7 Raven Room

Seven ravens remember

487 lecciones · 69 capítulos · 47 artículos · 968 problemas resueltos

Matemáticas130

Números y álgebra

Un número para muchos: estadísticas de resumenL1 · 4

Tres herramientas construyen una lección: un valor resumen es una compresión con pérdida, y cómo comprimes determina sobre qué es sincero el resumen. Cada paso entrega al siguiente una limitación concreta de los resúmenes de un único número.
Escribir un númeroL1 · 4

Tres herramientas y un solo argumento: hay números que no se pueden escribir hasta el final. La mejor versión corta de uno de ellos se busca en lugar de adivinarse, y recortar un número tiene un coste que puedes medir.
Despejar la x, partiendo del signo menosL1 · 6

Seis herramientas que estructuran la resolución de ecuaciones en el orden en que las ideas realmente dependen unas de otras. Empiezas por lo que hace un signo menos. Terminas con un método mecánico para tres incógnitas a la vez. Cada paso entrega al siguiente algo concreto: un movimiento, una restricción a un movimiento o una prueba para saber si tu movimiento fue válido.
Órdenes de magnitudL2 · 3

Tres herramientas, un hábito: cuando las magnitudes difieren por factores en lugar de cantidades, deja de contar y empieza a contar exponentes. La primera construye la regla, la segunda la recorre y la tercera le asigna un número sin un solo dato.
Más allá de la cuadráticaL2 · 5

Cuatro herramientas, y cada una existe porque la herramienta anterior ya no te basta. Factorizar funciona cuando las raíces son sencillas; la fórmula, cuando no lo son. La división te sirve más allá del grado dos, y una función racional es lo que hacen dos polinomios cuando pones uno sobre el otro.
Funciones: una tras otra y el camino de vueltaL2 · 3

Tres páginas sobre cómo aplicar una función tras otra. Trasladar y dilatar una gráfica responde ya a esta idea, con el orden fijado por los paréntesis. La composición general demuestra que el orden altera el resultado. Y la inversa es la función que, compuesta con f, te devuelve x; su gráfica es la simétrica de la de f respecto a la recta y = x.

Geometría y trigonometría

Las reglas del triángulo y de dónde salenL1 · 7

Seis herramientas que construyen los resultados fundamentales del triángulo y el círculo en el orden en que realmente dependen unos de otros. Aquí no se da nada por sentado: cada regla surge como consecuencia de la anterior, y el recorrido termina al ubicar la primera de vuelta sobre una cuadrícula, donde se convierte en la fórmula de la distancia.
Identidades y ecuaciones trigonométricasL2 · 7

Una identidad se cumple para cualquier ángulo donde ambos miembros estén definidos. Justo eso te permite sustituir la función que te da el enunciado por la que te piden calcular. El capítulo arranca con las funciones recíprocas y las tres identidades pitagóricas. Recorre después las funciones inversas que devuelve la calculadora, las ecuaciones que abren, las fórmulas del ángulo compuesto y del ángulo doble, y la forma armónica. Cierra demostrando identidades, línea por línea.
Círculos y ondas son el mismo movimientoL2 · 4

Tres herramientas. La idea central de la secuencia es que no son tres temas distintos. Una onda sinusoidal es cómo se ve el movimiento circular uniforme de perfil, y un péndulo oscilante es lo que ves cuando la gravedad aporta el giro.

Cálculo

Por qué todo se ve recto de cercaL2 · 6

Cinco herramientas para una sola idea: una curva suave, si la amplías lo suficiente, es indistinguible de una línea recta. Ese único hecho es lo que mide una derivada. Es lo que extiende una serie de Taylor, y lo que hace un gradiente en más de una dirección. El camino empieza con la medida angular que logra que la aritmética resulte limpia. Termina en una ladera donde la pendiente más pronunciada supera cualquier dirección que realmente mediste.
Derivación: cómo se combinan las razones de cambioL2 · 5

