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アイソスタシーと山根

山に深い根（山根）がある理由：大陸地殻の浮力に適用されたアルキメデスの原理。

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山の大部分は地下にありますが、氷山ほどではありません

エアリーのアイソスタシー説は、浮遊する地殻が氷山と同じ浮力方程式：根の深さ = h · ρ_地殻 / (ρ_マントル − ρ_地殻) に従うことを示します。標準的な密度（地殻2800 kg/m³、マントル3300 kg/m³）では、山根係数は5.600となります。海抜1 kmの山は地下深さ5.6 kmの山根によって支えられており、氷山の89.46%が水中にあるのと同様に、ブロックの84.85%が地下に存在します。地殻とマントルの密度差はわずか約15%しかないため、浮力余裕が小さく巨大な根が必要となります。

エアリー説はエベレストを過大評価し、その誤差はモデルの仮定を示す

エベレスト（標高8.848 km）にエアリー説を適用すると、基準地殻の下に49.55 kmもの巨大な山根を予測し、全地殻厚さは約88.40 kmに達します。しかし、チベット高原の地震波屈折観測では地殻厚さは65〜70 km程度です。この乖離は計算ミスではなく、各ブロックが独立して浮遊するというエアリー説の局所補償の仮定を示しています。実際のリソスフェアは屈曲剛性を持ち、弾性シートのように山岳荷重を周囲数百キロメートルに分散させています。

地表の標高だけではどちらの地下モデルが正しいか判別できない

プラット説は別のモデルを提示します。山根を持たず、一定の補償深度（100 km）まで密度の低い地殻柱（エベレストの場合2572 kg/m³）によって同じ地形標高を支えます。両モデルとも地表の標高を同様に正確に再現します。地形図の計測だけではエアリー説とプラット説を識別できず、地下構造の解明には重力異常観測や地震波速度計測が必要です。

全プロセスの詳細解説

  1. エベレストの山頂から1キロメートルを削り取る侵食 6 ステップ

    エベレストの頂上が浸食で一キロメートル削られたとします。そのうちどれくらいが再び隆起するでしょうか。また、山頂が実際に一キロメートル低くなるためには、どれほどの岩石が失われる必要があるでしょうか。

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    1. エアリーのアイソスタシーでは、浮力の釣り合いから根の深さが決まります。計算式は r = h ρc/(ρm − ρc) = 8.848 × 2800/500 = 49.55 km であり、これが「根の深さ」カードの数値です。標高一キロメートルにつき 5.600 km の根が存在し、この値は「根の係数」カードに表示されます。

      r=h ρcρm−ρc=8.848×2800500=49.55 kmr = h\,\frac{\rho_c}{\rho_m - \rho_c} = 8.848 \times \frac{2800}{500} = 49.55\ \mathrm{km}

    2. 頂上から厚さ e の岩盤が浸食されたとしましょう。岩柱はマントルに浮かんでいるため、失われた質量と同じ質量のマントルを押し退ける位置まで上昇します。式で表せば ρm u = ρc e となり、u = e × 2800/3300 = 0.8485 e が導かれます。荷重を 8.848 km 全体に設定すると、「後氷期隆起量」カードには 7.507 km と表示されます。

      ρm u=ρc e⟹u=e ρcρm=0.8485 e\rho_m\,u = \rho_c\,e \quad\Longrightarrow\quad u = e\,\frac{\rho_c}{\rho_m} = 0.8485\,e

    3. したがって、山頂は e − u = e (ρm − ρc)/ρm = 0.1515 e しか下がりません。削られた分の 84.85% が再び隆起してくる計算です。これは「水没比率」カードが示す数値と一致しますが、理由もまったく同じです。式 root/(root + h) を整理すると、最終的に ρc/ρm へと帰着するからです。

      e−u=e ρm−ρcρm=0.1515 e,rr+h=ρcρm=0.8485e - u = e\,\frac{\rho_m - \rho_c}{\rho_m} = 0.1515\,e, \qquad \frac{r}{r+h} = \frac{\rho_c}{\rho_m} = 0.8485

