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Analisador de ressonância RLC

Defina os valores de R, L e C para ver a frequência de ressonância, o fator Q e a curva de impedância.

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Lição

A teoria — Analisador de ressonância RLC

Um circuito RLC em série está em ressonância à única frequência em que a reactância do indutor e a reactância do condensador são iguais e opostas, anulando-se por isso exatamente. A essa frequência, o circuito comporta-se como se apenas o resistor lá estivesse.

O que significa cada símbolo

R
resistência, em ohms. O único elemento que dissipa energia e, portanto, a única coisa que limita Q.
L
indutância, em henrys. A sua reactância X_L = 2πfL aumenta com a frequência.
C
capacidade, em farads. A sua reactância X_C = 1/(2πfC) diminui com a frequência — pelo que as duas curvas se cruzam num único ponto.
Q
o fator de qualidade — quão aguda é a ressonância. Também fixa a largura de banda, BW = f₀/Q.

De onde vem a fórmula

  1. A ressonância é, por definição, a frequência à qual as duas reactâncias coincidem: X_L = X_C, ou seja, 2πf₀L = 1/(2πf₀C).
  2. Multiplique ambos os lados por 2πf₀C e divida por L, o que resulta em (2πf₀)² = 1/(LC).
  3. Extraia a raiz quadrada e divida por 2π: f₀ = 1/(2π√(LC)). Note o que está ausente — R não aparece de todo, pelo que a resistência altera a nitidez do pico, mas nunca onde este se situa.

Como ler o que vê

Oito linhas, cada uma apresentada ao lado da expressão que a originou, para que a aritmética possa ser verificada em vez de apenas aceite. As quatro primeiras são aquelas a que a dedução acima chega: frequência de ressonância f₀, frequência angular ω₀, fator de qualidade Q = (1/R)√(L/C) e largura de banda BW = f₀/Q. Com os componentes predefinidos — R = 100 Ω, L = 10 mH, C = 2.53 µF —, os valores lidos são 1.00 kHz, 6287 rad/s, 0.6287 e 1.59 kHz. As quatro seguintes descrevem o mesmo circuito de outros ângulos: as duas frequências de 3 dB, 483 Hz e 2.07 kHz, o coeficiente de amortecimento ζ = 0.7953 e a impedância série mínima — 100 Ω, ou seja o próprio R, porque em ressonância as reatâncias cancelam-se e não sobra mais nada. O esquema indica onde a saída é medida: aos terminais de R.

Pressupõe
Componentes ideais em regime permanente sinusoidal — uma resistência pura, uma indutância pura e uma capacidade pura, alimentados durante tempo suficiente para que os fenómenos transitórios se tenham extinguido. Nada aqui descreve o comportamento do circuito nos primeiros ciclos após a ligação.
Falha quando
Os valores predefinidos mal apresentam ressonância, e a leitura no ecrã mostra-o se interpretar as duas frequências em conjunto: Q = 0.6287 dá uma largura de banda de 1.59 kHz, que é mais larga do que a própria frequência central de 1,00 kHz — não há nenhum pico digno desse nome. Uma ressonância aguda exige um R pequeno em comparação com √(L/C). Os indutores reais também possuem a sua própria resistência de enrolamento, que se adiciona a R e limita o Q que qualquer montagem física pode alcançar.

Q conta quantas vezes a energia vai e vem antes de se tornar calor

Q é uma medida geral da energia armazenada dividida pela energia perdida por ciclo. Em um circuito RLC em série, uma resistência baixa permite que a energia oscile muitas vezes entre o campo magnético do indutor e o campo elétrico do capacitor antes de virar calor. A mesma ideia aparece em relógios atômicos: uma linha espectral estreita significa um Q enorme, permitindo que o oscilador distinga erros de frequência extremamente pequenos.

O que é realmente a ressonância

Todo par bobina–capacitor tem uma frequência natural, f₀ = 1/(2π√(LC)), na qual a energia oscila de um lado para o outro como uma criança impulsionando um balanço. Ao excitar o circuito em f₀, as reatâncias de L e C se cancelam e resta apenas a resistência, de modo que a corrente atinge um pico agudo. Repare que f₀ depende só de L e C: o controle de resistência afia ou alarga o pico, mas nunca o desloca.

Tensão que supera a própria fonte

Na ressonância, a fonte só "enxerga" a resistência, mas as tensões na bobina e no capacitor sobem cada uma até Q vezes a entrada e, por estarem defasadas em 180°, cancelam-se exatamente. Excite um circuito de Q = 50 com 10 V e o capacitor verá 500 V. Essa magnificação de tensão é como transmissores de faísca e bobinas de Tesla alcançam tensões enormes, e pode destruir silenciosamente um capacitor dimensionado apenas para a tensão de entrada.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

  1. Os valores predefinidos são L = 10 mH e C = 2.53 µF, dando f₀ = 1.00 kHz e Q = 0.6287. Duplique a indutância para 0.02 e reduza a capacitância a metade, 1.265e-6. Preveja o efeito de cada uma.

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    f₀ não se mexe — continua em 1.00 kHz — enquanto Q duplica para 1.257 e a largura de banda cai de 1.59 kHz para 796 Hz. f₀ depende do produto LC, que deixou intacto; Q = (1/R)√(L/C) depende da razão, que quadruplicou. Um só par de componentes, dois botões independentes: troque L por C para afinar o pico sem o deslocar, ou altere ambos em conjunto para o deslocar sem lhe mudar a forma.

