Das Ziegenproblem

Ein Auto und einige Ziegen hinter geschlossenen Türen. Wähle eine Tür. Lass den Moderator andere öffnen und entscheide, ob du wechselst. Diese Seite berechnet die Chance für jede Tür aus der Regel des Moderators und seinem Zug. Sie simuliert Tausende von Partien, um das Ergebnis zu prüfen, oder lässt dich selbst spielen. Die Tabelle unten zeigt die Mathematik dahinter.

Satz von Bayes, die Aktion des Moderators als Indiz	$P(C_i\mid H)=\frac{P(H\mid C_i)\,P(C_i)}{\sum_j P(H\mid C_j)\,P(C_j)}$
Der wissende Moderator, der k Ziegentüren zufällig öffnet	$\begin{aligned}P(C_{d_0}\mid H)&=\frac{1}{n}\\P(C_d\mid H)&=\frac{n-1}{n\,(n-1-k)}\end{aligned}$

Rechenbeispiel — Das Ziegenproblem

Prior, pro Tür	1/3
Likelihood, Tür 1 · deine Wahl	1/2
Likelihood, Tür 2 · geschlossen	1
Likelihood, Tür 3 · offen	0 · Ziege gezeigt
Evidenz	1/2
Posterior, Tür 1 · deine Wahl	1/3
Posterior, Tür 2 · geschlossen	2/3
Posterior, Tür 3 · offen	0

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Das Ziegenproblem

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto nach der Aktion des Moderators hinter einer bestimmten Tür steht, liefert der Satz von Bayes: die A-priori-Wahrscheinlichkeit dieser Tür, 1 ÷ n, multipliziert mit der Likelihood dafür, dass der Moderator genau so handelt, falls das Auto dort steht, geteilt durch die Gesamtwahrscheinlichkeit seiner Aktion.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

n: die Anzahl der Türen
k: die Anzahl der Türen, die der Moderator öffnet
P(H | C_i): die Likelihood: die Chance, dass der Moderator das tut, was er getan hat, falls das Auto hinter Tür i steht
P(C_i | H): der Posterior: die Chance, dass das Auto hinter Tür i steht, nachdem man gesehen hat, was der Moderator getan hat

Woher die Formel kommt

Benenne die Hypothesen und weise jeder ihre A-priori-Wahrscheinlichkeit zu. C_i beschreibt das Ereignis, dass das Auto hinter Tür i steht; vor dem Eingreifen des Moderators ist jede Tür gleich wahrscheinlich.
$P(C_i)=\frac{1}{n},\qquad i=1,\dots,n$
Bestimme für jede Hypothese, wie wahrscheinlich die Aktion H des Moderators ist. Nur in diesem Schritt fließt seine Verhaltensregel ein. Für den wissenden Moderator, der zufällig k Ziegentüren unter den für ihn möglichen öffnet, gilt mit deiner gewählten Tür d₀ und der Menge O der geöffneten Türen:
$\begin{aligned}P(H\mid C_{d_0})&=\frac{1}{\binom{n-1}{k}}\\P(H\mid C_d)&=\frac{1}{\binom{n-2}{k}},\quad d\notin O\\P(H\mid C_d)&=0,\quad d\in O\end{aligned}$
Summiere die Werte zur Gesamtwahrscheinlichkeit seiner Aktion auf.
$P(H)=\sum_{j=1}^{n}P(C_j)\,P(H\mid C_j)$
Teile jedes Produkt aus A-priori-Wahrscheinlichkeit und Likelihood durch diese Gesamtwahrscheinlichkeit. Beim wissenden Moderator behält deine Tür stets 1/n, ganz gleich, welche Türen er öffnet; auf jede der m = n − 1 − k anderen geschlossenen Türen entfällt (n − 1)/(nm).
$\begin{aligned}P(C_i\mid H)&=\frac{P(C_i)\,P(H\mid C_i)}{P(H)}\\P(C_{d_0}\mid H)&=\frac{1}{n},\qquad P(C_d\mid H)=\frac{n-1}{n\,m}\end{aligned}$

Aufgaben vollständig gelöst

Die drei Türen, nach dem Satz von Bayes 4 Schritte
Du wählst Tür 1. Der Moderator, der weiß, wo das Auto steht, und immer eine Ziegentür öffnet, wobei er zufällig wählt, wenn er die Wahl hat, öffnet Tür 3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 1 oder hinter Tür 2 steht. Klick auf Drei Türen, um das zu prüfen.