Una derivada es una razón de cambio. Cada regla de derivación explica cómo se combinan esas razones: en un producto, al anidar una función dentro de otra o en una ecuación donde nadie ha despejado la y. En las dos últimas páginas pondrás estas reglas en práctica con las preguntas que de verdad plantea cualquier curso: a qué velocidad cambia algo en un instante preciso y cuál es la mejor opción.
Qué nos dicen f′ y f″ sobre una gráficaL3 · 2

El signo de f′ indica dónde crece y decrece una gráfica; el de f″, hacia dónde se curva. El capítulo comienza con el teorema que da rigor a estas observaciones: el teorema del valor medio. A partir de esa base avanzarás hacia los criterios de la primera y la segunda derivada, y aprenderás a leer f a partir de la gráfica de f′.
1. 01Teorema del valor medio
2. 02Criterio de la primera derivada
Series infinitas y convergenciaL3 · 3

Una suma infinita es el límite de sumas finitas. Sin embargo, ese límite depende de factores que carecen de importancia en una suma finita: el orden de los términos y la ubicación de la singularidad más próxima, incluso cuando esta se encuentra fuera de la recta real.
Tres métodos numéricos y dónde falla cada unoL3 · 3

El método de Newton, la regla de Simpson y el método de Euler funcionan con el mismo motor: en un intervalo lo bastante pequeño, tratar la curva como una recta. Por tanto, cada uno presenta un fallo que no es un defecto. Lo verdaderamente útil es que sepas qué fallo corresponde a cada método. Aquí, cada paso entrega al siguiente un error con nombre propio y la tasa a la que se reduce.
Técnicas de integraciónL3 · 7

Derivar es un procedimiento e integrar es una búsqueda. Por esto mismo, los ejercicios de este capítulo evalúan tu respuesta de una sola manera: derívala y compárala con el integrando. La sustitución y la integración por partes no son más que las reglas de la cadena y del producto aplicadas a la inversa. El método de fracciones parciales cubre esa gran familia donde siempre existe una respuesta elemental. La última página demuestra que, para e⁻ˣ², dicha respuesta simplemente no existe.
Aplicaciones de la integralL3 · 8

Una integral es una cantidad acumulada: un área, una distancia, un volumen. Este capítulo arranca con el teorema que conecta esa acumulación con el ritmo de cambio, y avanza desde ahí hacia el cálculo de áreas entre curvas, problemas de movimiento y volúmenes obtenidos por secciones.
Ecuaciones diferenciales: de las pendientes a los polosL3 · 3

Una ecuación diferencial describe a qué ritmo cambia algo, jamás cuánto vale. El campo de pendientes dibuja esa idea y muestra toda una familia de soluciones, una por cada punto de partida. La exponencial es la familia que puedes resolver en una línea, y la transformada de Laplace convierte ese ritmo en un punto del plano s, donde el desenlace se lee sin resolver nada.

Álgebra lineal y datos

Ajuste de una recta a los datosL3 · 7

Siete herramientas que transforman una nube de puntos dispersos en un número que puedes defender, para luego plantear cómo se halla ese número, cuánto debes confiar en él, qué ocurre cuando nadie te da la respuesta, y finalmente cómo evaluar una predicción que siempre fue solo una probabilidad. El recorrido atraviesa la geometría más que la estadística, porque es la geometría lo que hace honesta a la estadística.
Matrices que mueven cosasL3 · 4

Una pregunta, planteada cuatro veces con cada vez menos información: ¿qué le hace realmente esta matriz al espacio? Las columnas responden directamente. Los vectores propios lo hacen para las direcciones que sobreviven. La DVS responde cuando no queda ninguna, y el ACP dirige la misma maquinaria hacia una nube de mediciones.

