Inéquations

Touchez un terme pour le retirer des deux membres et observez la droite graduée. La solution forme une région et non un simple point. Notez qu'une des manipulations inversera le sens de la relation.

Additionner ou soustraire : le sens ne change pas	$a<b\iff a+c<b+c$
Multiplier par un nombre positif : le sens ne change pas	$k>0:\quad a<b\iff ka<kb$
Multiplier par un nombre négatif : le sens s’inverse	$k<0:\quad a<b\iff ka>kb$

Exemple résolu — Inéquations

Frontière	4 (exclu)

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Inéquations300 mots

Résoudre une inéquation consiste à définir l'ensemble des valeurs qui la vérifient. Cet ensemble dépend de deux éléments distincts : la position de la borne, et l'appartenance ou non de ce point limite à l'ensemble.

Ce que signifie chaque symbole

<: une relation stricte. La borne est exclue, et l'ensemble des solutions est ouvert de ce côté.
≤: une relation large. La borne est incluse, et l'ensemble est fermé de ce côté.
sup: la borne supérieure : la plus petite des valeurs qui majorent l'ensemble. Elle existe toujours pour un ensemble majoré, que ce dernier la contienne ou non.

Suppose: Que la borne se trouve précisément là où les deux membres sont égaux, ce qui explique pourquoi la résolution d'une inéquation s'appuie sur l'arithmétique de la résolution d'équations. Le symbole de relation ne calcule rien ; il sélectionne un côté de l'axe et détermine une appartenance.
Ne tient plus quand: Le choix entre strict et large détermine bien plus qu'une simple inclusion : il définit si une valeur maximale peut exister. Pour x ≤ 5, la plus grande solution est 5, une valeur concrète que vous pouvez fournir à votre interlocuteur. Pour x < 5, il n'y a pas de plus grande solution. Proposez n'importe quel candidat inférieur à 5 : le point médian entre ce dernier et 5 fournira une solution plus grande toujours présente dans l'ensemble, et ce indéfiniment. L'ensemble possède bien une borne supérieure égale à 5 ; il ne la contient tout simplement pas. C'est la raison pour laquelle une optimisation sur une contrainte stricte peut n'avoir aucune réponse, tandis que le même problème avec ≤ en possède une. Cette distinction, qui s'apparente à une simple ponctuation dans un exercice scolaire, devient structurante à l'instant où vous maximisez quoi que ce soit.

Problèmes entièrement résolus

Une livraison coûtant 5 plus 2 par kilomètre avec un budget inférieur à 20 7 étapes
Une livraison coûte 5 plus 2 par kilomètre. Votre budget est inférieur à 20. Jusqu'où pouvez-vous aller, et qu'advient-il de l'algèbre si le tarif est plutôt présenté comme une remise ?

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1. Posez le problème sous forme d'inéquation plutôt que d'équation, car la question n'est pas de savoir quelle distance coûte très exactement 20.
  
  $5 + 2x < 20$
2. Soustrayez 5 de chaque membre. L'addition et la soustraction ne modifient jamais le sens de la relation, quel que soit le signe de la valeur ajoutée.
  
  $2x < 15$
3. Divisez par 2. Ce nombre est positif, le sens de la relation demeure donc inchangé. La réponse forme une région ouverte à sa limite supérieure.
  
  $x < 7.5$
4. Moins de 7,5 kilomètres. L'extrémité est exclue car le budget devait rester strictement inférieur à 20. À 7,5 précisément, le prix atteint exactement 20. Cela constitue un dépassement de budget selon la formulation du problème, même si la différence est infime.
  
  $5 + 2(7.5) = 20 \;\not<\; 20$
5. Passons à la version avec remise. Supposons qu'au lieu d'ajouter des frais, chaque kilomètre déduise 2 d'un crédit initial de 20, et que vous deviez maintenir votre solde au-dessus de 5.
  
  $20 - 2x > 5$
6. Diviser par −2 inverse le sens de la relation, et la réponse correspond à la même région qu'auparavant. C'est logique : il s'agit du même trajet décrit dans l'autre sens. Oublier cette inversion aurait conduit à x > 7,5, ce qui représente le côté inabordable de la limite au lieu de la portion accessible.
  
  $-2x > -15 \;\Rightarrow\; x < 7.5$
7. C'est ici que l'arithmétique cesse de vous aider. Les deux formes aboutissent à x < 7,5, mais aucune ne permet de déterminer si le seuil de 7,5 est lui-même abordable. Savoir si "inférieur à 20" désigne 19,99 ou la valeur 20 relève du contrat, non de l'inéquation. Le symbole d'inégalité stricte accomplit ici une tâche que l'algèbre ne saurait vérifier seule.
  
