三体問題シミュレーター

8の字コレオグラフィーは3つの等質量体を単一の閉曲線上に周回させます。初期条件のみから t = 0 でのエネルギーを求めなさい。 これは8の字軌道のプリセットです：G = 1、m₁ = m₂ = m₃ = 1、ソフトニング ε = 0。位置 r₁ = (−0.97000436, 0.24308753)、r₂ = −r₁、r₃ = (0, 0)；速度 v₁ = v₂ = (0.466203685, 0.43236573)、そして全運動量は0です。

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1. 一見すると恣意的に見える長い小数ですが、自乗して足し合わせるとそうではないことが分かります。質点1と質点2はそれぞれ、質点3の在処である原点から正確に1単位の距離に位置しています。

   $$|\mathbf{r}_1|=\sqrt{0.97000436^{2}+0.24308753^{2}}=\sqrt{0.940908+0.059092}=1.0000$$

2. 質点2は質点1を原点に関して点対称に移動した位置にあるため、この瞬間、3つの質点すべてが質点3を中点とする1本の直線上に並んでいます。すべての質点間距離はそこから導かれ、2つ目の平方根の計算は不要です。

   $$\mathbf{r}_2=-\mathbf{r}_1\quad\Longrightarrow\quad r_{13}=r_{23}=1.0000,\qquad r_{12}=2.0000$$

3. ニュートンの法則の適用に必要なのは、いま得られた離隔距離だけです。質点3は他の質点からそれぞれ1単位離れており、質点1と質点2の間の距離はその2倍であるため、2体間に働く引力は4分の1に弱まります。

   $$F_{ij}=\frac{Gm_im_j}{r_{ij}^{2}}\quad\Longrightarrow\quad F_{12}=\frac{1}{2^{2}}=0.2500,\qquad F_{13}=F_{23}=1.0000$$

4. この同直線上の配置を活用します。質点3は反対方向に等しく引かれるため、その合力は正確にゼロになります。質点1と質点2は、質点3がその間に位置しているため、双方の相手から同じ向きに引かれます。したがって、それら2つの力は成分分解を要せず、単なる数値として足し合わされます。

   $$|\mathbf{F}_3|=1.0000-1.0000=0.0000,\qquad |\mathbf{F}_1|=1.0000+0.2500=1.2500$$

5. 全運動量がゼロであり、かつ質点1と質点2が同一の運動をしていることから、質点3の速度は −2v₁ に固定されます。これにより質点3の運動エネルギーはそれらの4倍となり、3体全体の総和は単一の項にまとまります。

   $${\textstyle\sum}m_i\mathbf{v}_i=0,\ \mathbf{v}_1=\mathbf{v}_2\ \Longrightarrow\ \mathbf{v}_3=-2\mathbf{v}_1,\ \ KE=\tfrac12(1+1+4)v_1^{2}=3v_1^{2}$$

6. v₁ の2つの成分を自乗して3倍することが、3体の運動エネルギー計算のすべてです。

   $$v_1^{2}=0.466203685^{2}+0.43236573^{2}=0.404286\quad\Longrightarrow\quad KE=1.2129$$

7. 位置エネルギーの計算にもベクトルは不要です。3つの離隔距離の逆数をとるだけであり、ε = 0 であるため、それらの逆数は厳密な値となります。

   $$PE=-G\left(\frac{m_1m_2}{2}+\frac{m_1m_3}{1}+\frac{m_2m_3}{1}\right)=-2.5000$$