← Astronoomia & Kosmos

Kolme keha probleemi simulaator

kaootiline gravitatsioon, kaksiksimulatsioonide lahknemine ja numbriline stabiilsus

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks näeb see igal värskendamisel ühesugune välja?

Kolme keha probleem on kaootiline, kuid mitte juhuslik. Kaos tähendab, et väikesed erinevused algtingimustes kasvavad eksponentsiaalselt – kuid lehe värskendamine ei muuda midagi: samad algpositsioonid, samad kiirused, sama dt, sama algoritm, iga kord sama tulemus. Deterministlik kaos ja arvutuslik korratavus on kaks erinevat asja. Et kaost tegelikult näha: sea häiring väärtusele 0,000001 ja jälgi katkendlikku kaksiktrajektoori. Mõlemad trajektoorid alustavad 10⁻⁶ kaugusel teineteisest ja lahknevad lõpuks täiesti erinevatele teedele. See eksponentsiaalne lahknemine ongi kaos – Ljapunovi eksponent tegevuses. Orbiitide all olev lahknevusgraafik kujutab selle lahknemise log₁₀ väärtust aja jooksul; sirge tõusev joon tähendab eksponentsiaalset kasvu.

miks kolm on raske arv

Kaks teineteist tõmbavat keha joonistavad lihtsaid, lõputult korduvaid ellipse — selle juhu lahendas Newton pliiatsi ja paberiga. Lisa kolmas keha ja korralik valem kaob: pole üldist võrrandit selle kohta, kuhu kõik jõuavad, nii et ainus tee on lükata simulatsiooni edasi ühe pisikese dt kaupa, täpselt nagu see tööriist teeb. Vajuta figure-8 eelseadistust, et näha üht haruldast erandit — kolm võrdset massi jälitamas üksteist igavesti ühel silmustaolisel rajal.

lahendus, mis on olemas, aga kasutu

Sageli öeldakse, et kolme keha probleem on 'lahendamatu', kuid 1912. aastal tõestas Karl Sundman koonduva astmerea muutujas t1/3, mis annab kehade asukohad igaveseks ajaks (välja arvatud kolmikkokkupõrke algtingimused). Konks: see koondub nii aeglaselt, et astronoomiline täpsus nõuaks suurusjärgus 108000000 liiget — lootusetult üle iga arvuti võimete. Formaalne lahendus seega on olemas; simulatsiooni samm-sammult edasi lükkamine, nagu siin, on lihtsalt ainus kasutatav tee.

Ülesanne täielikult lahendatud

  1. 3 võrdse massi 8-kujulise koreograafia energia algtingimustest 7 sammu

    8-kujuline koreograafia suunab 3 võrdset massi piki ühte suletud kõverat. Arvuta selle energia hetkel t = 0 üksnes algtingimustest. See on 8-kujulise orbiidi eelseadistus: G = 1, m1 = m2 = m3 = 1, pehmendus ε = 0. Asukohad r1 = (−0,97000436, 0,24308753), r2 = −r1, r3 = (0, 0); kiirused v1 = v2 = (0,466203685, 0,43236573) ja koguimpulss on 0.

    Ava see ülesanne tööriistas

    1. Need pikad kümnendmurrud tunduvad suvalised. Võta need ruutu ja liida kokku, ning selgub, et ei ole: kehad 1 ja 2 asuvad kumbki täpselt 1 ühiku kaugusel alguspunktist, kus asub keha 3.

      ∣r1∣=0.970004362+0.243087532=0.940908+0.059092=1.0000|\mathbf{r}_1|=\sqrt{0.97000436^{2}+0.24308753^{2}}=\sqrt{0.940908+0.059092}=1.0000

    2. Keha 2 on keha 1 peegeldus alguspunkti suhtes, seega asuvad sel hetkel kõik 3 keha ühel sirgel, kusjuures keha 3 on selle keskpunktis. Kõik vahekaugused tulenevad sellest ilma teise ruutjuureta.

      r2=−r1⟹r13=r23=1.0000,r12=2.0000\mathbf{r}_2=-\mathbf{r}_1\quad\Longrightarrow\quad r_{13}=r_{23}=1.0000,\qquad r_{12}=2.0000

    3. Newtoni seadus vajab nüüd vaid neid vahekaugusi. Keha 3 on ülejänutest 1 ühiku kaugusel, samal ajal kui kehad 1 ja 2 on teineteisest kaks korda kaugemal, mistõttu on nendevaheline tõmbejõud 4 korda nõrgem.

