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Explorateur de la sphère de Bloch

états à un seul qubit, mesures selon la base et rotations de portes sur la sphère de Bloch

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En δ = π les deux moitiés s’annulent exactement

Sur l'équateur, l'état est un partage égal de |0⟩ et |1⟩ : une mesure en Z est donc un pile ou face, quoi que fasse la phase. La phase décide pourtant de tout — elle apparaît simplement dans les bases X et Y. Le panneau de phaseurs le rend visible : il trace A = 1 + eiδ et fait défiler δ tout seul, comme une animation et non comme une commande. L'amplitude vaut |A| = 2cos(δ/2), donc la probabilité suit cos²(δ/2) : 100 % plein en δ = 0, exactement 50 % en δ = π/2, et un zéro net en δ = π, où deux phaseurs unitaires pointent en sens opposés et ne somment à rien. Populations identiques, résultat opposé — cette annulation est la ressource que dépense tout algorithme quantique.

Un qubit tient sur un globe

L'état complet d'un seul qubit n'est qu'un point à la surface de cette sphère. Le pôle nord est |0⟩, le pôle sud est |1⟩, et tout ce qui se trouve entre les deux est une superposition. La latitude (θ) fixe la répartition des probabilités entre 0 et 1 — les pôles sont la certitude, l'équateur une pièce à 50/50 —, tandis que la longitude (φ) fixe la phase. En pratique : mesurer dans la base Z revient simplement à demander vers quel hémisphère penche votre point.

Il faut 720° pour revenir chez soi

Remarquez le demi-angle : l'état utilise cos(θ/2), et non cos(θ). Ce facteur deux est la signature d'un lien profond — les rotations en 3D forment le groupe SO(3), mais le véritable espace d'états d'un qubit est SU(2), qui l'enveloppe deux fois. La conséquence est déroutante : faites tourner un qubit de 360° complets et son vecteur d'état bascule vers -|ψ⟩ au lieu de revenir ; seul un second tour, 720° complets, le restaure. Chaque électron partage ce comportement de spineur, illustré par le tour de la ceinture de Dirac.

Problème entièrement résolu

  1. Un qubit à θ = 90° donnant 50/50 comme une pièce 5 étapes

    Un qubit à θ = 90° affiche 50/50. Cela ressemble à un lancer de pièce. Expliquez pourquoi ce n'est pas le cas — et où est passée la certitude.

    1. Un état pur de qubit est défini par deux angles sur une sphère. θ détermine la répartition de la probabilité entre |0⟩ et |1⟩ ; φ fixe une phase que la mesure selon Z ne peut absolument pas voir.

      ∣ψ⟩=cos⁡θ2∣0⟩+eiϕsin⁡θ2∣1⟩,θ=π2, ϕ=0|\psi\rangle=\cos\tfrac{\theta}{2}|0\rangle+e^{i\phi}\sin\tfrac{\theta}{2}|1\rangle,\qquad \theta=\tfrac{\pi}{2},\ \phi=0

    2. À θ = 90°, les deux cosinus sont égaux, de sorte que les deux résultats sont exactement de moitié. Mesuré dans la base Z, cet état est réellement indiscernable d'une pièce équilibrée.

      P(∣0⟩)=cos⁡2π4=0.5,P(∣1⟩)=sin⁡2π4=0.5P(|0\rangle)=\cos^2\tfrac{\pi}{4}=0.5,\qquad P(|1\rangle)=\sin^2\tfrac{\pi}{4}=0.5

    3. Mais l'état contient plus que ces deux probabilités. Le vecteur de Bloch pointe le long de +x et sa longueur vaut 1.

      b⃗=(sin⁡θcos⁡ϕ, sin⁡θsin⁡ϕ, cos⁡θ)=(1, 0, 0)\vec{b}=(\sin\theta\cos\phi,\ \sin\theta\sin\phi,\ \cos\theta)=(1,\,0,\,0)

    4. Une longueur de 1 signifie que l'état est pur — il se trouve à la surface de la sphère. Une pièce véritablement aléatoire serait un état mixte au centre, de longueur 0, et les deux donnent 50/50 selon Z.

      ∣b⃗∣=1⟹a PURE state lies on the surface, not inside|\vec{b}|=1\quad\Longrightarrow\quad \text{a PURE state lies on the surface, not inside}

    5. La différence apparaît dans une autre base. Cet état est |+⟩, et sa mesure le long de x donne + avec certitude, à chaque fois.

      this is ∣+⟩=12(∣0⟩+∣1⟩): random in Z, certain in X\text{this is}\ |+\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}\left(|0\rangle+|1\rangle\right):\ \text{random in }Z,\ \text{certain in }X

    Réponse

    L'outil affiche 50,00 % pour les deux résultats avec un vecteur de Bloch de (1, 0, 0). La leçon est que 50/50 est une affirmation sur la base choisie, non sur l'état. Une pièce est aléatoire dans toutes les bases ; ce qubit est aléatoire dans une base et totalement déterminé dans une autre, et c'est à la surface de la sphère que réside cette distinction. Passez le sélecteur de base de Z à X et observez ce même état afficher 100/0 sans que rien d'autre n'ait changé.

    50/50 is a statement about the BASIS, not about the state50/50\ \text{is a statement about the BASIS, not about the state}
Références (2)
  • The sphere and the vector picture it is named for: F. Bloch, "Nuclear Induction." Physical Review 70(7–8), 460–474, 1946.
  • Single-qubit states, the half-angle, and interference in the X/Y bases: M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 10th anniversary edition, §1.2 and §4.2. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-1-107-00217-3.

· Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.