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Calculadora de interceptação do verme de areia de Duna

Quanto tempo falta para o verme chegar? Os cavaleiros conseguem montar antes que ele passe?

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Lição

A teoria — Calculadora de interceptação do verme de areia de Duna

Este é um problema de interceção, e o seu verdadeiro conteúdo é que o alvo não é um ponto. Um verme da areia tem comprimento, pelo que não chega num único instante — ocupa o ponto de montagem durante uma janela de tempo, e a questão não é se chega antes dele, mas se chega dentro dessa janela.

O que significa cada símbolo

v_worm
a velocidade do verme, 22 m/s, e a distância que tem de percorrer, 1800 m.
L
o comprimento do verme, 120 m. É isto que converte um tempo de chegada num intervalo.
v_team
a velocidade da equipa, 18 m/s, ao longo da sua própria distância de aproximação de 900 m.
delay
o atraso de preparação antes de se poderem mover, adicionado diretamente ao seu tempo de chegada.

De onde vem a fórmula

  1. Cada tempo de chegada é apenas a distância dividida pela velocidade. A cabeça do verme atinge o ponto aos 1800 / 22 = 81.82 s; a equipa chega aos 900 / 18 = 50 s, mais qualquer atraso.
  2. A cauda do verme está L atrás da sua cabeça, pelo que liberta o ponto L / v_worm mais tarde: 120 / 22 = 5.45 s após a cabeça, aos 87.27 s.
  3. Assim, a oportunidade é o intervalo entre 81.82 s e 87.27 s. Chegar aos 50 s é cedo — confortavelmente dentro dele, com todo o verme ainda por passar.

Como ler o que vê

Três tempos, cada um com a sua divisão apresentada: quando a cabeça chega, quando a cauda finalmente liberta o ponto e quando a equipa lá chega. Comparar o terceiro com os dois primeiros é a resposta completa — e a formulação do veredito tem o cuidado de especificar qual dos dois superou.

Pressupõe
Velocidades constantes em linha reta, ambas as partes a começar no mesmo instante, e um verme que nem acelera nem muda de curso. É um modelo de temporização, não uma perseguição: nada aqui reage a nada.
Falha quando
Chegar cedo não é automaticamente seguro, e o modelo não lhe pode dizer isso. Compara apenas tempos de chegada — não tem qualquer noção de ser visto, de esperar exposto durante trinta segundos, ou de um verme que altera o seu curso por estar algo ali parado. Um verme mais longo ou mais lento alarga a janela, o que parece uma boa notícia, mas essa mesma alteração significa mais tempo passado ao lado de um animal enorme.

por que o próprio comprimento do verme te salva

Um verme de areia pode ter centenas de metros de corpo em movimento, não é um único ponto, então perder a cabeça por alguns segundos não significa perder a montaria — qualquer segmento ainda exposto pode ser fisgado. Por isso o prazo real não é quando o verme chega, mas quando ele termina de passar: tempo de chegada mais o comprimento do corpo dividido pela velocidade. É a mesma tolerância que permite pegar um trem em movimento por qualquer porta aberta, em vez de correr para o vagão da frente exato — quanto mais longo ou lento for o alvo, mais ampla é a sua janela efetiva para pegá-lo.

uma corrida entre dois relógios

Esta ferramenta não premia a velocidade pura, mas compara duas contagens regressivas: quanto falta para a janela do verme se fechar e quanto falta para a sua equipe estar pronta e em posição. Você vence assim que a segunda termina primeiro. O único termo totalmente sob o seu controle é o atraso de preparação, um número fixo de segundos somado independentemente de distâncias e velocidades, então reduzi-lo costuma ser a forma mais barata de transformar um erro em acerto.

um verme mais rápido prejudica mais do que parece

Todo o seu prazo é (D + L) / v: a distância até o alvo mais o comprimento do corpo, dividido pela velocidade do verme. Como a velocidade está no denominador, o seu tempo disponível cai como uma hipérbole, não como uma reta: num rastejar lento, alguns m/s a mais mal se notam, mas perto de um verme rápido o mesmo salto pode reduzir a sua janela à metade. Um verme só um pouco mais veloz pode transformar uma captura tranquila num erro claro.