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1. Bevor er handelt, ist jede Tür gleich wahrscheinlich:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Wie wahrscheinlich ist es, dass er Tür 3 öffnet, für jeden möglichen Ort des Autos?
  
  $P(H_3\mid C_1)=\tfrac12,\qquad P(H_3\mid C_2)=1,\qquad P(H_3\mid C_3)=0$
3. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass er Tür 3 öffnet:
  
  $P(H_3)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot 1+\tfrac13\cdot 0=\tfrac12$
4. Teile für jede Tür das Produkt aus Prior und Likelihood durch diese Summe:
  
  $P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac12}=\tfrac13,\qquad P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac12}=\tfrac23$
Antwort

Das Auto steht mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 hinter Tür 1 und mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 hinter Tür 2. Die gesamte Antwort liegt im zweiten Schritt: Steht das Auto hinter Tür 2, ist er gezwungen, Tür 3 zu öffnen. Steht es jedoch hinter Tür 1, öffnet er Tür 3 nur in der Hälfte der Fälle. Sein Öffnen von Tür 3 ist also doppelt so wahrscheinlich, wenn das Auto hinter Tür 2 steht.

$P(C_1\mid H_3)=\tfrac13,\qquad P(C_2\mid H_3)=\tfrac23$
Vier Türen, eine geöffnet 5 Schritte
Vier Türen. Du wählst Tür 1. Der Moderator weiß, wo das Auto steht, und öffnet eine der anderen Türen mit einer Ziege dahinter; hat er die Wahl, entscheidet der Zufall. Er öffnet Tür 4. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für jede noch geschlossene Tür und überprüfe das Ergebnis durch Abzählen vor seiner Aktion.

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1. Vor seiner Aktion:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=P(C_4)=\tfrac14$
2. Wie wahrscheinlich ist es für jedes mögliche Versteck des Autos, dass er Tür 4 öffnet? Steht das Auto hinter Tür 1, hat er drei Ziegentüren zur Auswahl; hinter Tür 2 oder Tür 3 nur zwei:
  
  $\begin{aligned}&P(H_4\mid C_1)=\tfrac13\\&P(H_4\mid C_2)=P(H_4\mid C_3)=\tfrac12\\&P(H_4\mid C_4)=0\end{aligned}$
3. Die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass er Tür 4 öffnet:
  
  $P(H_4)=\tfrac14\left(\tfrac13+\tfrac12+\tfrac12\right)=\tfrac13$
4. Teile für jede Tür das Produkt aus A-priori-Wahrscheinlichkeit und Likelihood durch diese Gesamtwahrscheinlichkeit:
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_4)=\dfrac{\tfrac14\cdot\tfrac13}{\tfrac13}=\tfrac14\\&P(C_2\mid H_4)=P(C_3\mid H_4)=\dfrac{\tfrac14\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac38\end{aligned}$
5. Dasselbe Ergebnis ohne Bayes: Wechselst du auf gut Glück zu einer geschlossenen Tür, gewinnst du nur bei einer falschen Erstwahl (Wahrscheinlichkeit 3/4) und wenn das Auto hinter einer der beiden geschlossenen Türen steht:
  
  $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{8}$
Antwort

Tür 1 behält 1/4; auf die Türen 2 und 3 entfallen je 3/8. Wechseln schlägt Bleiben. Die 3/4, die vorher auf die Türen 2, 3 und 4 zusammen entfielen, teilen sich nun zwei Türen; keine von ihnen erreicht diesen Wert allein.

$P(C_1\mid H_4)=\tfrac14,\qquad P(C_2\mid H_4)=P(C_3\mid H_4)=\tfrac38$
Ein ahnungsloser Moderator 4 Schritte
Drei Türen, und du wählst Tür 1. Dieser Moderator weiß nicht, wo das Auto steht: Er öffnet zufällig Tür 2 oder Tür 3, und hinter Tür 3 zeigt sich eine Ziege. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Auto hinter Tür 1 steht, und dafür, dass es hinter Tür 2 steht. Klick auf Ahnungsloser Moderator, um das zu prüfen.

