1操作あたりのエネルギー

体温において1ビットを消去するのに物理法則が許容する最小エネルギーを計算し、それをシリコン論理イベントの実際の消費コストと比較した上で、10 Whのスマートフォンのバッテリーを毎秒1兆回の演算速度で両方の方法で消費させた場合の持続時間を求めよ。

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1. ランダウアーの限界によると、1ビットの情報を消去するには少なくとも k_BT ln 2 のコストがかかり、回路をどのように再構成してもこれを回避することはできない。なぜなら、このコストは電荷を移動させるためではなく、情報を破壊すること自体に対するものだからである。

   $$E_{\min} = k_B T \ln 2 = 1.380649 \times 10^{-23} \times 310 \times 0.69315 = 2.967 \times 10^{-21}\ \mathrm{J}$$

2. 体温を代入する。1.380649 × 10⁻²³ × 310 × 0.69315 = 1ビットあたり 2.967 × 10⁻²¹ J となる。これが下限のすべてであり、非常に小さな値である。

3. 現在のシリコンにおける論理イベントのコストは約 1 × 10⁻¹⁵ J である。割り算を行うと、10⁻¹⁵ ÷ 2.967 × 10⁻²¹ = 337,077 となる。実際のハードウェアは、下限より約 337,000 倍高いエネルギーで動作している。

   $$\frac{10^{-15}}{2.967 \times 10^{-21}} = 337{,}077$$

4. 次に、バッテリーを消費させてみよう。10 Wh は 10 × 3600 = 36,000 J である。実際のコストでは 36,000 ÷ 10⁻¹⁵ = 3.60 × 10¹⁹ 回の演算を行え、下限であれば 36,000 ÷ 2.967 × 10⁻²¹ = 1.21 × 10²⁵ 回の演算が可能となる。

   $$N_{\text{real}} = \frac{36{,}000}{10^{-15}} = 3.60 \times 10^{19}, \qquad N_{\min} = \frac{36{,}000}{2.967 \times 10^{-21}} = 1.21 \times 10^{25}$$

5. これらを毎秒 10¹² 回の演算速度で実行する。実際のバッテリーは 3.60 × 10⁷ s 持続し、これは 10,000 時間に相当する。下限によって制限されるバッテリーは 1.21 × 10¹³ s 持続し、これは 384,500 年に相当する。

   $$\frac{3.60 \times 10^{19}}{10^{12}} = 10{,}000\ \mathrm{h}, \qquad \frac{1.21 \times 10^{25}}{10^{12}} = 384{,}500\ \mathrm{yr}$$

6. 冷却によってこの格差を縮めようと試みたとしよう。310 K から 300 K に下げると、限界値は T に比例するため、下限は 2.871 × 10⁻²¹ J に下がり、3.2% の削減になる。337,077 倍という要因は温度効果によるものではなく、サーモスタットで改善できるものではない。

   $$k_B (300) \ln 2 = 2.871 \times 10^{-21}\ \mathrm{J} \;\Rightarrow\; 3.2\%\ \text{lower}$$