Problemas resolvidos na íntegra

  1. Verme a aproximar-se a 22 m/s e equipa a atravessar a areia a 18 m/s 5 passos

    Um verme a 1800 m de distância, a aproximar-se a 22 m/s, com 120 m da cabeça à cauda. A sua equipa espera a 900 m do ponto de montagem e atravessa a areia a 18 m/s, movendo-se no instante em que o tamborilador começa a funcionar. Consegue chegar a tempo, e quão rápido poderia ser esse verme antes que deixe de conseguir?

    1. A distância a dividir pela velocidade coloca a cabeça do verme no ponto de montagem aos 81,82 s. Esse é o número contra o qual a maioria das pessoas tenta correr, e é o número errado.

      thead=Dvw=180022=81.82 st_{\mathrm{head}}=\frac{D}{v_w}=\frac{1800}{22}=81.82\ \mathrm{s}

    2. Não se está a tentar vencer a cabeça. Um gancho pode fixar-se em qualquer ponto ao longo do corpo, pelo que o último instante utilizável é quando a cauda passa, e essa tolerância é o próprio comprimento do verme dividido pela sua própria velocidade. Note-se o que essa razão implica: o tamanho só ganha tempo na proporção da lentidão com que o verme se desloca.

      Lvw=12022=5.45 s⟹ttail=81.82+5.45=87.27 s\frac{L}{v_w}=\frac{120}{22}=5.45\ \mathrm{s}\quad\Longrightarrow\quad t_{\mathrm{tail}}=81.82+5.45=87.27\ \mathrm{s}

    3. O seu lado é um atraso mais uma corrida. O tempo de preparação é tempo morto antes do sprint, e não um entrave a este, pelo que se adiciona ao total em vez de o escalar. Aqui é 0, e 900 m a 18 m/s são exatamente 50 s.

      tteam=δ+du=0+90018=50 st_{\mathrm{team}}=\delta+\frac{d}{u}=0+\frac{900}{18}=50\ \mathrm{s}

    4. Subtraindo, a margem é de 37,27 s. Colocando isso de volta na areia: está parado no ponto de montagem com a cabeça do verme ainda a 1800 − 22 × 50 = 700 m de distância, à espera.

      margin=ttail−tteam=87.27−50=37.27 s\mathrm{margin}=t_{\mathrm{tail}}-t_{\mathrm{team}}=87.27-50=37.27\ \mathrm{s}

    5. Os quatro dados de entrada nunca importaram separadamente. Tudo o que está do lado do verme colapsa num único tempo, e tudo o que está do seu lado noutro; o veredito resume-se a qual dos dois é maior. É por isso que um verme de 200 m e um verme de 120 m podem ser o mesmo problema.

      margin=D+Lvw−(δ+du)\mathrm{margin}=\frac{D+L}{v_w}-\left(\delta+\frac{d}{u}\right)

    Resposta

    37,27 s de margem: chega adiantado, não por sorte. Inverta a desigualdade e ela define um limite máximo. Com esta geometria, a interceção funciona para qualquer verme até 1920 ÷ 50 = 38,4 m/s e falha acima disso, e a ferramenta nunca apresenta esse número porque apenas avalia o verme fornecido. O que acontece à sua tolerância no caminho até esse limite é a parte que vale a pena reter: a janela do corpo é L ÷ v, pelo que o mesmo verme de 120 m que lhe concede 5,45 s a 22 m/s concede-lhe 3,13 s a 38,4 m/s. O comprimento do verme vale menos precisamente quando o verme é mais rápido. O atraso na preparação é ainda mais severo, porque é subtraído antes da divisão e não depois: inclua 45 s desse atraso e o limite desce de 38,4 m/s para 1920 ÷ 95 = 20,2 m/s, abaixo do verme de 22 m/s com que começou. Mesmo verme, mesma areia, e a corrida é agora impossível de vencer. Nada se moveu a não ser o seu relógio.

    vwmax⁡=D+Lδ+d/u=192050=38.4 m/sv_w^{\max}=\frac{D+L}{\delta+d/u}=\frac{1920}{50}=38.4\ \mathrm{m/s}
  2. O estado rápido do verme a 45 m/s e uma equipa a 900 m de distância 6 passos

