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Calculadora de efecto Doppler astronómico

Introduce los valores espectrales en reposo y observados para estimar z y comparar la velocidad clásica con la relativista.

Cargando simulación interactiva...

Con gran corrimiento al rojo, el atajo v = zc devuelve tres veces la velocidad de la luz

La herramienta muestra la velocidad relativista y la clásica v = zc una al lado de la otra, y la diferencia entre ambas es justamente el asunto. En las dos preselecciones de hidrógeno z vale unos 0,006 y las dos coinciden en la cifra, así que el atajo es inofensivo. Carga entonces la preselección quasar: Lyman-α ha pasado de 121,567 nm a 486,268 nm, exactamente cuatro veces su longitud de onda en reposo, así que z = 3. Ahora v = zc da 3c — el triple de la velocidad de la luz — mientras que el β relativista = ((1+z)² − 1)/((1+z)² + 1) da 0,882c. El atajo exagera la velocidad un 240 % y rompe la física al hacerlo.

Qué mide realmente un corrimiento al rojo

Una línea espectral es una huella fija: el hidrógeno en reposo siempre emite a 656.28 nm. Observa dónde ves realmente esa línea: si se desplaza a una longitud de onda mayor (más roja), la fuente se aleja; si es menor (más azul), se acerca. El corrimiento al rojo z es simplemente el estiramiento relativo. Ver H-alfa a 660 nm en lugar de 656.28 nm da z ≈ 0.0057, una velocidad de recesión de unos 1700 km/s.

El corrimiento al rojo supera el 100% sin romper c

Carga el ejemplo del cuásar: Lyman-alfa pasa de 121.567 nm a 486.268 nm, así que z = 3 y la línea se cuadruplica (1 + z = 4). El ingenuo v = zc afirmaría tres veces la velocidad de la luz, algo imposible. En cambio, la fórmula relativista β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) da 15/17 ≈ 0.88, por debajo de c. Por mucho que crezca z, β nunca alcanza 1.

Problema resuelto al detalle

  1. Velocidad de recesión cuando la línea hidrógeno-alfa de una galaxia se sitúa en 660,00 nm 6 pasos

    La línea H-alfa de una galaxia se encuentra en 660,00 nm en lugar de 656,28 nm. Halla su velocidad de recesión de forma rigurosa y determina si la fórmula escolar v = cz es suficiente aquí, y en qué punto deja de serlo.

    0.1 1 z β = 1 1.000 0.600 β = z

    1. El desplazamiento al rojo se define como el cambio relativo de la longitud de onda y es la única cantidad medida en esta página. Todo lo que sigue son operaciones aritméticas sobre él.

      z=λobs−λ0λ0=660.00−656.28656.28=0.00566831z=\frac{\lambda_{\text{obs}}-\lambda_0}{\lambda_0}=\frac{660.00-656.28}{656.28}=0.00566831

    2. La fórmula del efecto Doppler relativista para una fuente que se aleja en línea recta combina el desplazamiento clásico con la dilatación del tiempo. Despéjala para β: elevar ambos lados al cuadrado convierte la reordenación en una sola línea.

      1+z=1+β1−β⟹β=(1+z)2−1(1+z)2+11+z=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\quad\Longrightarrow\quad \beta=\frac{(1+z)^{2}-1}{(1+z)^{2}+1}

    3. Sustituye. El numerador es esencialmente 2z y el denominador esencialmente 2, motivo por el cual la respuesta está tan cerca de z a desplazamientos al rojo pequeños, y por el que la coincidencia debe romperse una vez que z² deja de ser despreciable.

      (1+z)2=1.01136877,β=0.011368772.01136877=0.0056522(1+z)^{2}=1.01136877,\qquad \beta=\frac{0.01136877}{2.01136877}=0.0056522

    4. Multiplica por c de ambas formas y compara. La diferencia de 4,8 km/s es muy inferior a la velocidad peculiar de una galaxia en un cúmulo, por lo que a este desplazamiento al rojo la elección de la fórmula no constituye el error limitante.

      vrel=βc=1694.501 km/s;vclass=zc=1699.317 km/s;Δ=0.2842%v_{\text{rel}}=\beta c=1694.501\ \mathrm{km/s};\quad v_{\text{class}}=zc=1699.317\ \mathrm{km/s};\quad \Delta=0.2842\%

    5. Aumenta z y ambas divergen. La expresión clásica no tiene límite superior; la relativista lleva β → 1 integrado en su álgebra.

      z=0.1⇒β=0.09502 (classical is 5.24% high);z=1⇒β=0.600 (classical gives c)z=0.1\Rightarrow\beta=0.09502\ (\text{classical is }5.24\%\ \text{high});\qquad z=1\Rightarrow\beta=0.600\ (\text{classical gives }c)

    6. Un paso más convierte la velocidad en distancia. La ley de Hubble con H₀ = 70 km/s/Mpc sitúa a esta galaxia a unos 24 Mpc de distancia: muy por fuera del Grupo Local, y una distancia que ninguna otra cosa en la medición habría podido proporcionar.

      d=vH0=1694.570=24.2 Mpc≈79 million light yearsd=\frac{v}{H_0}=\frac{1694.5}{70}=24.2\ \mathrm{Mpc}\approx79\ \text{million light years}

    Respuesta

    1694,501 km/s frente a 1699,317 km/s con v = cz: una sobreestimación del 0,28%. Con este desplazamiento al rojo, el atajo es inofensivo. Sigue siéndolo durante un tiempo y luego falla de forma abrupta: con z = 0,1 es un 5,2% demasiado alto, y con z = 1 devuelve exactamente c, lo que no es un error grande sino una respuesta imposible. La forma relativista no puede hacer eso, porque β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) se aproxima a 1 desde abajo sin importar lo grande que llegue a ser z. Si le introduces z = 5 devuelve 0,946c; si le introduces z = 5 al atajo devuelve cinco veces la velocidad de la luz.

    β=(1+z)2−1(1+z)2+1⇒v=1694.501 km/s\beta=\frac{(1+z)^{2}-1}{(1+z)^{2}+1}\Rightarrow v=1694.501\ \mathrm{km/s}
Referencias (1)

· Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.