BMI(ボディマス指数)計算機

体型を変えずに大きさだけ変化する身体において、BMIがどのように変化するかを求める。これは基準成人（175 cm、70 kg）の例である。

1. まずは定義通りの指数から考える。分子は質量であり分母は面積であるため、BMIは同次元の量の比ではない。この不一致こそが、本問題の残りの部分で扱う主題である。

   $$\mathrm{BMI}=\frac{m}{h^{2}}=\frac{70}{1.75^{2}}=\frac{70}{3.0625}=22.857\ \mathrm{kg/m^{2}}$$

2. 次に、身体全体を拡大する。密度を一定に保ったまま、すべての長さを s 倍にする。質量は体積に比例して s³ 倍になるのに対し、分母は s² 倍にしかならないため、割り算を行っても s の1乗が残る。

   $$h\to sh,\quad m\to s^{3}m\ \Longrightarrow\ \mathrm{BMI}\to\frac{s^{3}m}{(sh)^{2}}=s\cdot\mathrm{BMI}$$

3. スケーリングを行っても不変な指数であるためには、質量の次数と合致していなければならず、身長を3乗することがまさにそれを満たす。したがって、同じ体型を持つ族のあらゆる個体においてポンデラル指数は同一の値をとる——近似的にではなく、厳密に。

   $$\mathrm{PI}=\frac{m}{h^{3}}=\frac{70}{5.359375}=13.061\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \mathrm{PI}\to\frac{s^{3}m}{(sh)^{3}}=\mathrm{PI}$$

4. BMIを「ポンデラル指数 × 身長」と表現すると身長依存性が明示的になり、サイズごとに質量を再計算する必要がなくなる。同一の身体であっても 155 cm 版と 190 cm 版の間には 4.6 BMI単位の差が生じるが、体内のどこにも1グラムの余分な脂肪が増えたわけではない。

   $$\mathrm{BMI}(h)=\mathrm{PI}\cdot h:\quad h=1.55\Rightarrow20.24,\quad h=1.75\Rightarrow22.857,\quad h=1.90\Rightarrow24.82$$

5. 区分の境界は固定された数値であるのに対し指数は変化するため、境界をまたぐ身長は1回の割り算で求められる。

   $$\mathrm{PI}\cdot h=25\Rightarrow h=\frac{25}{13.061}=1.914\ \mathrm{m};\qquad \mathrm{PI}\cdot h=18.5\Rightarrow h=1.416\ \mathrm{m}$$