  $x < 7.5 \quad\text{vs}\quad x \leq 7.5$
Réponse

Moins de 7,5 kilomètres, la valeur 7,5 étant elle-même exclue. Si l'on décrit la situation par une remise, le même trajet exige une division par −2, et par conséquent une inversion. Omettre cette étape vous livre alors la portion inabordable du trajet.
L'inéquation où il ne reste plus de x 6 étapes
Ce préréglage est 2x + 5 ≥ 2x + 5. Résolvez-le, puis décidez si une inéquation qui perd son x n'a produit aucune réponse ou en a produit une très vaste.

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1. Retranchez 2x des deux membres. Ajouter la même quantité aux deux membres préserve la relation quelle que soit cette quantité, l'opération est donc sûre même si elle fait intervenir x, ce que la multiplication par x n'est justement pas.
  
  $2x + 5 \;\ge\; 2x + 5 \qquad \Big|\ -\,2x$
2. Il reste 5 ≥ 5. Les deux membres portent désormais un coefficient nul devant x : il n'y a plus rien à isoler et rien par quoi diviser.
  
  $0\cdot x + 5 \;\ge\; 5$
3. La formule de la frontière montre le même blocage sous forme arithmétique. Résoudre ax + b ≥ cx + d donne x = (d − b)/(a − c), soit ici 0 ÷ 0. Le panneau imprime un tiret dans la ligne de la frontière, parce qu'il n'y a aucune frontière à imprimer.
  
  $x = \frac{d-b}{a-c} = \frac{5-5}{2-2} = \frac{0}{0}$
4. 5 ≥ 5 est vrai, et c'est vrai sans mentionner x. Tout nombre réel satisfait donc l'inéquation de départ, et la ligne de la solution le dit.
  
  $5 \ge 5 \ \text{is true and holds no } x \;\Longrightarrow\; \text{every } x \ \text{is a solution}$
5. Rendez la relation stricte et 5 > 5 est faux : rien ne convient. Poussez plutôt la constante de droite à 5,001 et l'énoncé devient 0 ≥ 0,001, faux de nouveau. Presque les quatre mêmes nombres, et l'ensemble des solutions passe de la droite entière à rien du tout.
  
  $2x+5 > 2x+5 \Rightarrow 5 > 5 \ \text{false} \Rightarrow \varnothing; \qquad 2x+5 \ge 2x+5.001 \Rightarrow 0 \ge 0.001 \ \text{false} \Rightarrow \varnothing$
6. Ce saut ressemble à une discontinuité et n'en est pas une. Maintenez le membre de droite à 5,001 et laissez les deux coefficients de x différer de ε au lieu de coïncider. La frontière se place alors en 0,001/ε : à ε = 0,1 la réponse est x ≥ 0,01, à ε = 0,001 c'est x ≥ 1, à ε = 0,0001 c'est x ≥ 10. La demi-droite recule vers l'infini à mesure que ε se referme, et c'est l'ensemble vide qui arrive au ralenti.
  
  $a-c = \varepsilon,\ d-b = 0.001: \quad x \ge \frac{0.001}{\varepsilon}: \quad \varepsilon = 0.1 \Rightarrow x \ge 0.01, \quad 0.001 \Rightarrow x \ge 1, \quad 0.0001 \Rightarrow x \ge 10$
Réponse

Tout x. La réponse vide en est le jumeau plutôt que le contraire : quand les deux coefficients de x coïncident, le terme en x s'annule et les deux constantes décident seules, si bien que l'énoncé est soit vrai et tout nombre le résout, soit faux et aucun ne le résout. Ni l'un ni l'autre cas n'a de frontière, ce qui explique que la ligne de la frontière reste vide dans les deux et que la ligne de la solution soit la seule à lire. Le choix entre strict et non strict, qui déplace un unique point sur tous les autres préréglages, déplace ici la droite réelle tout entière.

$a \neq c: \ x \gtrless \frac{d-b}{a-c}; \qquad a = c: \ \text{the constants alone decide, and the answer is } \mathbb{R} \ \text{or} \ \varnothing$
x dans les deux membres et un changement de sens 4 étapes
Résolvez 3 − 2x ≥ 7 + 2x.

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1. Soustrayez 2x aux deux membres pour regrouper les termes en x.
  
  $3-2x\ge7+2x\ \Rightarrow\ 3-4x\ge7$
2. Soustrayez 3 aux deux membres.
  
  $-4x\ge4$
3. Divisez par −4. Diviser par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité : ≥ devient ≤.
  
  $x\le-1$
4. Vérifiez avec une valeur de l’ensemble de solutions obtenu : pour x = −2, le membre de gauche vaut 7 et celui de droite vaut 3. L’inégalité 7 ≥ 3 est bien vérifiée.
  
