El problema de Monty Hall

Un coche y algunas cabras tras puertas cerradas. Elige una puerta, deja que el presentador abra otras y decide si cambias. La página calcula la probabilidad detrás de cada puerta a partir de la regla del presentador y lo que hizo. También juega miles de partidas para comprobarlo o te permite jugar a ti mismo. La tabla inferior desgrana las matemáticas.

Regla de Bayes: la jugada del presentador como evidencia	$P(C_i\mid H)=\frac{P(H\mid C_i)\,P(C_i)}{\sum_j P(H\mid C_j)\,P(C_j)}$
El presentador que sabe y abre al azar k puertas con cabra	$\begin{aligned}P(C_{d_0}\mid H)&=\frac{1}{n}\\P(C_d\mid H)&=\frac{n-1}{n\,(n-1-k)}\end{aligned}$

Ejemplo resuelto — El problema de Monty Hall

A priori, cada puerta	1/3
Verosimilitud, Puerta 1 · tu elección	1/2
Verosimilitud, Puerta 2 · cerrada	1
Verosimilitud, Puerta 3 · abierta	0 · cabra mostrada
Evidencia	1/2
A posteriori, Puerta 1 · tu elección	1/3
A posteriori, Puerta 2 · cerrada	2/3
A posteriori, Puerta 3 · abierta	0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — El problema de Monty Hall

La probabilidad de que el coche esté tras una puerta dada, una vez que el presentador ha actuado, se deduce de la regla de Bayes: la probabilidad a priori de esa puerta, 1 ÷ n, multiplicada por la verosimilitud de que el presentador hiciera exactamente lo que hizo si el coche estuviese allí, dividida entre la probabilidad total de su acción.

Qué significa cada símbolo

n: el número de puertas
k: el número de puertas que abre el presentador
P(H | C_i): la verosimilitud: la probabilidad de que el presentador haga lo que hizo si el coche está en la puerta i
P(C_i | H): la probabilidad a posteriori: la probabilidad de que el coche esté en la puerta i tras ver qué hizo el presentador

De dónde viene la fórmula

Define las hipótesis y asigna a cada una su probabilidad a priori. C_i representa que el coche está tras la puerta i; antes de que el presentador actúe, todas las puertas son equiprobables.
$P(C_i)=\frac{1}{n},\qquad i=1,\dots,n$
Calcula la verosimilitud de la jugada H del presentador bajo cada hipótesis. Es el único paso en el que interviene su criterio. Para el presentador que sabe dónde está el coche y abre al azar k puertas con cabra entre las que puede abrir, siendo d₀ tu puerta y O el conjunto de puertas que ha abierto:
$\begin{aligned}P(H\mid C_{d_0})&=\frac{1}{\binom{n-1}{k}}\\P(H\mid C_d)&=\frac{1}{\binom{n-2}{k}},\quad d\notin O\\P(H\mid C_d)&=0,\quad d\in O\end{aligned}$
Calcula la probabilidad total de su jugada.
$P(H)=\sum_{j=1}^{n}P(C_j)\,P(H\mid C_j)$
Divide el producto de la probabilidad a priori y la verosimilitud de cada puerta entre ese total. Para el presentador que sabe dónde está el coche, tu puerta conserva 1/n abra las puertas que abra, y a cada una de las otras m = n − 1 − k puertas cerradas le corresponde (n − 1)/(nm).
$\begin{aligned}P(C_i\mid H)&=\frac{P(C_i)\,P(H\mid C_i)}{P(H)}\\P(C_{d_0}\mid H)&=\frac{1}{n},\qquad P(C_d\mid H)=\frac{n-1}{n\,m}\end{aligned}$

Problemas resueltos al detalle

Las tres puertas, por el teorema de Bayes 4 pasos
Eliges la puerta 1. El presentador, que sabe dónde está el coche y siempre abre una puerta con cabra, eligiendo al azar cuando tiene opciones, abre la puerta 3. Calcula la probabilidad de que el coche esté en la puerta 1 y en la puerta 2. Pulsa Tres puertas para comprobarlo.