      Fij=Gmimjrij2⟹F12=122=0.2500,F13=F23=1.0000F_{ij}=\frac{Gm_im_j}{r_{ij}^{2}}\quad\Longrightarrow\quad F_{12}=\frac{1}{2^{2}}=0.2500,\qquad F_{13}=F_{23}=1.0000

    4. Kasutame ära kollineaarsuse. Keha 3 tõmmatakse vastassuundades võrdselt, mistõttu selle resultantjõud kaob täpselt. Kehi 1 ja 2 tõmmatakse mõlema partneri poolt samas suunas, sest keha 3 asub nende vahel, seega liituvad nende 2 jõudu lihtsate arvudena ilma komponente lahutamata.

      ∣F3∣=1.0000−1.0000=0.0000,∣F1∣=1.0000+0.2500=1.2500|\mathbf{F}_3|=1.0000-1.0000=0.0000,\qquad |\mathbf{F}_1|=1.0000+0.2500=1.2500

    5. Koguimpulsi nullväärtus koos kehade 1 ja 2 identse liikumisega fikseerib keha 3 kiiruseks −2v1. See teeb selle kineetilise energia nende omast 4 korda suuremaks ning kõigi 3 keha summa taandub üheksainsaks liikmeks.

      ∑mivi=0, v1=v2 ⟹ v3=−2v1,  KE=12(1+1+4)v12=3v12{\textstyle\sum}m_i\mathbf{v}_i=0,\ \mathbf{v}_1=\mathbf{v}_2\ \Longrightarrow\ \mathbf{v}_3=-2\mathbf{v}_1,\ \ KE=\tfrac12(1+1+4)v_1^{2}=3v_1^{2}

    6. Suuruse v1 2 komponendi ruutuvõtmine ja kolmekordistamine ongi kogu 3 keha kineetilise energia arvutus.

      v12=0.4662036852+0.432365732=0.404286⟹KE=1.2129v_1^{2}=0.466203685^{2}+0.43236573^{2}=0.404286\quad\Longrightarrow\quad KE=1.2129

    7. Ka potentsiaalne energia ei vaja vektoreid — vaid 3 vahekauguse pöördväärtusi, ning kui ε = 0, on need pöördväärtused täpsed.

      PE=−G(m1m22+m1m31+m2m31)=−2.5000PE=-G\left(\frac{m_1m_2}{2}+\frac{m_1m_3}{1}+\frac{m_2m_3}{1}\right)=-2.5000

    Vastus

    E = −1,2871 ning paneeli iga rida tabelis t = 0 — vahekaugused, paarisjõud, resultantjõud, mõlemad energiad ja koguenergia — tuli välja neist 4 kümnendkohast ja koguimpulsi nullumisest. Vaata, mis juhtub osadega: hetkeks t = 25,0 on kineetiline energia tõusnud väärtuseni 1,305 ja potentsiaalne langenud väärtuseni −2,592, kusjuures koguenergia pole paigast liikunud. Märk on see, millel on tagajärg. Seotud trio võib siiski kaotada liikme, kuid mitte tasuta: kui 1 keha eemaldub nii, et midagi üle ei jää, peab maha jäänud paar kandma kogu väärtust −1,2871 ja 2 ühikulise massiga kehal on selle energia juures pikepooltelg 1/(2 × 1,2871) = 0,3885 — alla 1/5 neid praegu eraldavast kaugusest 2,0000. Väljavise ja tihenemine on üks ja sama sündmus ning põhjus on energiabilansis.

    E=1.2129−2.5000=−1.2871⟹amax⁡=Gm22∣E∣=12(1.2871)=0.3885E=1.2129-2.5000=-1.2871\quad\Longrightarrow\quad a_{\max}=\frac{Gm^{2}}{2|E|}=\frac{1}{2(1.2871)}=0.3885
Allikad (1)
YouTube (1)
StarTalk·Neil deGrasse Tyson Explains The Three-Body Problem

· Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.