  $x=-2:\quad7\ge3\ \checkmark$
Réponse

x ≤ −1, avec −1 inclus puisque le signe de départ était ≥.

$x\le-1$
Deux inégalités à la fois 4 étapes
Résolvez −3 < 2x + 1 ≤ 7. Quels nombres entiers vérifient cette double inégalité ?
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1. Effectuez la même opération sur les trois membres : soustrayez 1 à chacun.
  
  $-3<2x+1\le7\;\Big|\;-1$
2. Divisez les trois membres par 2. Ce nombre est positif, donc le sens des inégalités ne change pas.
  
  $-4<2x\le6\;\Big|\;\div2$
3. Le résultat impose deux conditions simultanées : x est strictement supérieur à −2 et inférieur ou égal à 3.
  
  $-2<x\le3$
4. −2 est exclu et 3 est inclus. Les nombres entiers qui conviennent sont donc −1, 0, 1, 2 et 3.
  
  $x\in\{-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\}$
Réponse

−2 < x ≤ 3. Sur une droite graduée, placez un cercle vide en −2 et un cercle plein en 3, puis coloriez le segment qui les relie.

$-2<x\le3$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Résolvez 4x − 5 > 11.

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x > 4.

$4x>16\ \Rightarrow\ x>4$
Résolvez 2 − 3x ≤ 8.

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x ≥ −2. La division par −3 inverse le sens de l’inégalité.

$-3x\le6\ \Rightarrow\ x\ge-2$
Résolvez 5(x − 1) < 2x + 4.

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x < 3.

$5x-5<2x+4\ \Rightarrow\ x<3$
Résolvez −1 ≤ (x − 3)/2 < 2.

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1 ≤ x < 7. Multipliez les trois membres par 2, puis ajoutez 3 à chacun.

$-2\le x-3<4\ \Rightarrow\ 1\le x<7$
Quel est le plus grand entier n tel que 3n + 4 < 25 ?

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6. L’inégalité donne n < 7, et 7 est exclu.

$3n<21\ \Rightarrow\ n<7,\quad n=6$

Une seule opération l'inverse, et vous savez déjà pourquoi

Tout ce qui est permis sur une équation l'est également ici. Ajoutez aux deux membres, soustrayez, multipliez, divisez. Ces opérations sont toutes valides, toutes réversibles, et aucune ne modifie les nombres qui vérifient l'énoncé. Toutefois, multiplier par un négatif inverse la relation, ce qui s'observe directement sur la droite numérique : −5 est inférieur à −3, mais 5 est supérieur à 3. Prendre l'opposé symétrise la droite par rapport à zéro, échangeant ainsi la gauche et la droite. Cliquez sur La relation s'inverse et omettez ce changement de sens dans votre esprit. Vous obtenez x < −4 au lieu de x > −4, ce qui correspond à l'autre moitié de la droite.

La solution est une zone, et l'extrémité relève d'un choix

Une équation possède une solution. Une inéquation en admet tout un ensemble. Résoudre le problème implique de trouver deux éléments : une frontière et une direction. Cette frontière correspond au point exact où les deux expressions sont égales. C'est la raison pour laquelle les mêmes calculs s'appliquent. La relation décide ensuite si ce point limite appartient à la solution. Cliquez sur L'extrémité compte. L'inéquation −4x ≥ 12 donne x ≤ −3. Pour x = −3, les deux membres valent 12. Puisque l'affirmation 12 ≥ 12 est vraie, −3 est inclus. Remplacez le ≥ par un >. Le point devient vide sans que rien d'autre ne bouge. Un seul point. C'est tout ce qui différencie ces deux symboles.

L'opération qui est impossible

Cliquez sur Multiplier par x. L'outil refusera de l'exécuter. Multiplier par un négatif inverse la relation, multiplier par un positif la préserve, et x représente précisément la valeur que vous cherchez encore. Il n'y a donc aucune opération unique à appliquer. C'est pourquoi le dénominateur de x/(x−2) > 1 ne peut être chassé par une simple multiplication, et pourquoi ceux qui s'y risquent obtiennent une réponse juste d'un côté de 2 et fausse de l'autre. Les équations pardonnent cette erreur. En multipliant une équation par une inconnue, vous ajoutez des solutions que vous pouvez repérer et écarter lors de la vérification. Une inéquation n'offre pas cette vérification sous la même forme, car la réponse désigne une région plutôt qu'une courte liste de candidats que vous pourriez tester un à un.

Parcours

Trouver x, à partir du signe moins

Références (1)

Where the guarantee comes from that a least upper bound always exists, even when no largest member does: R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Vieweg, Braunschweig, 1872.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.