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1. Antes de que actúe, todas las puertas tienen la misma probabilidad:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. ¿Qué probabilidad hay de que abra la puerta 3 para cada lugar donde podría estar el coche?
  
  $P(H_3\mid C_1)=\tfrac12,\qquad P(H_3\mid C_2)=1,\qquad P(H_3\mid C_3)=0$
3. La probabilidad total de que abra la puerta 3:
  
  $P(H_3)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot 1+\tfrac13\cdot 0=\tfrac12$
4. Divide la probabilidad a priori de cada puerta multiplicada por su verosimilitud entre ese total:
  
  $P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac12}=\tfrac13,\qquad P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac12}=\tfrac23$
Respuesta

El coche está en la puerta 1 con una probabilidad de 1/3 y en la puerta 2 con una probabilidad de 2/3. La respuesta completa se encuentra en el segundo paso: si el coche está en la puerta 2, se ve obligado a abrir la puerta 3; si está en la puerta 1, abre la puerta 3 solo la mitad de las veces. Su apertura de la puerta 3 es, por tanto, el doble de probable si el coche está en la puerta 2.

$P(C_1\mid H_3)=\tfrac13,\qquad P(C_2\mid H_3)=\tfrac23$
Cuatro puertas, una abierta 5 pasos
Cuatro puertas. Eliges la puerta 1 y el presentador, que sabe dónde está el coche, abre otra puerta que oculta una cabra, eligiendo al azar cuando tiene opción. Abre la puerta 4. Calcula la probabilidad de que el coche esté tras cada puerta cerrada y compruébala contando antes de que actúe.

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1. Antes de que actúe:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=P(C_4)=\tfrac14$
2. ¿Qué probabilidad hay de que abra la puerta 4 según dónde esté el coche? Si el coche está tras la puerta 1, puede elegir entre tres puertas con cabra; si está tras la puerta 2 o la 3, solo entre dos:
  
  $\begin{aligned}&P(H_4\mid C_1)=\tfrac13\\&P(H_4\mid C_2)=P(H_4\mid C_3)=\tfrac12\\&P(H_4\mid C_4)=0\end{aligned}$
3. Probabilidad total de que abra la puerta 4:
  
  $P(H_4)=\tfrac14\left(\tfrac13+\tfrac12+\tfrac12\right)=\tfrac13$
4. Divide el producto de la probabilidad a priori y la verosimilitud de cada puerta entre ese total:
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_4)=\dfrac{\tfrac14\cdot\tfrac13}{\tfrac13}=\tfrac14\\&P(C_2\mid H_4)=P(C_3\mid H_4)=\dfrac{\tfrac14\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac38\end{aligned}$
5. El mismo resultado sin Bayes: cambiar a una puerta cerrada elegida al azar solo gana si la primera elección fue errónea, con probabilidad 3/4, y además el coche se encuentra tras una de las dos puertas cerradas:
  
  $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{8}$
Respuesta

La puerta 1 conserva 1/4; las puertas 2 y 3 tienen 3/8 cada una. Cambiar supera a quedarse, pero los 3/4 que sumaban entre las puertas 2, 3 y 4 ahora se reparten entre dos puertas, de modo que ninguna llega a esa cifra.

$P(C_1\mid H_4)=\tfrac14,\qquad P(C_2\mid H_4)=P(C_3\mid H_4)=\tfrac38$
Un presentador que no sabe 4 pasos
Tres puertas, y eliges la puerta 1. Este presentador no sabe dónde está el coche: abre al azar la puerta 2 o la 3, y resulta que la puerta 3 muestra una cabra. Calcula la probabilidad de que el coche esté tras la puerta 1 y tras la puerta 2. Pulsa Presentador que no sabe para comprobarlo.