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1. Vor seiner Aktion:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. H₃ steht dafür, dass Tür 3 geöffnet wird und eine Ziege dahintersteht. Steht das Auto hinter Tür 1 oder Tür 2, wählt er Tür 3 in der Hälfte der Fälle, und eine Ziege ist zu sehen. Steht das Auto hinter Tür 3, würde er das Auto enthüllen; H₃ kann also gar nicht eintreten:
  
  $\begin{aligned}&P(H_3\mid C_1)=\tfrac12\\&P(H_3\mid C_2)=\tfrac12\\&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. Die Gesamtwahrscheinlichkeit von H₃:
  
  $P(H_3)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot 0=\tfrac13$
4. Teile:
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac12\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac12\end{aligned}$
Antwort

1/2 und 1/2. Die geöffnete Tür und die Ziege stimmen mit der ersten Aufgabe überein. Geändert hat sich nur die Likelihood für Tür 2, von 1 auf 1/2: Dieser Moderator musste das Auto schließlich nicht bewusst meiden.

$P(C_1\mid H_3)=P(C_2\mid H_3)=\tfrac12$
Ein Moderator mit Lieblingstür 5 Schritte
Drei Türen, du wählst Tür 1, und der Moderator weiß, wo das Auto steht. Befindet sich das Auto hinter Tür 1, sodass er Tür 2 oder Tür 3 öffnen darf, wählt er Tür 2 mit Wahrscheinlichkeit p. Bestimme die Gewinnchance beim Wechseln, wenn er Tür 2 öffnet, und wenn er Tür 3 öffnet. Setze dann p = 1: Das ist der Moderator, der stets die Ziegentür mit der kleinsten Nummer öffnet. Klick auf Voreingenommen: Tür 2, um p = 1 zu prüfen.

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1. Vor seiner Aktion:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Die Likelihood für jeden Zug. Steht das Auto hinter Tür 2 oder Tür 3, hat er keine Wahl:
  
  $\begin{aligned}&P(H_2\mid C_1)=p,&&P(H_3\mid C_1)=1-p\\&P(H_2\mid C_2)=0,&&P(H_3\mid C_2)=1\\&P(H_2\mid C_3)=1,&&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. Die Gesamtwahrscheinlichkeit für jeden Zug:
  
  $\begin{aligned}&P(H_2)=\tfrac13(1+p)\\&P(H_3)=\tfrac13(2-p)\end{aligned}$
4. Teile. Wechselst du nach Tür 2, nimmst du Tür 3; nach Tür 3 wählst du Tür 2:
  
  $\begin{aligned}&P(C_3\mid H_2)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac13(1+p)}=\dfrac{1}{1+p}\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac13(2-p)}=\dfrac{1}{2-p}\end{aligned}$
5. Für p = 1:
  
  $p=1:\quad P(C_3\mid H_2)=\tfrac12,\quad P(C_2\mid H_3)=1$
Antwort

Wechseln gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 1/(1 + p) nach Tür 2 und 1/(2 − p) nach Tür 3. Für jedes p von 0 bis 1 liegen beide Werte bei mindestens 1/2; Wechseln schneidet also nie schlechter ab als Bleiben, ganz gleich, was er bevorzugt. Für p = 1 ergeben sich 1/2 und 1; bei p = 1/2 – dem Moderator der ersten Aufgabe – liefern beide 2/3.

$\dfrac{1}{1+p}\ge\tfrac12,\qquad\dfrac{1}{2-p}\ge\tfrac12\qquad(0\le p\le1)$
Wenn das Angebot das Indiz ist 5 Schritte
Drei Türen, du wählst Tür 1. Traf deine Erstwahl das Auto, bietet der Moderator immer einen Wechsel an; stand sie auf einer Ziege, bietet er nur mit Wahrscheinlichkeit q an. Wann immer er anbietet, öffnet er eine Ziegentür – per Zufall, falls zwei bereitstehen. Er unterbreitet das Angebot und öffnet Tür 3. Für welche Werte von q solltest du wechseln? Monty Hell entspricht q = 0: Klick auf Monty-Hölle, um das zu prüfen.

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1. Vor seiner Aktion:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. H₃ steht jetzt für ein Wechselangebot samt geöffneter Tür 3. Steht das Auto hinter Tür 1, bietet er sicher an und öffnet Tür 3 in der Hälfte der Fälle. Steht es hinter Tür 2, bietet er mit Wahrscheinlichkeit q an und muss Tür 3 öffnen. Steht es hinter Tür 3, kann er sie nicht öffnen:
  
  $\begin{aligned}&P(H_3\mid C_1)=1\cdot\tfrac12\\&P(H_3\mid C_2)=q\cdot 1\\&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. Die Gesamtwahrscheinlichkeit von H₃:
  
