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光子エネルギー計算機

E = hf と E = hc/λ を使って、波長・周波数・光子エネルギーの間を変換します。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

人間の視覚はまるごと一オクターブ

ここでの波長軸は 0.01 nm からメートル域まで、十桁を超えて伸びています。目が反応する帯はそのごく一片にすぎません。エネルギーで測ると可視域はさらに狭く、400 nm が 3.10 eV、700 nm が 1.77 eV で、幅はわずか 1.75 倍です。倍にも届かない、音でいえば一オクターブ分。聴覚はおよそ十オクターブを覆います。E = hc/λ は逆数の関係なので、波長の等間隔はエネルギーの等間隔にはまったくなりません。ガンマ線と電波を一画面に収めるために、このグラフが対数軸を使わざるをえないのはそのためです。

光子エネルギーを電子ボルトで測る理由

一個の光子が運ぶエネルギーはごくわずかで、ジュールで表すと 10⁻¹⁹ J のような扱いにくい数になります。そこで物理学者は、電子が 1 ボルトの電位差を越えるときに得るエネルギー、すなわち電子ボルト（eV）を使います。E = hc/λ には便利な近似が隠れており、波長をナノメートルで表すと E(eV) ≈ 1240 / λ(nm) となります。530 nm の緑色光を入れると 1 個あたり約 2.3 eV になり、これは化学結合のエネルギーとほぼ同じ数 eV の範囲で、私たちの目がこの光を見るよう進化した理由でもあります。

明るい一個の光子は弱い十億個に勝る

アインシュタインが 1921 年にノーベル賞を受けたのは相対論ではなく、光が金属から電子をたたき出せるのは各光子がエネルギーのしきい値を越えるとき、つまり明るさではなく波長で決まると見抜いたためです。まぶしい赤色ランプはいくら明るくても電子を放出させられませんが、かすかな紫外線ならただちに放出させます。低エネルギーの光子をいくら積み重ねても足し合わさらないからです。これが、はるかに強力な無線送信機は無害なのに、紫外線が肌を焼き傷つける理由です。

全プロセスの詳細解説

  1. 波長530 nmの緑色光の光子1個のエネルギー 5 ステップ

    緑色光の波長は530 nmである。このような光子1個のエネルギーを求め、次いで酸素分子を2つに開裂させることができる最長の波長を求めよ。これは緑色光の状態であり、c = 2.998 × 10⁸ m/s、h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s、e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C、NA = 6.022 × 10²³ mol⁻¹ とする。

    1. 波長は測定機器が測定するものであり、振動数は量子法則が用いるものである。したがって、この種の計算はすべて同じ変換から始まり、このステップのみが量子力学を全く含まない。

      f=cλ=2.9979×1085.30×10−7=5.656×1014 Hzf=\frac{c}{\lambda}=\frac{2.9979\times10^{8}}{5.30\times10^{-7}} =5.656\times10^{14}\ \mathrm{Hz}

    2. プランク定数は量子力学的な内容のすべてを担っている。これは振動数をエネルギーへと変換し、電波であってもガンマ線であっても同じ数値である。ジュールという単位はキログラムやメートルに対して定義されたものであり、光子1個のために定義されたものではないため、ジュールで表した解はきわめて小さな値となる。

      E=hf=(6.626×10−34)(5.656×1014)=3.748×10−19 JE=hf=(6.626\times10^{-34})(5.656\times10^{14})=3.748\times10^{-19}\ \mathrm{J}

    3. 電子ボルト（1ボルトの電位差で加速される電子1個のエネルギー）がそれを解決する。そのスケールでは、このツールで扱う可視光領域全体（380 nmから750 nm）は3.26 eVから1.65 eVの間に収まる。Eとλの積は常にhcになるため、λをナノメートル単位とすると、この変換はE = 1239.84/λに簡略化される。これは暗記する価値があり、あらゆる波長が一回の割り算でエネルギーに変換できる。

      EeV=Ee=3.748×10−191.6022×10−19=2.3393 eV(hce=1239.84 eV nm; 1239.84530=2.3393)E_{\mathrm{eV}}=\frac{E}{e}=\frac{3.748\times10^{-19}}{1.6022\times10^{-19}} =2.3393\ \mathrm{eV}\qquad\left(\frac{hc}{e}=1239.84\ \mathrm{eV\,nm};\ \tfrac{1239.84}{530}=2.3393\right)

    4. 化学では単一の光子を扱うことはないため、アボガドロ数倍して拡大する。1モルの緑色光子はアインシュタインと呼ばれ、そのエネルギーはデータブックにある結合エンタルピーと直接比較できる。これこそが、この行を出力する唯一の意義である。

      Emol=ENA1000=(3.748×10−19)(6.022×1023)1000=225.7105 kJ mol−1E_{\mathrm{mol}}=\frac{E N_A}{1000} =\frac{(3.748\times10^{-19})(6.022\times10^{23})}{1000}=225.7105\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

    5. そこで、実際の値と比較してみよう。O=Oの結合を切断するには498 kJ/molが必要であり、1モルあたりのエネルギーと波長の積はどの光子にとっても同じ定数であるため、そのエネルギーコストを波長に戻す計算は1回の割り算で済む。

      Emolλ=225.7105×530=119 627 kJ mol−1 nm⟹λmax⁡=119 627498=240 nmE_{\mathrm{mol}}\lambda=225.7105\times530=119\,627\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}\,nm} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{\max}=\frac{119\,627}{498}=240\ \mathrm{nm}

    解答

    ツールは緑色光に対して3.748 × 10⁻¹⁹ J、2.3393 eV、および225.7105 kJ/molと表示するが、これは酸素結合のコストの半分未満である。どの可視光子もこれ以上のエネルギーを持たない。可視光の赤色端は160 kJ/mol、紫色端は315 kJ/molであり、いずれも498には遠く及ばない。O₂を解離させるには紫外線の領域内にある240 nmが必要であり、オゾン層を形成する反応が地上から30 km上空（その光がまだ存在する高度）で起こり、すべて吸収されてしまっている地上では決して起こらないのはそのためである。ツールの紫外線の状態である250 nmでさえ478.5 kJ/molと結合エネルギーを約4%下回っており、4%の不足は半分不足しているのと同様に役立たない。光子エネルギーは閾値であり、予算ではない。10億個の緑色光子が同時に到達しても、単一の240 nm光子が切断できる1つの結合を切断することはできない。

    Eλ=hc=1239.84 eV nm=119 627 kJ mol−1 nmE\lambda=hc=1239.84\ \mathrm{eV\,nm}=119\,627\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}\,nm}
参考文献 (2)

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。