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Calculateur de décalage vers le rouge cosmologique

Étirez un photon à travers l'univers en expansion. Fixez z, choisissez une longueur d'onde émise et observez le déplacement du spectre.

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Trois horizons distincts, et un seul où v = c

Le décalage vers le rouge cosmologique est souvent présenté comme un effet Doppler, mais il est plus subtil. Une galaxie ne se déplace pas dans l'espace : l'espace qui nous sépare s'étire, et la longueur d'onde du photon croît proportionnellement au facteur d'échelle a(t). À faible z la distinction est académique, les deux images donnant v ≈ H₀d. Au-delà de z ≈ 1,5 la vitesse de récession dépasse c, ce qui est impossible pour un mouvement dans l'espace et banal pour l'espace lui-même : la limite de vitesse de la relativité régit le déplacement dans l'espace-temps, pas son expansion. Trois distances différentes sont ici confondues. La récession atteint c au rayon de Hubble, c/H₀ ≈ 14,5 milliards d'années-lumière — et nous observons couramment des galaxies bien au-delà, la preuve la plus simple qu'une récession superluminique ne cache rien. Ce que nous ne pouvons pas dépasser du regard, c'est l'horizon des particules, à environ 46 milliards d'années-lumière, la distance que la lumière a eu le temps de parcourir. Et ce qui est définitivement hors d'atteinte est fixé par une troisième surface, l'horizon des événements, près de 16 milliards d'années-lumière : la lumière qui quitte aujourd'hui une galaxie située au-delà n'arrivera jamais.

Ce que mesure vraiment le décalage vers le rouge

La lumière d'une galaxie lointaine nous parvient avec ses longueurs d'onde étirées vers le rouge. Divisez la longueur d'onde observée par celle émise, retranchez 1 et vous obtenez z. Plus z est grand, plus la lumière a voyagé longtemps : z est donc à la fois l'horloge et la règle du cosmos. À z = 1, la lumière a quitté sa galaxie il y a environ 8 milliards d'années, quand l'univers faisait la moitié de sa taille actuelle (facteur d'échelle a = 1/(1+z) = 0.5).

Le décalage vers le rouge étire aussi le temps

L'expansion étire chaque longueur d'onde d'un facteur (1+z), mais elle étire la durée des événements du même facteur. Une supernova de type Ia à z = 1 est vue croître et décliner sur deux fois plus de jours qu'une supernova identique proche. C'est exactement cet étirement qui a été mesuré, écartant la vieille idée de la 'lumière fatiguée' : seule une véritable expansion ralentit l'horloge en plus de rougir la lumière.

Problème entièrement résolu

  1. Vitesse de récession lorsque la raie Hα de l'hydrogène arrive à 721,6 nm 5 étapes

    La raie Hα de l'hydrogène quitte une galaxie à 656 nm et arrive à 721,6 nm. Calculez la vitesse de récession. La formule évidente est fausse d'environ 1500 km/s ici, et à un décalage vers le rouge plus élevé, elle échoue complètement.

    1. Le décalage vers le rouge est défini comme l'étirement relatif de la longueur d'onde, il se lit donc directement à partir des deux nombres. z = 0,1 : la lumière est arrivée 10 % plus rouge qu'elle n'est partie.

      z=λobs−λ0λ0=721.6−656656=0.1000z=\frac{\lambda_{\text{obs}}-\lambda_0}{\lambda_0}=\frac{721.6-656}{656}=0.1000

    2. La formule vers laquelle presque tout le monde se tourne est v = cz, héritée de l'effet Doppler aux faibles vitesses. Elle donne 29 979 km/s, un dixième de la vitesse de la lumière.

      vnaive=cz=0.1×299 792=29 979 km/sv_{\text{naive}}=cz=0.1\times299\,792=29\,979\ \mathrm{km/s}

    3. Mais un dixième de la vitesse de la lumière n'est pas une faible vitesse. La relation Doppler relativiste relie 1 + z à la racine carrée de (1 + β)/(1 − β) ; isoler β nécessite une ligne d'algèbre et donne 0,09502, et non 0,1.

      1+z=1+β1−β ⟹ β=(1+z)2−1(1+z)2+1=0.212.21=0.095021+z=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\ \Longrightarrow\ \beta=\frac{(1+z)^2-1}{(1+z)^2+1}=\frac{0.21}{2.21}=0.09502

    4. Cela fait 28 487 km/s. La valeur naïve la surestime de 5,2 % — soit environ 1500 km/s, ce qui est supérieur aux différences de vitesse dont les astronomes débattent couramment.

      v=0.09502 c=28 487 km/s(29 97928 487=1.052)v=0.09502\,c=28\,487\ \mathrm{km/s}\qquad\left(\frac{29\,979}{28\,487}=1.052\right)

    5. Poussez z jusqu'à 1 et la divergence cesse d'être une simple correction. v = cz donne exactement c ; la formule relativiste en donne les trois cinquièmes.

      a=11+z=0.9091;z=1: vnaive=c,  β=35=0.600a=\frac{1}{1+z}=0.9091;\qquad z=1:\ v_{\text{naive}}=c,\ \ \beta=\frac{3}{5}=0.600

    Réponse

    L'outil affiche 721,6 nm, 28 487 km/s et 9,50 % de c, avec un facteur d'échelle de 0,9091 — l'univers faisait 91 % de sa taille actuelle lorsque cette lumière a démarré son trajet. La conclusion à retenir est l'étape 5 : à z = 1, le raccourci donne exactement la vitesse de la lumière, alors que la réponse est 0,600c. Cliquez sur le préréglage champ profond et vérifiez-le. Les galaxies sont répertoriées à z = 7 et au-delà, où cz vous donnerait sept fois la vitesse de la lumière — ce qui n'est pas un paradoxe sur la relativité, mais une formule utilisée très loin en dehors de son domaine de validité.

    β=(1+z)2−1(1+z)2+1:z=0.1⇒0.0950 c,z=1⇒0.600 c (not c)\beta=\frac{(1+z)^2-1}{(1+z)^2+1}:\quad z=0.1\Rightarrow0.0950\,c,\qquad z=1\Rightarrow0.600\,c\ (\text{not}\ c)
Références (2)

· Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.