Demostración, conteo y juegos

Cuando dos cosas coinciden en el mismo valorL2 · 3

El problema del cumpleaños parece un truco de salón, pero en realidad es la herramienta estándar para analizar colisiones. En el segundo paso es donde los informáticos se lo vuelven a encontrar, bajo un nombre distinto.
Métodos de demostraciónL2 · 4

Una demostración es un razonamiento que abarca todos los casos, incluidos aquellos que nadie comprobará jamás. Estas páginas construyen ese razonamiento de cuatro maneras: por inducción, repartiendo cosas en cajas, mediante una cantidad que ningún movimiento logra alterar y formando parejas. La primera empieza con una fórmula que da un número primo cuarenta veces seguidas y luego da 41 × 41.
La mejor respuesta y lo que pasa cuando nadie la calculaL3 · 4

Cuatro juegos y una operación: hallar el movimiento que responda a lo que haga el otro jugador. Por sí sola resuelve el primer juego. En el segundo exige repasar toda una matriz para encontrarla, y en el tercero acarrea un precio. En el cuarto, nadie la calcula en absoluto. Y, sin embargo, la población llega a la respuesta de todos modos.

Aún sin capítulo35

Estadística y Finanzas66

Datos e inferencia

Estadística: de los datos a las proporcionesL2 · 4

AP Statistics arranca con gráficos de una sola variable y dedica su unidad más amplia a la inferencia sobre proporciones. Este capítulo avanza en ese mismo orden: cómo se representan los datos, cómo se describen y cómo una proporción muestral se transforma en un intervalo de confianza y en una prueba de significación. El modelo normal y las distribuciones muestrales en las que se apoya cuentan con capítulo propio, De los recuentos a las curvas.
De recuentos a curvasL2 · 6

Seis herramientas y una distribución. Aquí todo es la binomial en un límite distinto, o la binomial leída al revés: cuenta los éxitos, deja que ese número crezca y observa cómo aparece una campana de Gauss que nadie puso ahí.
¿Cuándo es real una diferencia?L2 · 4

Cuatro herramientas que formulan una única pregunta partiendo de cada vez menos información: dos grupos, luego un número cualquiera de ellos y, después, recuentos sin promedio alguno. La última herramienta la plantea antes de que existan los datos.
Las probabilidades a priori y de dónde provienenL2 · 3

Nadie cuestiona la aritmética del teorema de Bayes. El problema es la probabilidad a priori: de dónde salió ese primer número y quién lo eligió. Estas tres herramientas abordan la cuestión en orden creciente de dificultad: una probabilidad a priori que puedes consultar, otra que te entrega el instrumento y una que nadie tiene.
Lo que p < 0,05 no prometeL2 · 4

Un valor p responde a una sola pregunta sobre un contraste planificado. En los estudios reales se hacen veinte contrastes, se vigilan los datos según van llegando y se publican los resultados que salieron significativos; cada una de esas decisiones cambia lo que vale un p < 0,05. En cada página tomas un procedimiento que parece inofensivo y calculas con exactitud cuánto cuesta.

Decisión y riesgo

Decidir a partir de lo que vesL1 · 2

Dos situaciones en las que la estrategia más evidente falla. En el juego de las puertas recibes una pista y tienes que valorar cuánto te dice. Su valor depende de la regla que sigue el presentador, más que de lo que ves. En la selección de candidatos, vas conociéndolos de uno en uno y cada descarte es definitivo. ¿Cuándo dejas de buscar?
1. 01Monty Hall
2. 02La regla del 37 %
Juegos justos que te arruinanL2 · 4

La esperanza matemática describe lo que cabe esperar, en promedio, entre muchísimos jugadores. Tú juegas con tu propio capital. Un juego puede ser justo, o incluso darte ventaja, y aun así arruinar a casi todos los que participan. En cada página, el promedio aparece como una tenue línea discontinua mientras observas qué les ocurre a los jugadores cuyos resultados lo forman.

Dinero e inversión

El dinero en el tiempoL2 · 5

Cuatro herramientas que construyen una idea: el dinero tiene un valor distinto en momentos diferentes, y un pago recurrente puede reducirse a una única fórmula. Aquí, cada paso le entrega algo específico al siguiente.
El riesgo, medidoL3 · 6

Seis herramientas aplicadas a los mismos 98 años de rentabilidades, cada una aportando a la siguiente una cantidad específica. La secuencia responde a una pregunta en seis pasos: ¿qué es lo verdaderamente arriesgado de una inversión y cuánto de lo que te dicen sobre ella puedes comprobar?