  $P(H_3)=\tfrac13\left(\tfrac12+q\right)$
4. Teile:
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac12}{\tfrac12+q}=\dfrac{1}{1+2q}\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{q}{\tfrac12+q}=\dfrac{2q}{1+2q}\end{aligned}$
5. Vergleiche die beiden geschlossenen Türen:
  
  $\begin{aligned}&\dfrac{2q}{1+2q}>\dfrac{1}{1+2q}\iff q>\tfrac12\\&q=1:\ \tfrac23\\&q=0:\ 0\end{aligned}$
Antwort

Wechsle bei q > 1/2 und bleibe bei q < 1/2; bei q = 1/2 sind beide Optionen gleichwertig. Ein Moderator, der immer anbietet (q = 1), beschert dem Wechseln 2/3; bei Monty Hell (q = 0) bringt es gar nichts. Das Angebot ist ein eigenes Indiz: Bietet der Moderator bei einem Fehlgriff weniger als halb so oft an wie bei einem Treffer, spricht das fürs Bleiben.

$P(C_2\mid H_3)=\dfrac{2q}{1+2q}>\tfrac12\iff q>\tfrac12$
Bertrands Schachteln 4 Schritte
Drei Schachteln enthalten zwei Goldmünzen, zwei Silbermünzen und je eine von beiden. Du wählst zufällig eine Schachtel und ziehst blind eine Münze daraus: Sie ist aus Gold. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch die zweite Münze in dieser Schachtel aus Gold ist?
Lösung anzeigen
1. Bezeichne die Schachteln mit GG, SS und GS. Vor dem Ziehen:
  
  $P(GG)=P(SS)=P(GS)=\tfrac13$
2. Wie wahrscheinlich ist eine Goldmünze aus der jeweiligen Schachtel?
  
  $\begin{aligned}&P(G\mid GG)=1\\&P(G\mid SS)=0\\&P(G\mid GS)=\tfrac12\end{aligned}$
3. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, Gold zu ziehen:
  
  $P(G)=\tfrac13\cdot 1+\tfrac13\cdot 0+\tfrac13\cdot\tfrac12=\tfrac12$
4. Teile:
  
  $P(GG\mid G)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac12}=\tfrac23$
Antwort

2/3, nicht 1/2, wie man es beim bloßen Abzählen der beiden Schachteln mit möglicher Goldmünze vermutet. Die reine Goldschachtel liefert jedes Mal Gold, die gemischte nur in der Hälfte der Fälle; eine gezogene Goldmünze stammt daher doppelt so wahrscheinlich aus der ersten. Joseph Bertrand stellte dieses Rätsel 1889 in seinem Werk Calcul des probabilités vor – 86 Jahre bevor Steve Selvin den Lesern von The American Statistician die drei Türen präsentierte.

$P(GG\mid G)=\tfrac23$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Drei Gefangene, A, B und C, erfahren, dass einer von ihnen nach dem Zufallsprinzip begnadigt wird. A bittet den Wärter, einen der beiden anderen zu nennen, der hingerichtet wird; trifft es beide, wählt der Wärter rein zufällig einen aus. Er nennt B. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass A begnadigt wird, und dass C begnadigt wird.

Ergebnis anzeigen

1/3 und 2/3. Es sind die drei Türen, mit dem Wärter in der Rolle des Moderators.

$\tfrac13,\qquad\tfrac23$
Hundert Türen. Der wissende Moderator öffnet 98 der 99 von dir nicht gewählten Türen, allesamt Ziegen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für deine Tür und für diejenige, die er geschlossen ließ.

Ergebnis anzeigen

1/100 und 99/100.

$\tfrac{1}{100},\qquad\tfrac{99}{100}$
Fünf Türen. Der wissende Moderator öffnet zufällig zwei Ziegentüren unter den vier Türen, die du nicht gewählt hast. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für deine Tür und für jede der beiden anderen geschlossenen Türen.

Ergebnis anzeigen

1/5 und jeweils 2/5.

$\tfrac15,\qquad\tfrac25$
Zehn Türen. Ein ahnungsloser Moderator öffnet auf gut Glück 8 der 9 von dir nicht gewählten Türen, und hinter allen 8 stehen Ziegen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für deine Tür, für die andere geschlossene Tür sowie dafür, dass ein solcher Moderator überhaupt 8 Ziegen aufdeckt.

Ergebnis anzeigen

1/2 und 1/2; er zeigt 8 Ziegen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/5.

