Calculadora de ondas gravitacionales

Introduce las dos masas, la distancia y la frecuencia inicial para ver la masa chirp, la línea temporal de la fusión y la intensidad de la señal.

Valores iniciales — Calculadora de ondas gravitacionales

Masa primaria m₁ (M☉)	36
Masa secundaria m₂ (M☉)	29
Distancia de luminosidad (Mpc)	440
Frecuencia inicial f₀ (Hz)	20

Cambia cualquier control de arriba y los resultados se recalculan.

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Un brazo de cuatro kilómetros se mueve menos que un protón

LIGO detecta una onda gravitacional observando cómo dos brazos láser de 4 kilómetros se estiran y se comprimen en aproximadamente una parte en 10²¹ — una distorsión algunas centenas de veces más pequeña que el ancho de un protón. Esa señal solo se vuelve fiable porque la misma forma de onda debe aparecer en detectores separados por miles de kilómetros, lo que permite distinguir un chirp real del ruido local, como camiones que pasan o terremotos lejanos. La frecuencia tampoco se mantiene fija: a medida que los dos objetos espiralan entre sí, la energía orbital se libera como radiación gravitacional, por lo que la onda asciende en frecuencia hasta el momento de la fusión — el 'chirp' que da nombre a la curva de esta herramienta.

Qué revela la masa de chirp

Cuando dos objetos compactos se espiralizan uno hacia el otro, no emiten sus dos masas por separado. La forma de onda queda determinada casi por completo por una sola combinación, la masa de chirp M_c = (m₁m₂)^3/5/(m₁+m₂)^1/5. Ese único número controla la rapidez con que la frecuencia asciende, así que medir el ritmo del chirp te entrega la masa de chirp directamente. Por eso esta herramienta la sitúa en el centro.

Fusiones como sirenas estándar

La amplitud de una onda gravitacional depende de la verdadera distancia de luminosidad de la fuente de un modo que los físicos pueden calcular desde primeros principios — sin calibración con cefeidas ni supernovas. Eso convierte cada fusión en una sirena estándar: el chirp da las masas, la amplitud da la distancia. Combínalo con un corrimiento al rojo y obtienes una medición independiente de la constante de Hubble — así fue como la fusión de estrellas de neutrones GW170817 de 2017 aportó datos sobre la rapidez con que se expande el universo.

Problemas resueltos al detalle

36 y 29 masas solares a 440 Mpc 6 pasos
36 y 29 masas solares a 440 Mpc. Halla la masa chirp, cuánto dura la señal y cuánto se mueven realmente los espejos de LIGO; después, halla el único número del panel que no depende de ninguna de las entradas.
1. Las dos masas entran en la forma de onda en una sola combinación, y es esta. La masa chirp es lo que un detector mide directamente; las masas individuales tienen que extraerse más tarde, a partir de la parte de la señal que esta fórmula no puede ver.
  
  $\mathcal{M}=\frac{(m_1m_2)^{3/5}}{(m_1+m_2)^{1/5}}=\frac{(36\times29)^{3/5}}{65^{1/5}}=\frac{1044^{0.6}}{65^{0.2}}=\frac{64.77}{2.305}=28.1\,M_\odot$
2. El tiempo hasta la fusión escala con la masa chirp elevada a −5/3 y con la frecuencia inicial elevada a −8/3. Ambos exponentes son grandes, por lo que ambas entradas importan mucho más de lo que parece.
  
  $\tau\approx2.18\left(\frac{1.21}{\mathcal{M}}\right)^{5/3}\!\left(\frac{100}{f_0}\right)^{8/3}=2.18\,(0.04306)^{5/3}(5)^{8/3}=0.843\ \mathrm{s}$
3. La órbita circular estable más interna es donde debe detenerse la fase de espiral, y su frecuencia varía inversamente con la masa total: una binaria más pesada se fusiona a un tono más bajo. Con 65 masas solares, eso son 68 Hz, cerca del límite inferior de la banda de LIGO, razón por la cual este evento se escuchó como un golpe seco más que como un gorjeo.
  
  $f_{\mathrm{ISCO}}=\frac{c^{3}}{6\sqrt6\,\pi G M_{\text{tot}}}=\frac{2.694\times10^{25}}{14.70\times2.711\times10^{22}}=67.6\ \mathrm{Hz}$
4. La deformación es adimensional: es la elongación fraccionaria del espacio. Multiplica por la longitud del brazo para obtener una distancia.
  
  $h_{\text{peak}}\approx1.16\times10^{-21}\ \Longrightarrow\ \Delta L=4000\times1.16\times10^{-21}=4.6\times10^{-18}\ \mathrm{m}$
5. Pon esa distancia en perspectiva. Un protón mide 8,4 × 10⁻¹⁶ m de radio de carga, y los espejos se movieron menos de una centésima parte de ese valor.
  
  $\frac{4.6\times10^{-18}}{8.41\times10^{-16}}=\frac{1}{181}\ \text{of a proton's radius}$
6. Ahora la fila que nunca cambia. Nada de la binaria perdura en ella: se trata de un límite superior, no de una medida.
  