    4. 逆に、山頂を一キロメートル低くするためには、ρm/(ρm − ρc) = 3300/500 = 6.600 km もの岩石を削り取らなければなりません。そして 8.848 km の山を完全に平らにするには、8.848 × 6.600 = 58.397 km の岩石が失われる必要があります。この数字は標高と根の深さの合計、すなわち 8.848 + 49.55 に等しくなります。

      etot=h ρmρm−ρc=8.848×6.600=58.397 km=h+re_{\mathrm{tot}} = h\,\frac{\rho_m}{\rho_m - \rho_c} = 8.848 \times 6.600 = 58.397\ \mathrm{km} = h + r

    5. この浸食の過程で岩柱は 58.397 × 0.8485 = 49.55 km 上昇しますが、これは初期の根の深さと完全に一致する数値です。最終的に岩柱は基準の厚さである 30 km に落ち着きます。失われた根は一キロメートル残らず、すべて隆起として還元されるのです。

      utot=58.397×0.8485=49.55 km=ru_{\mathrm{tot}} = 58.397 \times 0.8485 = 49.55\ \mathrm{km} = r

    6. ということは、平坦になった地表に現在露出している岩石は、もともと海面下 49.55 km にあり、その上に 58.397 km もの地殻を乗せていたことになります。当時この岩石が受けていた圧力は ρc g d = 2800 × 9.80665 × 58,397 = 1.60 × 10⁹ Pa でした。

      P=ρc g d=2800×9.80665×58,397=1.60×109 PaP = \rho_c\,g\,d = 2800 \times 9.80665 \times 58{,}397 = 1.60 \times 10^{9}\ \mathrm{Pa}

    解答

    標高 8.848 km の山を平らにするには 58.4 km 分の岩石を取り除く必要があり、その結果として足元に現れる大地は、かつて 1.60 GPa という高圧環境下にありました。16キロバールという圧力は、グラニュライトやエクロジャイトが形成される領域です。スコットランド高地やノルウェーのカレドニア山脈など、古い造山帯の浸食された中心部には、コラ半島超深孔が到達した 12.262 km よりも深い場所で結晶化した岩石が露出しています。なぜそのような深部の岩石が地表に存在するのでしょうか。岩石を深く埋め込んだ山脈そのものが、後にそれを再び地表へと引き上げたからです。このページは、現状の岩柱の釣り合いを一度だけ解くものです。時間を進めてその先を計算することはしません。

    1.60×109 Pa=1.60 GPa=16.0 kbar1.60 \times 10^{9}\ \mathrm{Pa} = 1.60\ \mathrm{GPa} = 16.0\ \mathrm{kbar}
  2. 168.00 kmという山根、その桁のいくつが意味を持つのか 6 ステップ

    小さめの密度差を読み込んでください。標高3 km、地殻2800 kg/m³、マントル2850 kg/m³です。「山根の深さ」カードは168.00 km、全地殻厚さは201.00 kmと表示されます。マントル密度が1%ずれたとき答えがどれだけ動くかを求め、そのうえでこの値を何桁まで示すべきかを判断してください。

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    1. まず釣り合いから。この密度差では標高1 kmごとに56 kmの山根が必要になるので、3 kmの山は168 kmの山根の上に乗り、基準の厚さ30 kmに対して岩柱は山頂から山根の底まで201 kmになります。ブロックの98%が基準面より下にあることになります。

      r=h ρcρm−ρc=3×280050=168.00 km,T0+h+r=201.00 km,rr+h=98.25%r = h\,\frac{\rho_c}{\rho_m - \rho_c} = 3 \times \frac{2800}{50} = 168.00\ \mathrm{km}, \qquad T_0 + h + r = 201.00\ \mathrm{km}, \qquad \frac{r}{r+h} = 98.25\%

    2. 両辺の対数をとって微分すると、感度は一つの係数を前に置いた形で現れます。二つの密度に対して同じ係数で、符号だけが逆になります。

      ln⁡r=ln⁡h+ln⁡ρc−ln⁡Δρ  ⟹  δrr=ρmΔρ(δρcρc−δρmρm)\ln r = \ln h + \ln\rho_c - \ln\Delta\rho \;\Longrightarrow\; \frac{\delta r}{r} = \frac{\rho_m}{\Delta\rho}\left(\frac{\delta\rho_c}{\rho_c} - \frac{\delta\rho_m}{\rho_m}\right)