  2. Reponha os componentes e baixe a resistência de 100 para 10. Seis das oito linhas mudam. Que duas não mudam?

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    f₀ e ω₀ — R não aparece em lado nenhum de f₀ = 1/(2π√(LC)). Todo o resto se mexe: Q de 0.6287 para 6.287, a largura de banda de 1.59 kHz para 159 Hz, o coeficiente de amortecimento de 0.7953 para 0.07953, e as duas frequências de 3 dB fecham-se em torno do pico imóvel — 924 Hz e 1.08 kHz em vez de 483 Hz e 2.07 kHz. A impedância série mínima segue R exatamente, de 100 para 10.0, porque em ressonância as reatâncias cancelam-se e só sobra a resistência.

Problema resolvido na íntegra

  1. Frequência de ressonância de 100 Ω, 10 mH, 2,53 µF em série 6 passos

    R = 100 Ω, L = 10 mH, C = 2,53 µF em série. Determine a frequência de ressonância e o Q — e diga o que um Q inferior a 1 significa realmente para este circuito.

    1. As reatâncias do indutor e do condensador têm sinais opostos, pelo que a uma determinada frequência se anulam exatamente e a impedância passa a ser puramente resistiva. Essa frequência é a definição de ressonância.

      Z(ω)=R+j ⁣(ωL−1ωC);ℑZ=0 ⟹ ω0=1LCZ(\omega)=R+j\!\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right);\qquad \Im Z=0\ \Longrightarrow\ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}

    2. Substitua. O produto LC é 2,53 × 10⁻⁸, e a sua raiz quadrada é aquilo de que tudo o resto depende.

      ω0=10.01×2.53×10−6=11.5906×10−4=6287 rad/s,f0=ω02π=1001 Hz\omega_0=\frac{1}{\sqrt{0.01\times2.53\times10^{-6}}}=\frac{1}{1.5906\times10^{-4}}=6287\ \mathrm{rad/s},\qquad f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=1001\ \mathrm{Hz}

    3. O Q compara a reatância na ressonância com a resistência. A forma conveniente √(L/C)/R não necessita de qualquer frequência, e ζ é apenas metade do seu recíproco.

      Q=ω0LR=1RLC=11003953=0.6287,ζ=12Q=0.7953Q=\frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{100}\sqrt{3953}=0.6287,\qquad \zeta=\frac{1}{2Q}=0.7953

    4. A largura de banda é a frequência central dividida por Q, e os dois pontos de corte a −3 dB não são simétricos em relação a ela — são simétricos no logaritmo, pelo que a sua média geométrica é f₀.

      BW=f0Q=1592 Hz;f1,2=f0 ⁣(1+14Q2∓12Q)=483 and 2074 Hz\mathrm{BW}=\frac{f_0}{Q}=1592\ \mathrm{Hz};\qquad f_{1,2}=f_0\!\left(\sqrt{1+\tfrac{1}{4Q^{2}}}\mp\tfrac{1}{2Q}\right)=483\ \text{and}\ 2074\ \mathrm{Hz}

    5. Leia agora o Q em termos de energia e não de largura de banda. As duas definições coincidem, e a definição energética é a que diz se haverá ou não oscilação.

      Q=2πenergy storedenergy lost per cycle<1 ⟹ it loses more each cycle than it holdsQ=2\pi\frac{\text{energy stored}}{\text{energy lost per cycle}}<1\ \Longrightarrow\ \text{it loses more each cycle than it holds}

    6. Por fim, trabalhe no sentido inverso, partindo de um requisito real até à resistência que ele implica.

      AM at 1 MHz, 9 kHz spacing: Q=f0BW=111 ⟹ R=1QLC=0.57 Ω\text{AM at }1\ \mathrm{MHz},\ 9\ \mathrm{kHz}\ \text{spacing}:\ Q=\tfrac{f_0}{\mathrm{BW}}=111\ \Longrightarrow\ R=\frac{1}{Q}\sqrt{\frac{L}{C}}=0.57\ \Omega

    Resposta

    Q = 0,63, o que significa que o circuito perde mais energia por ciclo do que aquela que armazena. Essa é a interpretação física de Q: 2π vezes a armazenada sobre a perdida por ciclo. Abaixo de 1 já não resta nada com que oscilar, e a largura de banda de 1,59 kHz em torno de um centro de 1,00 kHz diz o mesmo no domínio da frequência — a banda de passagem é mais larga do que a frequência na qual está centrada. Isto é um filtro, não um ressonador, e a razão é o resistor. Mantendo os mesmos L e C e o mesmo centro de 1 kHz, exigir o Q ≈ 111 de que necessita a separação de estações AM espaçadas de 9 kHz exige que a resistência em série total desça para 0,57 Ω, o que é inferior à resistência do próprio fio da bobina. Essa é a verdadeira razão pela qual os andares de entrada de rádio utilizam transformadores sintonizados em vez de um resistor, um indutor e um condensador em linha.

    f0=1.00 kHz, Q=0.6287, BW=1.59 kHz ⟹ a filter, not a resonatorf_0=1.00\ \mathrm{kHz},\ Q=0.6287,\ \mathrm{BW}=1.59\ \mathrm{kHz}\ \Longrightarrow\ \text{a filter, not a resonator}

Percurso de aprendizagem

Resistência, depois reatância

Referências (1)
  • Series resonance, the quality factor and bandwidth as set out in a standard circuits text: J. W. Nilsson & S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.