Aún sin capítulo21

Física104

Mecánica

Energía en lugar de fuerzasL2 · 3

Dos herramientas y un atajo: si lo único que te interesa son las velocidades y las alturas, puedes prescindir por completo de las fuerzas y dejar que la energía lleve las cuentas.
Leyes de Newton: el agarre que pide el movimientoL2 · 3

En cualquier problema de mecánica donde intervenga una superficie hay que responder a una pregunta antes de calcular nada: ¿cuánto rozamiento pide este movimiento y puede dárselo el contacto? Un bloque sobre una tabla responde enfrentando tan θ a μ. Un coche en una curva peraltada añade el viraje, y el rozamiento que necesita cambia de sentido según la velocidad. Una bola que rueda rampa abajo añade la rotación, y el aro, que es el que más agarre pide, es el primero en patinar.
Máquinas simples: cambiar fuerza por distanciaL2 · 6

Cinco máquinas y un trato. Ninguna crea energía, y cada una te permite elegir cómo emplearla: una fuerza menor en un recorrido más largo, o a la inversa. Cada paso transfiere al siguiente una parte concreta de ese trato. Al terminar, podrás interpretar cualquier máquina planteando dos preguntas sobre ella.
Lanzar objetosL2 · 3

Tres herramientas, y la tercera anula las dos primeras. La aceleración constante tiene una solución en forma cerrada, así que los dos primeros pasos son álgebra. La resistencia del aire no es constante y, a partir de ahí, el único método honesto es integrar paso a paso.
Mínimo tiempo, mínima acciónL2 · 4

El camino que toma un rayo de luz, el que sigue una cuenta al deslizarse y el de una pelota lanzada es aquel donde un pequeño cambio no produce una variación de primer orden en un total: el tiempo para los dos primeros, la acción para la pelota. Cada página te permite curvar la trayectoria y observar cómo el total apenas se mueve, y dos de ellas hallan un camino cuyo total es estacionario sin ser el mínimo.
Rotación y momento angularL2 · 4

Un cuerpo en rotación transporta un vector, su momento angular, y casi todo lo que sorprende de la rotación es la resistencia de ese vector a cambiar. Acerca los brazos al cuerpo sobre un disco giratorio y girarás más rápido. Una rueda gira de lado en lugar de caer. Una raqueta se invierte. El plano de un péndulo permanece fijo mientras el suelo gira bajo él.
Por dónde pasa la cargaL3 · 7

Siete páginas en torno a una pregunta: qué parte de una estructura soporta realmente el peso y de qué manera. El recorrido comienza en el interior de una sola viga, cuyo centro apenas interviene, y termina en una cercha con más barras que ecuaciones que, aun así, permite determinar con exactitud cuándo se derrumbará.

Fluidos

Agua que sale de un tanque: una velocidad, empleada de dos manerasL2 · 2

Dos herramientas basadas en un solo resultado. El agua sale por un orificio exactamente a la velocidad que alcanza una piedra al caer desde esa misma profundidad, y todo lo demás se deduce de hacia dónde se dirige esa velocidad: lateralmente es un proyectil, hacia abajo es el depósito vaciándose.
1. 01Tres orificios en un tanque
2. 02El tanque vaciándose
Fluidos en reposo: de un manómetro a la raíz de una montañaL2 · 3

La presión en un líquido en reposo depende de la profundidad y de nada más: ni del área, ni de la cantidad de líquido, ni de la forma del recipiente. Aplica esa idea a la parte superior e inferior de un cuerpo y tendrás el empuje. La flotación se rige entonces por una sola regla: un cuerpo que flota desaloja su propia masa de líquido, y a esa regla le da igual si el cuerpo es una barca de remos en un estanque o un continente sobre el manto.
Fluidos en movimiento: lo que la viscosidad se cobraL2 · 5

En la tubería de Bernoulli no interviene el rozamiento; las páginas siguientes van reincorporando lo que aquella dejó fuera. La viscosidad cuesta presión a lo largo del conducto. El número de Reynolds decide si esa pérdida sigue la pauta ordenada que calculó Poiseuille. Al caer en el agua, un grano de arena muestra cómo este mismo número arbitra entre dos leyes de arrastre. Y en la franja intermedia, donde ninguna fórmula sirve, la última página resuelve las propias ecuaciones.