$\tfrac12,\qquad\tfrac12;\qquad\tfrac{10-8}{10}=\tfrac15$
Betrachte die Aufgabe mit der Lieblingstür für p = 1/3. Er öffnet Tür 3. Wie groß ist die Gewinnchance beim Wechseln?

Ergebnis anzeigen

1/(2 − 1/3) = 3/5.

$\dfrac{1}{2-\tfrac13}=\tfrac35$
Tausend Spiele mit dem wissenden Moderator. Zwischen welchen beiden Quoten sollte die Gewinnquote beim Wechseln in 95 % der Fälle liegen?

Ergebnis anzeigen

2/3 ± 1,96 √((2/3 · 1/3)/1000): von 63,74 % bis 69,59 %.

$\tfrac23\pm1.96\sqrt{\dfrac{\tfrac23\cdot\tfrac13}{1000}}=[0.6374,\ 0.6959]$

Wechseln gewinnt zwei von drei Mal

Klick auf Drei Türen. Du wählst Tür 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto dort steht, liegt bei eins zu drei. Nichts, was dieser Moderator tut, kann das ändern. Stünde das Auto hinter deiner Tür, würde er Tür 3 in der Hälfte der Fälle öffnen. Wenn er eine Wahl hat, entscheidet er zufällig. Sein Zug liefert also keine neuen Informationen über Tür 1. Er öffnet Tür 3 und zeigt eine Ziege. Die Zwei-zu-drei-Chance, dass das Auto hinter Tür 2 oder Tür 3 stand, liegt nun komplett auf Tür 2. Wechseln gewinnt somit 2 von 3 Mal. Klick auf 100 Türen und das Prinzip wird offensichtlich. Du hast eine von hundert Türen gewählt. Der Moderator öffnet 98 der restlichen Türen und zeigt dahinter Ziegen. Die einzige Tür, die er geschlossen lässt, ist die, zu der du wechseln solltest, und das 99 von 100 Mal. 1990 erklärte Marilyn vos Savant die Drei-Türen-Lösung in ihrer Parade-Kolumne. Sie erhielt Tausende Briefe, die ihr widersprachen, viele davon von promovierten Lesern verfasst.

Das gleiche Bild liefert eine andere Antwort, wenn der Moderator nichts wusste

Klick auf Ahnungsloser Moderator. Du siehst exakt das Gleiche wie zuvor: Tür 1 gewählt, Tür 3 offen, eine Ziege. Aber dieser Moderator hat zufällig eine Tür geöffnet und dabei glücklicherweise das Auto verfehlt. Nun gewinnen Bleiben und Wechseln jeweils 1 von 2 Mal. Die Wahrscheinlichkeit hängt von der Regel ab, die das Gesehene hervorgebracht hat, nicht nur von dem, was du siehst. Ein Moderator, der Bescheid weiß, eine Ziege zeigen muss und zufällig auswählt, wenn er kann, verrät dir nichts über deine eigene Tür. Die gesamte Wahrscheinlichkeit, die er von Tür 3 abzieht, geht auf Tür 2 über. Ein Moderator, der Tür 3 rein zufällig geöffnet hat, hätte dort genauso oft eine Ziege gezeigt, wenn das Auto hinter Tür 1 statt hinter Tür 2 stünde. Die Ziege bevorzugt also keines von beiden.

Welche Tür er öffnet, kann die ganze Antwort sein

Klick auf Voreingenommen: Tür 2. Dieser Moderator öffnet immer die Ziegentür mit der kleinsten Nummer. Er würde Tür 2 öffnen, ganz gleich, ob das Auto hinter Tür 1 oder Tür 3 steht. Sie zu sehen, bevorzugt also keine der beiden Optionen. Bleiben und Wechseln stehen bei 1 von 2. Klick auf Voreingenommen: Tür 3: Er hat Tür 2 übergangen. Das würde er nur tun, wenn das Auto dahinter stünde. Deshalb gewinnt Wechseln jedes Mal. Im Durchschnitt über alle Spiele hinweg, eine Hälfte in zwei Dritteln der Fälle und Gewissheit in einem Drittel der Fälle, gewinnt Wechseln immer noch 2 von 3 Mal. Die Monty-Hölle ist der Moderator, der dir nur dann einen Wechsel anbietet, wenn du das Auto bereits gefunden hast. Bekommst du ein Angebot, verliert das Wechseln ausnahmslos.

Lernpfad

Entscheiden nach dem, was du siehst

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.