basalt at 2.9 g/cm3\rho=5.513\ \mathrm{g/cm^{3}}\quad\text{against surface basalt at}\ 2.9\ \mathrm{g/cm^{3}}

    3. A gravidade à superfície a partir dos mesmos dados de entrada. O valor de 9,82 está ligeiramente acima do padrão de 9,80665 porque o valor padrão inclui a rotação e a protuberância equatorial, e esta esfera não tem nenhum dos dois.

      g=GMR2=6.674×10−11×5.972×1024(6.371×106)2=9.82 m/s2g=\frac{GM}{R^{2}}=\frac{6.674\times10^{-11}\times5.972\times10^{24}}{(6.371\times10^{6})^{2}}=9.82\ \mathrm{m/s^{2}}

    4. Substitua a densidade de volta na fórmula da gravidade e a massa desaparece. A gravidade à superfície de uma esfera uniforme é proporcional a ρR e a mais nada.

      g=G⋅43πR3ρR2=43πGρR⟹g∝ρRg=\frac{G\cdot\tfrac{4}{3}\pi R^{3}\rho}{R^{2}}=\tfrac{4}{3}\pi G\rho R\quad\Longrightarrow\quad g\propto\rho R

    5. Teste isso num corpo com uma massa muito diferente. A Lua tem 1,2% da massa da Terra, mas 27% do seu raio e 61% da sua densidade, e a fórmula calcula a sua gravidade corretamente.

      Moon: ρ=3340, R=1.737×106 ⟹ g=43πG(3340)(1.737×106)=1.62 m/s2\text{Moon}:\ \rho=3340,\ R=1.737\times10^{6}\ \Longrightarrow\ g=\tfrac{4}{3}\pi G(3340)(1.737\times10^{6})=1.62\ \mathrm{m/s^{2}}

    6. Mais uma linha dá a velocidade de escape, que é a mesma afirmação de energia escrita para um objeto em afastamento em vez de um objeto parado.

      vesc=2GMR=2gR=11 186 m/sv_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2gR}=11\,186\ \mathrm{m/s}

    Resposta

    Isto implica um interior cerca de duas vezes mais denso do que qualquer coisa que se possa pegar. A média é uma média ponderada pelo volume, e a crosta é um erro de arredondamento nesse volume — portanto, se a parte exterior é de 2,9, a parte interior tem de estar muito acima de 5,5 para puxar a média para aí, e o único material cosmicamente abundante com essa densidade é o ferro. Esse único passo aritmético, acessível a qualquer pessoa com o G de Cavendish e um raio médio, é a razão pela qual sabíamos que a Terra tinha um núcleo de ferro muito antes de a sismologia o conseguir ver. Os mesmos dois números dão a gravidade à superfície, e a forma elegante g = (4/3)πGρR mostra que a gravidade depende apenas da densidade e do raio, não da massa — introduzindo os 3340 kg/m³ e 1738 km da Lua, obtém-se 1,62 m/s², que é o valor em que a Apollo caminhou.

    ρ=5.513 g/cm3 ≫ 2.9 ⟹ something much denser is underneath\rho=5.513\ \mathrm{g/cm^{3}}\ \gg\ 2.9\ \Longrightarrow\ \text{something much denser is underneath}
Referências (1)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.