Ondas, luz y cuantos

Desviar la luzL2 · 3

Una lente es una frontera que alguien ha curvado, y ninguna página de este recorrido introduce física que la primera no contenga ya. Lo que cambia es cuánto le exiges: una superficie, luego una lente ideal, luego un trozo de vidrio.
De un resorte a una onda estacionariaL2 · 4

Una sola fuerza restauradora, llevada hasta sus últimas consecuencias. Una masa en un resorte oscila. Si formas una hilera, la oscilación se transmite. Cuando dos de ellas se encuentran, deciden si sumarse o anularse, y un límite en cada extremo descarta toda frecuencia que no encaje.
Óptica ondulatoriaL2 · 4

La óptica geométrica dice que la luz viaja en línea recta y que un borde proyecta una sombra nítida. Aquí cada página dibuja esa respuesta como un fantasma junto a la solución ondulatoria, y lo que se interpone en el camino de la luz cambia de una página a otra: dos superficies, una rendija, una abertura circular y, finalmente, un disco opaco cuya sombra brilla en el centro.
Mecánica cuántica: la materia como ondasL2 · 5

La luz llega en paquetes, y la misma constante h otorga entonces a cada partícula una longitud de onda. El resto se deduce de tomar esa onda en serio: confinada en una caja, tiene una energía mínima que no es cero; se filtra a través de paredes que no puede saltar, y al comprimirse en un espacio reducido se dispersa sobre muchos números de onda, lo que constituye el principio de incertidumbre.
Las ecuaciones del calor, de onda y de LaplaceL3 · 4

Tres ecuaciones construidas sobre un mismo operador, el laplaciano, que difieren únicamente en el papel del tiempo. El calor olvida, empezando por el detalle más fino. Una onda aleja una perturbación y, sobre una superficie, nunca termina de llegar del todo. La ecuación de Laplace carece de tiempo por completo, y es el estado al que llega el calor a base de olvidar: cada punto es el promedio de sus vecinos.

Electricidad y magnetismo

Lo que la ley de Ohm deja fueraL1 · 6

Como explica su propia página, la ley de Ohm describe una sola resistencia a temperatura constante, conectada a corriente continua y sin ningún otro elemento en el circuito. Cada página posterior incorpora uno de los aspectos que esa descripción omite: un segundo componente, el cable, la batería, un circuito que no se puede simplificar y una tensión que varía.
Resistencia, luego reactanciaL2 · 3

Un condensador no tiene resistencia y aun así limita la corriente; lo que determina no es un número de ohmios, sino un tiempo. La segunda página muestra que ese tiempo aparece en cualquier sistema con un elemento que almacena y otro que disipa. La tercera incorpora un segundo elemento de almacenamiento, y el tiempo se convierte en frecuencia.
Lo que no es una resistenciaL2 · 5

La ley de Ohm describe un solo tipo de componente. Los cinco de esta lección almacenan energía en una tensión o en una corriente, conducen en un único sentido, amplifican y amplifican con precisión; por sí solos, ninguno es de fiar: la ganancia de corriente β de un transistor llega a triplicarse entre componentes del mismo tipo. El circuito que rodea al componente es lo que lo vuelve predecible, y en cada página verás cómo.
De dónde vienen los camposL3 · 6

Las cargas crean campos eléctricos y las corrientes, magnéticos. En los exámenes, la duda siempre es qué campo produce cada distribución. En este capítulo sumamos primero fragmento a fragmento con una integral y usamos la simetría para anular la mayor parte del cálculo; luego tomamos los atajos que esa misma simetría autoriza: la ley de Gauss para la carga, y las leyes de Biot-Savart y de Ampère para la corriente. El recorrido termina justo donde la ley de Ampère necesita la corrección de Maxwell.

