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De magnitude sísmica a energia

Escalonamento de energia por magnitude de momento em números e proporções simples.

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Três magnitudes são trinta mil vezes a energia

As magnitudes dos terremotos se medem em escalas logarítmicas porque as forças físicas envolvidas abrangem uma faixa enorme. A escala de magnitude de momento, definida como Mw = 2⁄3(log₁₀ M0 − 9,1), escala com o momento sísmico M0, que mede a energia real liberada pelo deslizamento tectônico. Devido ao fator 1.5 na equação de energia-magnitude, um terremoto de magnitude 6 não libera 10% ou 20% mais energia do que um de magnitude 5; ele libera cerca de 31.6 vezes mais energia. Uma liberação de magnitude 8 libera cerca de 31.600 vezes mais energia. Essa distribuição de lei de potência extrema é a razão pela qual pequenos tremores não aliviam o estresse tectônico.

De um número à energia real

Esta ferramenta pega um número abstrato — a magnitude — e o traduz em algo imaginável: uma energia em joules e uma quantidade equivalente de TNT. É essa tradução que torna a escala significativa. Um terremoto de magnitude 6, por exemplo, irradia cerca de 6.3 × 10¹³ J de energia sísmica, aproximadamente o mesmo que a bomba atômica de Hiroshima. Mover a magnitude e ver o número de TNT subir transforma uma escala intangível em uma comparação intuitiva.

O terremoto que encurtou o dia

Uma energia tão grande não apenas sacode o solo: reorganiza o planeta. O terremoto de Tōhoku de magnitude 9.0 no litoral do Japão (2011) deslocou massa suficiente em direção ao centro da Terra para que ela girasse um pouco mais rápido, encurtando o dia em cerca de 1.8 microssegundo, e moveu o eixo em torno do qual a massa terrestre se equilibra em aproximadamente 17 cm. O terremoto de Sumatra de magnitude 9.1 (2004) encurtou o dia ainda mais, perto de 6.8 microssegundos. A escala de energia que você explora é, literalmente, também um relógio.

Equívoco comum

O dano não depende apenas da magnitude. Profundidade, distância, geologia local e qualidade de construção podem dominar o impacto local.

Problema resolvido na íntegra

  1. Rácio de energia de um sismo de magnitude 7 para um de magnitude 6 5 passos

    Um sismo de magnitude 7 está um ponto acima de um de magnitude 6. Calcule a razão de energia — e depois por que razão o popular "dez vezes maior" descreve algo completamente diferente.

    1. A escala de magnitude é definida logaritmicamente em relação à energia, sendo tanto o 1,5 como o 4,8 empíricos. A estrutura que importa é que M se encontra num expoente.

      log⁡10E=1.5M+4.8(E in joules)\log_{10}E=1.5M+4.8\qquad(E\ \text{in joules})

    2. M = 6 dá 10^13,8 joules — comparável a uma pequena arma nuclear, libertada ao longo de alguns segundos.

      E6=101.5(6)+4.8=1013.8=6.31×1013 JE_6=10^{1.5(6)+4.8}=10^{13.8}=6.31\times10^{13}\ \mathrm{J}

    3. M = 7 dá 10^15,3, a partir da mesma expressão com as mesmas constantes.

      E7=101.5(7)+4.8=1015.3=2.00×1015 JE_7=10^{1.5(7)+4.8}=10^{15.3}=2.00\times10^{15}\ \mathrm{J}

    4. A razão é onde as constantes se anulam e apenas a diferença de magnitude subsiste. Assim, o fator por ponto é 10^1,5 = 31,62, independentemente de onde se comece; dois pontos é 10³, exatamente 1000; três pontos é 31 623.

      EM+ΔEM=101.5Δ:Δ=1⇒31.62,  Δ=2⇒1000,  Δ=3⇒31 623\frac{E_{M+\Delta}}{E_M}=10^{1.5\Delta}:\quad \Delta=1\Rightarrow31.62,\ \ \Delta=2\Rightarrow1000,\ \ \Delta=3\Rightarrow31\,623

    5. O valor "dez vezes" não está errado, refere-se à amplitude — o tamanho do traço no sismograma, que cresce realmente dez vezes por ponto. A energia varia com a potência 3/2 disso, que foi de onde o 1,5 na fórmula veio originalmente.

      AM+1=10 AM but EM+1=31.62 EM⟹E∝A3/2A_{M+1}=10\,A_M\ \text{but}\ E_{M+1}=31.62\,E_M\quad\Longrightarrow\quad E\propto A^{3/2}

    Resposta

    A ferramenta apresenta 6,31 × 10¹³ J para o M6 e uma razão de 31,62× por ponto de magnitude. Tanto "dez vezes" como "trinta e duas vezes" estão corretos, e respondem a perguntas diferentes: dez vezes o movimento do solo, trinta e duas vezes a energia. A consequência é que uma escala de magnitude faz com que grandes eventos pareçam comparáveis a pequenos. São necessários 1000 sismos de magnitude 6 para igualar um único de magnitude 8, e 31 623 para igualar um de magnitude 9 — razão pela qual contar sismos não nos diz quase nada sobre quanta energia foi libertada. Ajuste as duas magnitudes para 9 e 6 e leia esse fator diretamente.

    E2E1=101.5 ΔM=31.62 per point, 1000 per two\frac{E_2}{E_1}=10^{1.5\,\Delta M}=31.62\ \text{per point},\ 1000\ \text{per two}
Referências (1)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.