  $L_{\mathrm{GW}}\sim\frac{c^{5}}{5G}=\frac{2.42\times10^{42}}{3.34\times10^{-10}}=7.26\times10^{51}\ \mathrm{W}=1.90\times10^{25}\,L_\odot$
Respuesta

La luminosidad, y es c⁵/5G. Todas las demás filas cambian al mover un control deslizante; esa vale 1,90 × 10²⁵ L☉ sean cuales sean las masas, la distancia o la frecuencia inicial, porque se construye a partir de la velocidad de la luz y la constante gravitacional y de nada más. Es la mayor potencia que puede radiar cualquier proceso en relatividad general y, durante unos pocos milisegundos, esta fusión emitió más de ella que todas las estrellas del universo observable juntas en forma de luz. El otro extremo de la escala está en ese mismo panel: una deformación de 1,16 × 10⁻²¹ a lo largo de los brazos de 4 km de LIGO supone un cambio de longitud de 4,6 × 10⁻¹⁸ m, lo que equivale a una 181.ª parte del radio de un protón. Ambos números describen el mismo evento.

$\mathcal{M}=28.1\,M_\odot,\ \tau=843\ \mathrm{ms},\ f_{\mathrm{ISCO}}=67.6\ \mathrm{Hz},\ L_{\mathrm{GW}}=\frac{c^{5}}{5G}$
Dos estrellas de neutrones de 1,4 masas solares cada una a 100 Mpc 5 pasos
Dos estrellas de neutrones de 1,4 masas solares cada una, a 100 Mpc. Predice cada fila a partir de la respuesta anterior sobre agujeros negros sin volver a calcular nada, utilizando únicamente los exponentes.

Abre este problema en la herramienta
1. Recalcula únicamente la masa chirp. Para masas iguales, esta se reduce a 2^−1/5 veces la masa común, lo que da 1,22 para un par de 1,4.
  
  $\mathcal{M}=\frac{(1.4\times1.4)^{3/5}}{2.8^{1/5}}=\frac{1.96^{0.6}}{2.8^{0.2}}=\frac{1.4869}{1.2200}=1.22\,M_\odot$
2. Todo lo demás es una proporción. El exponente de la duración es −5/3, así que calcula primero la razón de masas y elévala una vez.
  
  $\frac{\tau_{\mathrm{NS}}}{\tau_{\mathrm{BH}}}=\left(\frac{\mathcal{M}_{\mathrm{BH}}}{\mathcal{M}_{\mathrm{NS}}}\right)^{5/3}=\left(\frac{28.10}{1.219}\right)^{5/3}=23.05^{5/3}=187$
3. Aplícalo a los 0,843 s del problema anterior. Sin integrales, sin constantes, sin más fórmula que el exponente.
  
  $\tau=0.843\times187=157\ \mathrm{s}=2.6\ \text{min}$
4. La frecuencia ISCO es inversamente proporcional a la masa total, por lo que el mismo truco con un exponente mucho menor proporciona el tono al final.
  
  $f_{\mathrm{ISCO}}\propto\frac{1}{M_{\text{tot}}}:\quad 67.6\times\frac{65}{2.8}=1570\ \mathrm{Hz}$
5. La deformación contiene dos dependencias a la vez —aumenta con la masa chirp elevada a 5/3 y disminuye con la distancia— y este par es a la vez más ligero y más cercano, por lo que los efectos se cancelan en parte.
  
  $h\propto\frac{\mathcal{M}^{5/3}}{d_L}:\quad 1.16\times10^{-21}\times\left(\frac{1.219}{28.10}\right)^{5/3}\times\frac{440}{100}=2.2\times10^{-22}$
Respuesta

Toda la diferencia se reduce a una sola ley de potencias: 187. La masa chirp disminuye de 28,10 a 1,22 y, como el tiempo de espiral escala con ℳ^−5/3, dividir la masa entre 23 multiplica el tiempo por 23^5/3 = 187. Eso transforma 0,84 segundos en 157, motivo por el cual la fusión de estrellas de neutrones es la única que LIGO puede anunciar mientras aún sucede: 2,6 minutos es tiempo suficiente para apuntar telescopios, y GW170817 es la razón por la que se observó la kilonova. La misma palanca actúa en contra en el otro extremo: f_ISCO varía como 1/M, de modo que la fusión concluye a 1570 Hz, muy por encima de la zona de mayor sensibilidad de los detectores. Las binarias ligeras son fáciles de oír venir y difíciles de oír llegar.

$\mathcal{M}=1.22\,M_\odot\ \Longrightarrow\ \tau\times187,\quad f_{\mathrm{ISCO}}\times23,\quad h\div5$

Referencias (3)

The detection the first block describes, and its measured strain: B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration), "Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger." Physical Review Letters 116(6), 061102, 2016.
The neutron-star merger behind the gw170817 preset: B. P. Abbott et al., "GW170817: Observation of Gravitational Waves from a Binary Neutron Star Inspiral." Physical Review Letters 119(16), 161101, 2017.
The chirp-mass and peak-strain expressions the tool evaluates: M. Maggiore, Gravitational Waves, Volume 1: Theory and Experiments, §4.1. Oxford University Press, 2008. ISBN 978-0-19-857074-5.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.

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