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1. Antes de que actúe:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Llamemos H₃ a la apertura de la puerta 3 descubriendo una cabra. Si el coche está tras la puerta 1 o la 2, abre la puerta 3 la mitad de las veces y allí hay una cabra. Si el coche está tras la puerta 3, al abrirla aparecería el coche, de modo que H₃ es imposible:
  
  $\begin{aligned}&P(H_3\mid C_1)=\tfrac12\\&P(H_3\mid C_2)=\tfrac12\\&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. Probabilidad total de H₃:
  
  $P(H_3)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot 0=\tfrac13$
4. Divide:
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac12\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac12\end{aligned}$
Respuesta

1/2 y 1/2. La puerta abierta y la cabra coinciden con las del primer problema. Solo ha cambiado la verosimilitud para la puerta 2, de 1 a 1/2, porque este presentador nunca se vio obligado a evitar el coche.

$P(C_1\mid H_3)=P(C_2\mid H_3)=\tfrac12$
Un presentador con puerta favorita 5 pasos
Tres puertas, eliges la puerta 1 y el presentador sabe dónde está el coche. Cuando el coche está tras la puerta 1, de modo que puede abrir tanto la puerta 2 como la 3, abre la puerta 2 con probabilidad p. Halla la probabilidad de que cambiar gane si abre la puerta 2 y si abre la puerta 3. Luego toma p = 1: el presentador que siempre abre la puerta con cabra de menor número. Pulsa Sesgado abre la 2 para comprobar p = 1.

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1. Antes de que actúe:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Verosimilitud de cada jugada. Si el coche está tras la puerta 2 o la 3, no tiene elección:
  
  $\begin{aligned}&P(H_2\mid C_1)=p,&&P(H_3\mid C_1)=1-p\\&P(H_2\mid C_2)=0,&&P(H_3\mid C_2)=1\\&P(H_2\mid C_3)=1,&&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. Probabilidad total de cada jugada:
  
  $\begin{aligned}&P(H_2)=\tfrac13(1+p)\\&P(H_3)=\tfrac13(2-p)\end{aligned}$
4. Divide. Cambiar tras abrirse la puerta 2 significa elegir la puerta 3; tras la puerta 3, significa elegir la puerta 2:
  
  $\begin{aligned}&P(C_3\mid H_2)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac13(1+p)}=\dfrac{1}{1+p}\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac13(2-p)}=\dfrac{1}{2-p}\end{aligned}$
5. Con p = 1:
  
  $p=1:\quad P(C_3\mid H_2)=\tfrac12,\quad P(C_2\mid H_3)=1$
Respuesta

Cambiar gana con probabilidad 1/(1 + p) tras la puerta 2 y 1/(2 − p) tras la puerta 3. Ambas son de al menos 1/2 para cualquier p entre 0 y 1, de modo que cambiar nunca es peor que quedarse, sea cual sea su preferencia. Con p = 1 valen 1/2 y 1; con p = 1/2, el presentador del primer problema, ambas son 2/3.

$\dfrac{1}{1+p}\ge\tfrac12,\qquad\dfrac{1}{2-p}\ge\tfrac12\qquad(0\le p\le1)$
Cuando la oferta es la prueba 5 pasos
Tres puertas, eliges la puerta 1. Si tu elección es el coche, el presentador siempre ofrece cambiar; si es una cabra, ofrece el cambio con probabilidad q. Siempre que ofrece cambiar, abre una puerta con cabra, al azar si hay dos. Ofrece el cambio y abre la puerta 3. ¿Para qué valores de q conviene cambiar? Monty Hell corresponde a q = 0: pulsa El infierno de Monty para comprobarlo.

