Passeio Aleatório Quântico

10 passos, 2 caminhantes. Um lança uma moeda equilibrada em cada passo e desloca-se ±1. O outro começa no estado de moeda |0⟩ e tem a porta de Hadamard aplicada à sua moeda antes de cada movimento. Calcule ambas as dispersões exatamente e, em seguida, determine de quantos passos o caminhante clássico precisa para cobrir a mesma distância.

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1. Os passos clássicos são independentes e cada um contribui com uma variância de exatamente 1, pelo que as variâncias se somam. Essa única linha é toda a resposta clássica — e é a razão pela qual o painel acima apresenta uma raiz quadrada em vez de uma simulação.

   $$\sigma_c^2=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{10}=10\quad\Longrightarrow\quad\sigma_c=\sqrt{10}=3.1623$$

2. O caminhante quântico nunca escolhe um ramo. Mantêm-se 2 amplitudes em cada posição, uma por valor da moeda; a Hadamard substitui-as pela sua soma e pela sua diferença, e depois a metade |0⟩ move-se para a esquerda enquanto a metade |1⟩ se move para a direita. Uma posição pode receber de ambos os vizinhos, pelo que as amplitudes se somam — e uma diferença pode resultar em 0.

   $$(a_0,a_1)_x\ \longrightarrow\ \tfrac{a_0+a_1}{\sqrt2}(1,0)_{x-1}+\tfrac{a_0-a_1}{\sqrt2}(0,1)_{x+1}$$

3. Comece na origem com (1, 0) e execute 2 passos. Extraia o fator 1/√2 de cada passo e as amplitudes mantêm-se como números inteiros, pelo que após o passo n os pares abaixo ficam todos divididos por 2^n/2.

   $$n=1:\ (1,0)_{-1},\,(0,1)_{+1}\qquad n=2:\ (1,0)_{-2},\,(1,1)_{0},\,(0,-1)_{+2}$$

4. O passo 3 é onde a simetria acaba. A posição na origem contém (1, 1): envia 1 + 1 = 2 para a esquerda e 1 − 1 = 0 para a direita. O sinal de menos na linha inferior da Hadamard eliminou a totalidade da contribuição dessa posição para a direita, e x = −1 passa a ter 5 vezes a probabilidade de x = +1.

   $$n=3:\ (1,0)_{-3},\,(2,1)_{-1},\,(-1,0)_{+1},\,(0,1)_{+3}\ \Longrightarrow\ p(-1)=\tfrac58,\ p(+1)=\tfrac18$$

5. Continue o processo até ao passo 10. As amplitudes continuam a ser números inteiros sobre 2⁵, pelo que cada probabilidade é um número inteiro sobre 1024 — os 11 numeradores abaixo são exatos e a sua soma é 1024.

   $$n=10:\ 1024\,p(x)=1,82,449,64,100,72,52,64,89,50,1\quad(x=-10,-8,\ldots,+10)$$

6. Leia o maior numerador diretamente da lista. É 449 e situa-se em x = −6, bem distante quer da origem quer da extremidade oposta.

   $$\max_x p_q(x)=p_q(-6)=\tfrac{449}{1024}=0.4385$$

7. A média não é 0. |0⟩ é a metade da moeda que se move para a esquerda e o passo 3 já mostrou que esta fica com a maior parte, pelo que toda a distribuição se inclina nessa direção.

   $$\mu=\sum_x x\,p(x)=-\tfrac{2512}{1024}=-2.4531$$

8. A variância é a média dos quadrados menos o quadrado da média, e ambas as somas provêm dos mesmos 11 numeradores — não é necessária informação nova.

   $$\sigma_q^2=\sum_x x^2p(x)-\mu^2=\tfrac{30672}{1024}-6.0177=23.935\ \Longrightarrow\ \sigma_q=4.8924$$

9. Divida pela dispersão clássica do passo 1.

   $$\dfrac{\sigma_q}{\sigma_c}=\dfrac{4.8924}{3.1623}=1.5471$$