Aún sin capítulo24

Astronomía y Espacio44

¿A qué distancia está?L2 · 4

El brillo aparente de una estrella no te permite deducir nada hasta que sabes a qué distancia se encuentra. Ese es el orden de estos cuatro, y el mismo que siguió la astronomía: cada peldaño medido respecto al inferior, desde el triángulo de un topógrafo hasta los confines del universo observable.
Órbitas a partir de dos númerosL3 · 5

Una órbita queda determinada por su tamaño y su forma, y casi todo lo demás se deduce de ahí. Estas cinco herramientas te llevan desde la elipse hasta el combustible: dónde se encuentra una nave, qué velocidad lleva en ese punto, cuánto tarda el viaje, qué trayecto resulta más económico y cuánto cuesta en propelente.

Aún sin capítulo35

Informática69

Máquinas y algoritmos

Cómo ejecuta un programa un ordenadorL1 · 6

De una puerta lógica a un programa en marcha. Con puertas NAND puedes construir cualquier circuito. Un sumador hecho de puertas también permite restar. El Little Man Computer reúne ese sumador y cien buzones: el programa ocupa la misma memoria que los números con los que trabaja. La máquina ejecuta lo que encuentre en la dirección que indica su contador de programa.
Qué operaciones abarata una estructura de datosL2 · 4

Cada estructura responde con rapidez a una pregunta concreta y lo paga en otra parte. Un filtro de Bloom no guarda ninguna clave y aun así puede decir seguro que no; un árbol de prefijos resuelve consultas por prefijo que una tabla de dispersión no puede resolver; un montículo siempre sabe cuál es su clave mínima y poco más. La última página plantea qué página expulsar de la memoria. Para elegir la mejor habría que conocer el futuro.
Contar trabajo, no segundosL3 · 4

Un cronómetro mide tu portátil. Contar operaciones mide el algoritmo. Dos herramientas basadas en ese único hábito.
Por qué un algoritmo es correctoL3 · 4

Un algoritmo es correcto por una razón que se puede enunciar, y falla por un error que una pequeña prueba puede descubrir. Cada página sitúa una versión correcta junto a una errónea pero verosímil: catorce de las dieciséis formas de escribir la búsqueda binaria fallan, el algoritmo voraz para dar cambio se equivoca con las antiguas monedas británicas y jamás con los centavos de Estados Unidos, Kruskal y Prim coinciden por un motivo lógico, y un código que corrige un bit invertido agrava el problema si se invierten dos.

Seguridad

Cómo se rompen los códigosL1 · 5

Cada cifrado de esta serie oculta las letras, pero deja otra cosa a la vista. La sustitución conserva el recuento de cada letra, el cifrado con palabra clave las alinea en columnas y una libreta de un solo uso empleada dos veces delata los espacios. Solo una clave aleatoria tan larga como el propio mensaje no revela absolutamente nada. El problema pasa a ser entonces cómo hacérsela llegar al destinatario, algo que las dos últimas páginas resuelven a la vista de todos.
Proteger una transmisión: revocar un dispositivo y descubrir cuál fueL3 · 2

Dos mitades del mismo problema, en el orden en que un estudio se enfrenta a ellas. Primero, se ha filtrado una clave y la licencia debe seguir funcionando para los demás. Resulta que esto cuesta un encabezado que no crece en absoluto con el tamaño del sistema. Después llega la mitad más difícil: saber de quién era esa clave, a partir de una copia que varios suscriptores crearon juntos específicamente para que no identifique a nadie.
1. 01Revocación de dispositivos
2. 02Marca de agua forense

