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Simulador do problema dos três corpos

gravidade caótica, divergência entre execuções gêmeas e estabilidade numérica

A carregar a simulação interativa...

por que fica igual a cada atualização da página?

O problema de três corpos é caótico, mas não aleatório. Caos significa que pequenas diferenças nas condições iniciais crescem exponencialmente - mas atualizar a página não muda nada: mesmas posições iniciais, mesmas velocidades, mesmo dt, mesmo algoritmo, mesmo resultado sempre. Caos determinístico e reprodutibilidade computacional são duas coisas diferentes. Para realmente ver o caos: defina a perturbação como 0,000001 e observe a trajetória gêmea tracejada. Ambas as trajetórias começam separadas por 10⁻⁶ e acabam divergindo em caminhos completamente diferentes. Essa separação exponencial é o caos - o expoente de Lyapunov em ação. O gráfico de divergência abaixo das órbitas traça o log₁₀ dessa separação ao longo do tempo; uma linha reta ascendente significa crescimento exponencial.

por que três é o número difícil

Dois corpos que se atraem traçam elipses simples que se repetem infinitamente — esse caso Newton resolveu com papel e lápis. Acrescente um terceiro corpo e a fórmula elegante desaparece: não há equação geral para saber onde cada um vai parar, então o único caminho é avançar a simulação um dt minúsculo de cada vez, exatamente como esta ferramenta faz. Clique na predefinição figura-8 para ver uma das raras exceções — três massas iguais perseguindo-se eternamente por um único caminho em forma de laço.

a solução que existe mas é inútil

Costuma-se dizer que o problema dos três corpos é 'insolúvel', mas em 1912 Karl Sundman provou uma série de potências convergente em t1/3 que fornece as posições dos corpos para todo instante (exceto em condições de colisão tripla). O detalhe: ela converge tão devagar que uma precisão astronômica exigiria da ordem de 108000000 termos — inatingível para qualquer computador. Uma solução formal de fato existe; avançar a simulação passo a passo, como aqui, é simplesmente a única via utilizável.

Problema resolvido na íntegra

  1. Energia da coreografia em figura 8 para 3 massas iguais a partir de condições iniciais 7 passos

    A coreografia em figura de 8 envia 3 massas iguais ao longo de uma única curva fechada. Calcule a sua energia em t = 0 apenas a partir das condições iniciais. Esta é a predefinição da órbita em figura de 8: G = 1, m1 = m2 = m3 = 1, suavização ε = 0. Posições r1 = (−0,97000436, 0,24308753), r2 = −r1, r3 = (0, 0); velocidades v1 = v2 = (0,466203685, 0,43236573), e o momento total é 0.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Esses decimais longos parecem arbitrários. Ao elevá-los ao quadrado e somá-los, revela-se que não o são: os corpos 1 e 2 encontram-se cada um a exatamente 1 unidade da origem, que é onde está o corpo 3.

      ∣r1∣=0.970004362+0.243087532=0.940908+0.059092=1.0000|\mathbf{r}_1|=\sqrt{0.97000436^{2}+0.24308753^{2}}=\sqrt{0.940908+0.059092}=1.0000

    2. O corpo 2 é o reflexo do corpo 1 em relação à origem, pelo que neste instante todos os 3 corpos se encontram sobre uma única linha reta, com o corpo 3 no seu ponto médio. Cada uma das distâncias resulta daí, sem necessidade de uma segunda raiz quadrada.

      r2=−r1⟹r13=r23=1.0000,r12=2.0000\mathbf{r}_2=-\mathbf{r}_1\quad\Longrightarrow\quad r_{13}=r_{23}=1.0000,\qquad r_{12}=2.0000

    3. A lei de Newton agora não precisa de nada mais do que dessas distâncias. O corpo 3 está a 1 unidade de cada um dos outros, enquanto os corpos 1 e 2 estão ao dobro da distância entre si, pelo que a atração entre eles é mais fraca por um fator de 4.

      Fij=Gmimjrij2⟹F12=122=0.2500,F13=F23=1.0000F_{ij}=\frac{Gm_im_j}{r_{ij}^{2}}\quad\Longrightarrow\quad F_{12}=\frac{1}{2^{2}}=0.2500,\qquad F_{13}=F_{23}=1.0000

    4. Aproveite a colinearidade. O corpo 3 é puxado igualmente em direções opostas, pelo que a sua força resultante se anula exatamente. Os corpos 1 e 2 são puxados no mesmo sentido por ambos os parceiros, porque o corpo 3 fica entre eles, de modo que as suas 2 forças se somam como números simples, sem componentes para decompor.

      ∣F3∣=1.0000−1.0000=0.0000,∣F1∣=1.0000+0.2500=1.2500|\mathbf{F}_3|=1.0000-1.0000=0.0000,\qquad |\mathbf{F}_1|=1.0000+0.2500=1.2500

    5. Momento total nulo, com os corpos 1 e 2 a moverem-se de forma idêntica, fixa a velocidade do corpo 3 em −2v1. Isso faz com que a sua energia cinética seja 4 vezes a desses dois, e a soma sobre os 3 reduz-se a um único termo.

      ∑mivi=0, v1=v2 ⟹ v3=−2v1,  KE=12(1+1+4)v12=3v12{\textstyle\sum}m_i\mathbf{v}_i=0,\ \mathbf{v}_1=\mathbf{v}_2\ \Longrightarrow\ \mathbf{v}_3=-2\mathbf{v}_1,\ \ KE=\tfrac12(1+1+4)v_1^{2}=3v_1^{2}

    6. Elevar ao quadrado as 2 componentes de v1 e triplicar é a totalidade do cálculo da energia cinética para 3 corpos.

      v12=0.4662036852+0.432365732=0.404286⟹KE=1.2129v_1^{2}=0.466203685^{2}+0.43236573^{2}=0.404286\quad\Longrightarrow\quad KE=1.2129

    7. A energia potencial também não precisa de vetores — apenas dos inversos das 3 distâncias, e com ε = 0 esses inversos são exatos.

      PE=−G(m1m22+m1m31+m2m31)=−2.5000PE=-G\left(\frac{m_1m_2}{2}+\frac{m_1m_3}{1}+\frac{m_2m_3}{1}\right)=-2.5000

    Resposta

    E = −1,2871, e cada linha da tabela do painel para t = 0 — distâncias, forças entre pares, forças resultantes, ambas as energias e o total — resultou desses 4 decimais e da anulação do momento total. Observe o que acontece às partes: por volta de t = 25,0 a energia cinética subiu para 1,305 e a potencial caiu para −2,592, e o total não se alterou. O sinal é o que carrega uma consequência. Um trio ligado ainda pode perder um membro, mas não de graça: se 1 corpo se afastar sem nada de sobra, o par que fica para trás tem de suportar a totalidade de −1,2871, e 2 massas unitárias com essa energia têm um semieixo maior de 1/(2 × 1,2871) = 0,3885 — menos de 1/5 dos 2,0000 que os separam agora. A ejeção e o endurecimento são o mesmo evento, e o balanço de energia é a razão.

    E=1.2129−2.5000=−1.2871⟹amax⁡=Gm22∣E∣=12(1.2871)=0.3885E=1.2129-2.5000=-1.2871\quad\Longrightarrow\quad a_{\max}=\frac{Gm^{2}}{2|E|}=\frac{1}{2(1.2871)}=0.3885
Referências (1)
YouTube (1)
StarTalk·Neil deGrasse Tyson Explains The Three-Body Problem

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.