O Princípio da Menor Ação

Escolha uma bola lançada ou uma massa numa mola. Defina a duração do movimento e modifique o movimento real com os dois cursores, mantendo o início e o fim fixos. A página calcula a ação, a energia cinética menos a potencial ao longo do tempo, para o movimento real e para o desviado, mostrando qual é o menor.

Exemplo resolvido — O Princípio da Menor Ação

Ação do movimento real	67,9432 J·s
Ação do movimento desviado	67,9432 J·s
Variação causada pelo desvio	0,0000 J·s
A mesma variação dada pela fórmula Σ cₙaₙ²	0,0000 J·s
Ação da linha reta entre as mesmas extremidades	100,0000 J·s
Altura do arco real no ponto mais alto	4,903 m

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — O Princípio da Menor Ação

A ação de um movimento q(t) entre posições e tempos finais fixos é S = ∫ (K − V) dt, a energia cinética menos a potencial, somadas ao longo do tempo. O princípio de Hamilton dita que o movimento real é aquele para o qual S é estacionária. Assim, qualquer pequena alteração no movimento que mantenha as extremidades fixas não produz variação de primeira ordem em S. Para um desvio a sin(nπt/T) numa massa m com V = ½mω²q², a variação é exatamente (mT/4)((nπ/T)² − ω²) a². Na gravidade uniforme, V = mgq, o cenário é idêntico com ω = 0: um potencial linear em q não acrescenta nada a essa variação.

O que significa cada símbolo

S: a ação, ∫(K − V) dt, em joule-segundos
aₙ: o tamanho de um desvio com n arcos, aₙ sin(nπt/T)
cₙ: o custo desse desvio por metro quadrado, (mT/4)((nπ/T)² − ω²)
ω: a frequência angular da mola, 2π/P; zero na gravidade uniforme

O arco da bola tem menor ação do que a linha reta

Pressione Bola lançada a 20 m. A ação é a energia cinética menos a energia potencial, somadas ao longo do voo: 67,9432 J·s para o arco real. A linha reta entre as mesmas duas extremidades, mantendo-se sempre nivelada, marca 100,0000 J·s, um valor superior. Pressione A mesma, 1 m acima: subir mais alto acrescenta 12,4862 J·s à parte da energia potencial, ∫V dt, mas mover-se rápido o suficiente para ir e voltar em 2 s acrescenta 13,7199 J·s à parte cinética, ∫K dt, e a ação, a diferença entre as duas, aumenta em 1,2337 J·s. Defina o desvio para −1 e a ação volta a ser 69,1769 J·s, subindo a mesma quantia. Nada nesta alteração é de primeira ordem: o aumento corresponde exatamente a 1,2337 vezes o quadrado do desvio. O arco real encontra-se assim no fundo de um vale, tal como o ponto de travessia do nadador-salvador. Os físicos chamam a isto o princípio de Hamilton, e na gravidade uniforme este vale nunca se inverte: a tabela mostra todos os desvios a aumentar a ação, para um lançamento de qualquer duração.

Numa mola, a menor ação dura apenas meio período

Mude para a mola e pressione Mola 1,5 s, um arco. O período da mola é de 2 s, logo o movimento estende-se para além de meio período. Agora o desvio com um arco reduz a ação: com um desvio de 0,2 m, cai de 0,0000 para −0,0822 J·s, e c₁ é −2,0562. Pressione Mola 1,5 s, dois arcos e, em vez disso, a ação sobe para 0,1151 J·s. O movimento real é menor do que certas trajetórias vizinhas e maior do que outras: um ponto de sela, com a mesma forma da miragem no asfalto quente. Até a linha reta entre as mesmas extremidades marca −2,1341 J·s, muito abaixo do movimento real. O motivo reside na força de atração para o centro: um desvio com n arcos custa (mT/4)((nπ/T)² − ω²), e assim que T ultrapassa meio período, π/T desce abaixo de ω e o primeiro desvio inverte-se. O artigo de Gray e Taylor sobre este tema intitula-se, e com justiça, "When action is not least" (Quando a ação não é a menor); eles mostram que a ação é um mínimo para movimentos suficientemente curtos, mas nunca um verdadeiro máximo. O princípio que se mantém verdadeiro para todas as durações é o de que a ação é estacionária.