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1. Antes de que actúe:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Ahora H₃ representa que ofrece cambiar y abre la puerta 3. Si el coche está tras la puerta 1, ofrece con total seguridad y abre la puerta 3 la mitad de las veces; tras la puerta 2, ofrece con probabilidad q y se ve forzado a abrir la puerta 3; tras la puerta 3, no puede abrirla:
  
  $\begin{aligned}&P(H_3\mid C_1)=1\cdot\tfrac12\\&P(H_3\mid C_2)=q\cdot 1\\&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. Probabilidad total de H₃:
  
  $P(H_3)=\tfrac13\left(\tfrac12+q\right)$
4. Divide:
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac12}{\tfrac12+q}=\dfrac{1}{1+2q}\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{q}{\tfrac12+q}=\dfrac{2q}{1+2q}\end{aligned}$
5. Compara las dos puertas cerradas:
  
  $\begin{aligned}&\dfrac{2q}{1+2q}>\dfrac{1}{1+2q}\iff q>\tfrac12\\&q=1:\ \tfrac23\\&q=0:\ 0\end{aligned}$
Respuesta

Cambia cuando q > 1/2 y quédate cuando q < 1/2; con q = 1/2 dan lo mismo. El presentador que siempre ofrece cambiar, q = 1, asigna una probabilidad de 2/3 al cambio, mientras que Monty Hell, q = 0, no le da ninguna opción. La propia oferta aporta información: ante un presentador que la propone al fallar menos de la mitad de veces que al acertar, te conviene quedarte.

$P(C_2\mid H_3)=\dfrac{2q}{1+2q}>\tfrac12\iff q>\tfrac12$
Las cajas de Bertrand 4 pasos
Tres cajas contienen dos monedas de oro, dos de plata y una de cada clase. Eliges una caja al azar y sacas una de sus monedas al azar. Es de oro. Calcula la probabilidad de que la otra moneda de esa caja sea también de oro.
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1. Llama GG, SS y GS a las cajas. Antes de la extracción:
  
  $P(GG)=P(SS)=P(GS)=\tfrac13$
2. ¿Cuál es la verosimilitud de sacar una moneda de oro de cada caja?
  
  $\begin{aligned}&P(G\mid GG)=1\\&P(G\mid SS)=0\\&P(G\mid GS)=\tfrac12\end{aligned}$
3. Probabilidad total de extraer oro:
  
  $P(G)=\tfrac13\cdot 1+\tfrac13\cdot 0+\tfrac13\cdot\tfrac12=\tfrac12$
4. Divide:
  
  $P(GG\mid G)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac12}=\tfrac23$
Respuesta

2/3, y no el 1/2 que sale al contar las dos cajas que podrían contener una moneda de oro. La caja con dos monedas de oro da oro siempre, y la mixta solo la mitad de las veces; por eso es el doble de probable que una moneda de oro proceda de la primera. Joseph Bertrand planteó este dilema en su Calcul des probabilités de 1889, 86 años antes de que Steve Selvin propusiera las tres puertas a los lectores de The American Statistician.

$P(GG\mid G)=\tfrac23$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Tres prisioneros, A, B y C, se enteran de que uno de ellos, elegido al azar, será indultado. A le pide al carcelero que le diga cuál de los otros dos será ejecutado; si ambos van a serlo, el carcelero nombra a uno al azar. Nombra a B. Calcula la probabilidad de que A sea indultado, y la de que lo sea C.

Mostrar respuesta

1/3 y 2/3. Es el problema de las tres puertas, con el carcelero en el papel del presentador.

$\tfrac13,\qquad\tfrac23$
Cien puertas. El presentador que sabe dónde está el coche abre 98 de las 99 puertas que no elegiste, todas con cabras. Calcula la probabilidad para tu puerta y para la que dejó cerrada.

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1/100 y 99/100.

$\tfrac{1}{100},\qquad\tfrac{99}{100}$
Cinco puertas. El presentador que sabe dónde está el coche abre al azar dos puertas con cabra entre las cuatro que no elegiste. Calcula la probabilidad para tu puerta y para cada una de las otras dos puertas cerradas.

Mostrar respuesta

1/5, y 2/5 cada una.