    O estado Verme rápido: 45 m/s, 200 m de comprimento, a 1500 m do ponto de montagem, a sua equipa ainda a 900 m a 18 m/s sem atraso na preparação. Verme maior, perseguição mais curta do que no problema anterior. Mostre que nenhuma das coisas ajuda, e calcule o custo das duas soluções.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. 45 m/s consomem 1500 m em 33,33 s, e o corpo de 200 m concede depois 4,44 s. Isso é menos tolerância do que o corpo de 120 m concedeu a 22 m/s, apesar de ser 67% mais longo. A tolerância é L ÷ v, e o denominador venceu.

      thead=150045=33.33 s,Lvw=20045=4.44 st_{\mathrm{head}}=\frac{1500}{45}=33.33\ \mathrm{s},\qquad \frac{L}{v_w}=\frac{200}{45}=4.44\ \mathrm{s}

    2. Assim, a janela de embarque fecha aos 37,78 s.

      ttail=33.333+4.444=37.78 st_{\mathrm{tail}}=33.333+4.444=37.78\ \mathrm{s}

    3. O seu lado não mudou nada: 900 m a 18 m/s são os mesmos 50 s do primeiro problema. Todas as diferenças entre as duas corridas ficam do lado do verme no balanço.

      tteam=0+90018=50 st_{\mathrm{team}}=0+\frac{900}{18}=50\ \mathrm{s}

    4. Chega 12,22 s atrasado, o que não é um falhanço por pouco. Nesses 12,22 s o verme percorre 550 m, pelo que a cauda que tentava alcançar está a meio quilómetro mais à frente quando as suas botas chegam ao ponto de montagem.

      margin=37.78−50=−12.22 s\mathrm{margin}=37.78-50=-12.22\ \mathrm{s}

    5. Uma solução é a velocidade. A distância é fixa e a janela é fixa, pelo que a exigência é de 900 m em menos de 37,78 s. Isso é 32% acima de 18 m/s, e a velocidade é a única grandeza do seu lado que não pode simplesmente decidir ter.

      umin⁡=d(D+L)/vw=90037.78=23.82 m/su_{\min}=\frac{d}{(D+L)/v_w}=\frac{900}{37.78}=23.82\ \mathrm{m/s}

    6. A outra solução é a geometria. Mantendo 18 m/s, o seu raio alcançável é a velocidade a multiplicar pela janela: 680 m, o que é 220 m mais perto do que o local onde escolheu esperar. Essa escolha é feita antes de o tamborilador ser acionado, não depois.

      dmax⁡=u⋅D+Lvw=18×37.78=680 md_{\max}=u\cdot\frac{D+L}{v_w}=18\times37.78=680\ \mathrm{m}

    Resposta

    A corrida falha por 12,22 s, e ambas as soluções custam exatamente os mesmos 32%. Isso não é uma coincidência. O limite para esta geometria é (1500 + 200) ÷ 50 = 34 m/s, pelo que este verme está 45 ÷ 34 = 1,32 vezes acima dele, e dividir a equação da margem por essa razão faz com que ela apareça em todo o lado ao mesmo tempo: a velocidade de que precisaria é 18 × 1,32 = 23,82 m/s, e a distância que pode suportar é 900 ÷ 1,32 = 680 m. Um único número, o quanto o verme está acima do seu limite, determina o custo de cada correção simultaneamente. Também decide qual das correções é real. É você que escolhe onde esperar; não escolhe quão rápido corre. Portanto, o ponto de emboscada é a única alavanca que realmente se move, e deslocá-lo os 220 m completos traz a margem para exatamente 0 — um empate técnico, e um empate técnico não é um embarque.

    umin⁡u=du⋅vwD+L=vwvwmax⁡=4534=1.32\frac{u_{\min}}{u}=\frac{d}{u}\cdot\frac{v_w}{D+L}=\frac{v_w}{v_w^{\max}}=\frac{45}{34}=1.32
Referências (2)
  • The premise: Frank Herbert, Dune. First published 1965; Ace Books edition, ISBN 978-0-441-17271-9.
  • The mathematics underneath the fiction — interception and pursuit treated properly: Paul J. Nahin, Chases and Escapes: The Mathematics of Pursuit and Evasion. Princeton University Press, 2007. ISBN 978-0-691-15501-2.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.