Em exatamente meio período, um desvio não custa nada

Pressione Mola por meio período. A massa vai desde a posição de 1 m até 1 m no lado oposto em exatamente 1 s. Desvie a trajetória 0,2 m com um arco e a ação não se altera minimamente, marcando 0,0000 J·s. O mesmo acontece com um desvio de qualquer tamanho: a parábola no segundo painel fica completamente plana. O movimento desviado não é uma aproximação de um movimento real. É, de facto, um movimento real: uma massa nesta mola, largada a 1 m com um empurrão, atinge −1 m ao fim de meio período, independentemente da intensidade desse empurrão, pois o período não depende da amplitude. Todos esses movimentos unem as mesmas duas extremidades no mesmo tempo e com a mesma ação. Gray e Taylor chamam à segunda extremidade o foco cinético da primeira. Para além deste ponto, como mostraram as predefinições de 1,5 s, a ação torna-se um ponto de sela.

Problema resolvido na íntegra

Em queda através da Terra 4 passos
Perfure um túnel reto através de uma Terra uniforme e deixe cair uma bola. No interior, a gravidade é proporcional à distância ao centro, logo a bola move-se como uma massa numa mola com ω² = g/R, R = 6.371 km. Até que duração de viagem a ação da bola continua a ser um mínimo, e onde se encontra a bola nesse momento? Pressione Mola 1,5 s, um arco para confirmar o primeiro passo.

Abrir este problema na ferramenta
1. Na mola de 2 s da página, para lá de meio período, o desvio com um arco já reduz a ação:
  
  $P=2\ \mathrm{s},\ T=1{.}5\ \mathrm{s}:\quad c_1=\dfrac{mT}{4}\left(\dfrac{\pi^2}{T^2}-\omega^2\right)=-2{.}0562\ \mathrm{J\,s/m^2}$
2. c₁ muda de sinal onde π/T = ω, o que corresponde a meio período:
  
  $c_1=0\iff\dfrac{\pi}{T}=\omega\iff T=\dfrac{\pi}{\omega}=\dfrac{P}{2}$
3. Para o túnel, com g = 9,80665 m/s²:
  
  $\omega=\sqrt{\dfrac{g}{R}}=\sqrt{\dfrac{9{.}80665}{6{,}371{,}000}}=1{.}2407\times10^{-3}\ \mathrm{s^{-1}},\qquad P=\dfrac{2\pi}{\omega}=5064\ \mathrm{s}=84{.}41\ \mathrm{min}$
4. Metade disso:
  
  $\dfrac{P}{2}=42{.}20\ \mathrm{min},\qquad x\!\left(\tfrac{P}{2}\right)=R\cos\pi=-R$
Resposta

A ação da bola é um mínimo para qualquer viagem mais curta do que 42,20 minutos, e 42,20 minutos é exatamente o tempo que demora a cair de um lado da Terra até ao outro: x = R cos ωt atinge −R em meio período. As viagens que terminam no lado oposto encontram-se no foco cinético e as mais longas, no trajeto de regresso, são pontos de sela. A bola passa pelo centro a ωR = 7,90 km/s.

$T<42{.}20\ \mathrm{min}\iff c_1>0,\qquad v_{\max}=\omega R=7{.}90\ \mathrm{km/s}$

Percurso de aprendizagem

Tempo mínimo, ação mínima

Referências (2)

Whether the action of a true motion is a minimum: a minimum for short enough motions, a trough at the kinetic focus, a saddle beyond it and never a true maximum; the harmonic oscillator's kinetic focus at half a period, the formula for the change made by each Fourier bend, and no kinetic focus in uniform gravity: C. G. Gray and E. F. Taylor, "When action is not least", American Journal of Physics 75(5), 434–458 (2007).
Hamilton's principle derived from Newton's laws for a particle moving in one dimension in a given time, with the footnote that strictly the path need only be stationary: M. Fowler, "Hamilton's Least Action Principle and Noether's Theorem", lecture 4 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

O Princípio da Menor Ação

O que significa cada símbolo

O arco da bola tem menor ação do que a linha reta 🖖

Numa mola, a menor ação dura apenas meio período 🖖

Em exatamente meio período, um desvio não custa nada 🖖

O arco da bola tem menor ação do que a linha reta

Numa mola, a menor ação dura apenas meio período

Em exatamente meio período, um desvio não custa nada