Señales e información

Cómo se codifica un vídeoL2 · 8

Un codificador de vídeo no es un algoritmo, sino ocho etapas en un orden fijo, y el orden no es arbitrario: cada etapa existe porque la anterior hizo posible su trabajo. Esta herramienta modela una de ellas. La cadena de abajo enlaza con las otras siete.
Cómo elige un LLM la siguiente palabraL3 · 3

Dos herramientas que te muestran el interior de un modelo de lenguaje grande en el instante en que elige una palabra. La segunda se ejecuta literalmente sobre la primera: los candidatos que clasifica son entradas del vocabulario que la primera construye.
La transformada de Fourier en la prácticaL3 · 4

Una señal es una suma de flechas giratorias, y cualquier método práctico para interpretarlas tiene un coste que la fórmula del libro de texto pasa por alto. Una ventana finita dispersa un tono que no encaja en ella por todas las bandas; una ventana más corta gana tiempo y lo paga en afinación; un promedio es un filtro con forma propia, y la última página es la razón por la que todo esto resulta viable.
Compresión a manoL3 · 4

Cuatro codificadores que podrías ejecutar en papel, ordenados según lo que cada uno puede ver que el anterior no podía. El cuarto no comprime absolutamente nada, y es la razón por la que el primero funciona con texto.

Aún sin capítulo25

Biología y Química57

Relojes en la rocaL2 · 3

Una exponencial, leída de tres maneras. Hacia adelante te indica cuánto queda. Hacia atrás te revela la edad de algo. Y al aplicarla al ADN en lugar de a los núcleos, necesita una roca para calibrarla.
Geometría en una superficie curvaL2 · 4

En una superficie curva las reglas demostradas en papel dejan de cumplirse, y la medida en que cada una falla mide la curvatura desde el interior. Una ruta recta cambia su rumbo en la brújula, una flecha que transportas sin girar regresa rotada, un anillo resulta tener la longitud equivocada, y en el plano hiperbólico ningún triángulo puede contener más de π.
Por qué ocurre una reacciónL2 · 4

El calor que desprende una reacción no decide si esta ocurre; el hielo se funde absorbiendo calor. Estas cuatro páginas construyen la contabilidad que sí lo decide: la entalpía, que se suma como las ecuaciones; la energía libre estándar, que es una constante de equilibrio en otras unidades; la diferencia entre desplazar K y desplazar Q; y una pila que lee esa diferencia como un voltaje.
Mezclas y disolucionesL2 · 5

Un gas en una mezcla actúa a su propia presión parcial, lo que fija el límite de profundidad de un buceador. Un líquido hierve cuando su presión de vapor se iguala con la presión exterior. Dos líquidos que se mezclan mal detienen un alambique cerca del 95,6 % de etanol en masa, las partículas disueltas hacen que un kelvin de congelación equivalga a trece bares de presión osmótica y una sal se disuelve únicamente hasta que sus iones alcanzan un producto fijo.
Crecimiento con límiteL2 · 4

Aquí, cada población está frenada por algo, y ese algo se vuelve menos indulgente a cada paso: primero, la saturación que ella misma provoca; luego, una captura fija que se extrae del total; después, un depredador que conforma una población por derecho propio; y, por último, quedarse sin personas a las que infectar.
Cómo se elabora un pronóstico del tiempoL3 · 3

Un pronóstico es un modelo proyectado hacia el futuro a partir de un estado inicial que nadie conoce con exactitud. Por eso los meteorólogos lo ejecutan repetidas veces y dejan que el grado de desacuerdo dicte hasta qué punto confiar en él. La segunda página desglosa el modelo y descubre un fallo ajeno por completo al caos. La tercera retrocede a las ecuaciones de Lorenz de 1963, donde la posición de la simulación se pierde enseguida, pero la forma que dibuja permanece para siempre.
Calcular con moléculasL4 · 5

Cinco herramientas que construyen un único argumento: el ADN es un medio de almacenamiento real y una computadora auténtica, y ambos se topan con límites que puedes calcular en lugar de adivinar. Cada paso entrega al siguiente un número concreto.

Aún sin capítulo30

Zona de Mareas17

Aún sin capítulo16