$\tfrac15,\qquad\tfrac25$
Diez puertas. Un presentador que no sabe dónde está el coche abre al azar 8 de las 9 puertas que no elegiste, y las 8 ocultan cabras. Calcula la probabilidad para tu puerta y para la otra puerta cerrada, y la probabilidad de que un presentador así llegue a mostrar 8 cabras.

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1/2 y 1/2; muestra 8 cabras con probabilidad 1/5.

$\tfrac12,\qquad\tfrac12;\qquad\tfrac{10-8}{10}=\tfrac15$
En el problema del presentador con puerta favorita, toma p = 1/3. Abre la puerta 3. Calcula la probabilidad de que cambiar gane.

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1/(2 − 1/3) = 3/5.

$\dfrac{1}{2-\tfrac13}=\tfrac35$
Mil partidas con el presentador que sabe dónde está el coche. ¿Entre qué dos valores se situará la tasa de victorias al cambiar el 95% de las veces?

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2/3 ± 1,96 √((2/3 · 1/3)/1000): del 63,74% al 69,59%.

$\tfrac23\pm1.96\sqrt{\dfrac{\tfrac23\cdot\tfrac13}{1000}}=[0.6374,\ 0.6959]$

Cambiar gana dos de cada tres veces

Pulsa Tres puertas. Eliges la puerta 1, que tiene una probabilidad entre tres de esconder el coche. Nada de lo que haga este presentador puede cambiarlo. Abriría la puerta 3 la mitad de las veces si el coche estuviera en tu puerta, y cuando puede elegir, lo hace al azar, así que su movimiento no aporta nueva información sobre la puerta 1. Abre la puerta 3 y muestra una cabra. Los dos tercios de probabilidad de que el coche estuviera en la puerta 2 o en la 3 recaen ahora en exclusiva sobre la puerta 2, así que cambiar gana 2 veces de cada 3. Pulsa 100 puertas y resulta evidente: elegiste una puerta entre cien, el presentador abre 98 de las demás para revelar cabras y la única puerta que deja cerrada es la que te conviene elegir, 99 veces de cada 100. En 1990 Marilyn vos Savant dio la solución de las tres puertas en su columna de Parade y recibió miles de cartas advirtiendo que se equivocaba, muchas de ellas firmadas por personas con doctorado.

La misma imagen da una respuesta distinta si el presentador no sabía

Pulsa Presentador que no sabe. Ves exactamente lo que veías antes: puerta 1 elegida, puerta 3 abierta, una cabra. Sin embargo, este presentador abrió una puerta al azar y por suerte no dio con el coche. Ahora tanto quedarse como cambiar ganan 1 vez de cada 2. La probabilidad depende de la regla que produjo lo que ves, no solo de lo que ves. Un presentador que sabe, que está obligado a mostrar una cabra y que elige al azar cuando puede, no te dice nada sobre tu propia puerta; toda la probabilidad que retira de la puerta 3 se traslada a la 2. Un presentador que abriese la puerta 3 al azar habría mostrado una cabra allí con la misma frecuencia con el coche en la puerta 1 que en la 2, de modo que esa cabra no favorece a ninguna de las opciones.

Qué puerta abre puede ser toda la respuesta

Pulsa Sesgado abre la 2. Este presentador siempre abre la puerta con la cabra del número más bajo posible. La puerta 2 es la que abriría tanto si el coche está en la 1 como en la 3, por lo que verla no inclina la balanza; quedarse y cambiar están a 1 de cada 2. Pulsa Sesgado abre la 3: pasó por alto la puerta 2, lo que solo haría si el coche estuviese en ella, así que cambiar gana todas las veces. Promediando las partidas, una probabilidad de la mitad dos tercios de las veces y una certeza un tercio de las veces, cambiar sigue ganando 2 veces de cada 3. El infierno de Monty es el presentador que ofrece cambiar solo cuando ya has encontrado el coche y, dada la oferta, cambiar siempre pierde.

Ruta de aprendizaje

Decidir a partir de lo que ves

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.