    3. この係数がすべてです。エベレストの密度差では6.6なので、密度の1%の誤差は山根の7%の誤差になります。ここでは57です。

      ρmΔρ:Everest 3300500=6.60,here 285050=57.0\frac{\rho_m}{\Delta\rho}: \qquad \text{Everest } \frac{3300}{500} = 6.60, \qquad \text{here } \frac{2850}{50} = 57.0

    4. これは線形近似が通用する範囲をはるかに超えており、上下二方向の答えはもう対称になりません。マントル密度を1%ずつ、両方向に振ってみます。

      ρm=2821.5 (−1%):  r=390.70 km (+132.6%);ρm=2878.5 (+1%):  r=107.01 km (−36.3%)\rho_m = 2821.5\ (-1\%): \; r = 390.70\ \mathrm{km}\ (+132.6\%); \qquad \rho_m = 2878.5\ (+1\%): \; r = 107.01\ \mathrm{km}\ (-36.3\%)

    5. 両方を1%ずつ逆向きに振ると、計算そのものが成立しなくなります。地殻が、浮かぶはずのマントルより重くなるからです。モデルの保護機構は何も返さず、カードにはダッシュが表示されます。

      ρc=2828, ρm=2821.5 (1% each, opposite ways):  ρm≤ρc  ⟹  the card reads —\rho_c = 2828,\ \rho_m = 2821.5\ (1\%\ \text{each, opposite ways}): \; \rho_m \le \rho_c \;\Longrightarrow\; \text{the card reads } \text{\textemdash}

    6. エベレストはこれに比べればおとなしいものですが、それでも精密ではありません。同じ1%が、山根にして十三キロメートルの幅を持ちます。

      Everest, the same ±1%:  43.72≤r≤57.00 km about 49.55;±1 km needs Δρ to±10 kg m−3\text{Everest, the same } \pm1\%: \; 43.72 \le r \le 57.00\ \mathrm{km}\ \text{about } 49.55; \qquad \pm 1\ \mathrm{km} \ \text{needs } \Delta\rho \ \text{to} \pm 10\ \mathrm{kg\,m^{-3}}

    解答

    一桁。多く見ても二桁です。カードは168.00と印字しますが、その値が最も敏感に反応する入力は、誰も直接測ったことのないマントル密度です。1%どちらに振っても、山根は107 kmから391 kmの間に散らばります。ここで小数点以下二桁まで書くのは、書式の習慣であって計算結果ではありません。500 kg/m³という余裕のある密度差を持つエベレストでさえ、山根を1 km単位で述べるには密度差を±10 kg/m³で押さえておく必要があります。

    この岩柱を疑う理由はもう一つあり、ツールがそれを手渡してくれます。3 kmの高まりを支えるための地殻が201 km。一方、地震波の屈折法が地球で最も高い土地の下、チベットで見いだすのは65〜70 kmです。式は、問われたとおりの問いに答えました。大陸地殻とマントルの間の50 kg/m³という密度差は、誰も測定しない数値です。そして感度57という値は、地質学に相談するより先にそのことを告げています。

    δrr=ρmΔρ δrel:6.60 at Everest,57.0 here\frac{\delta r}{r} = \frac{\rho_m}{\Delta\rho}\,\delta_{\mathrm{rel}}: \qquad 6.60 \ \text{at Everest}, \qquad 57.0 \ \text{here}

学習の道すじ

静止流体：圧力計から山の根まで

参考文献 (2)
  • Airy and Pratt isostasy equations and standard crustal and mantle densities Turcotte, D. L. and Schubert, G. (2014). Geodynamics (3rd ed.). Cambridge University Press.
  • flexural rigidity of continental lithosphere and Tibetan crustal thickness measurements Watts, A. B. (2001). Isostasy and Flexure of the Lithosphere. Cambridge University Press.

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。