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振り子の位相ポートレート

初期角度をドラッグして、非線形振り子が線形近似とどう異なるかを見てみましょう。位相ポートレートはシステムの位相構造(トポロジー)を明らかにします。

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永遠に終わらない唯一の振り

セパラトリックスは決して完全には閉じない唯一の軌道です。これは、振り子がちょうど θ = 180° で速度ゼロから放たれたときにたどる経路で、倒立した平衡状態の上で永遠にぐらつき続けた末に、ようやく振り下ります。復元力がちょうど頂点でゼロになるため、振り子がそこを離れるには無限の時間が必要です — だからこそ、ここで計算される正確な周期(楕円積分 K(m) による)は、θ0が180°に近づくにつれて発散します。一方、線形の微小角公式 T = 2π√(L/g) はどこまでも有限な値のままです。セパラトリックスの内側にあるすべての軌道は前後に振動し、その外側にあるすべての軌道は — 十分なエネルギーがあれば — 振動する代わりに頂点を越えて回転し続けます。

あらゆる振れ方を映す地図

時間とともに揺れる振り子を眺める代わりに、相図は角度を横軸、角速度を縦軸にとって描きます。各点はある瞬間の振り子の完全な状態を表し、その点をたどると一本の閉じたループ、つまり永遠に繰り返す一回の振動が描かれます。図全体はあり得るすべての運動を同時に示すので、小さな揺れと大きな振れが入れ子のループとして同じ絵に並びます。ループが大きいほど、振り子が持つエネルギーも大きくなります。

周期に潜むガウス最速の平均

厳密な周期は 2π√(L/g) / M(1, cos(θ₀/2)) で、ここで M は算術幾何平均です。これはガウスが、二つの値をその相加平均と相乗平均に何度も置き換えて見いだした数です。二つの平均は猛烈な速さで近づき、正しい桁数が一歩ごとに倍増するため、わずか三回の反復で周期がほぼ定まります。θ₀ = 90° ではこれが T = 1.18 × Tlinear、すなわち楕円積分が与えるのと同じ18%の伸びになります。

全プロセスの詳細解説

  1. 静止状態から30°で放たれた長さ1 mの振り子の周期 11 ステップ

    1 m の振り子を 30° の位置から静かに離します。その周期を正確に求めなさい（教科書の公式の解ではありません）。次に、1回の往復を 10 s に延ばすには、鉛直方向からどれほど近い位置から離さなければならないかを求めなさい。g = 9.81 m/s² とし、減衰はないものとします。

    1. 固有振動数を決定するのは2つの量であり、質量はそのうちに含まれません。質量は運動方程式のすべての項にかかり、他の事象が起きる前に約分されて消えるからです。

      ω0=g/L=9.81=3.1321 rad/s\omega_0=\sqrt{g/L}=\sqrt{9.81}=3.1321\ \mathrm{rad/s}

    2. sin θ を θ に置き換えると、残るのは調和振動子であり、その周期は 2π/ω0 となります。脱落したものを読み取ってください: θ0 です。振幅への非依存性はその置き換えの性質であり、振り子自体の性質ではありません。

      Tlinear=2πω0=2.0061 sT_{\mathrm{linear}}=\frac{2\pi}{\omega_0}=2.0061\ \mathrm{s}

    3. 今度は置き換えなしで行います。エネルギー保存則は微小角を必要としません。角度 θ における運動エネルギーは、θ0 から落下する際に失われた位置エネルギーと正に等しくなります。したがって、代わりに角速度について解きます。

      12L2θ˙2=gL(cos⁡θ−cos⁡θ0) ⟹ θ˙=ω02(cos⁡θ−cos⁡θ0)\tfrac12L^2\dot\theta^2=gL(\cos\theta-\cos\theta_0)\ \Longrightarrow\ \dot\theta=\omega_0\sqrt{2(\cos\theta-\cos\theta_0)}

    4. 時間は距離を速度で割って積分したものであり、1/4周期は 0 から θ0 までの振れです。離す角度が復活し、被積分関数と上限の両方に同時に存在するため、周期がそれから独立しているはずはありません。

      T=4ω0∫0θ0dθ2(cos⁡θ−cos⁡θ0)T=\frac{4}{\omega_0}\int_0^{\theta_0}\frac{\mathrm d\theta}{\sqrt{2(\cos\theta-\cos\theta_0)}}

    5. 被積分関数は θ = θ0 で発散しますが、恒等式 cos θ = 1 − 2sin²(θ/2) はその発散が単一のゼロの平方根にすぎないことを示しています。余弦の差は二乗の差です。振幅の半分の正弦を k と置き、θ が θ0 まで動く間に φ が 0 から π/2 まで動くようにします。

      k=sin⁡θ02,  sin⁡θ2=ksin⁡φ ⟹ cos⁡θ−cos⁡θ0=2k2cos⁡2φk=\sin\tfrac{\theta_0}{2},\ \ \sin\tfrac{\theta}{2}=k\sin\varphi\ \Longrightarrow\ \cos\theta-\cos\theta_0=2k^2\cos^2\varphi

    6. 扱いづらい根号が dθ と相殺され、残るのは第一種完全楕円積分です。これは上のパネルが表示している公式であり、その変数を k ではなく k²、すなわち sin²(θ0/2) として記述しています。

      T=4ω0∫0π/2dφ1−k2sin⁡2φ=4ω0K(k)T=\frac{4}{\omega_0}\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}=\frac{4}{\omega_0}K(k)

    7. K は初等的な閉形式を持ちませんが、その被積分関数は持ちます。u = k²sin²φ に関する二項級数であり、その係数は中央二項係数です。

      (1−u)−1/2=∑n≥0cn un,cn=(2n)!4n(n!)2(1-u)^{-1/2}=\sum_{n\ge0}c_n\,u^n,\qquad c_n=\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}

    8. その級数を項別に積分すると、ウォリスの積分によって二項展開が生成したのと同じ cn が返されます。この一致こそが仕掛けのすべてです。

      ∫0π/2 ⁣sin⁡2n ⁣φ dφ=π2 cn\int_0^{\pi/2}\!\sin^{2n}\!\varphi\,\mathrm d\varphi=\frac{\pi}{2}\,c_n

    9. したがって各項は cn を2回取り込むため、周期級数のすべての係数は二項係数の2乗になります。1/4、9/64、25/256 は、1/2、3/8、5/16 の2乗です。

      TTlinear=∑n≥0cn 2k2n=1+k24+9k464+25k6256+⋯\frac{T}{T_{\mathrm{linear}}}=\sum_{n\ge0}c_n^{\,2}k^{2n}=1+\frac{k^2}{4}+\frac{9k^4}{64}+\frac{25k^6}{256}+\cdots

    10. 30° において半振幅は 15° であるため、k² はわずか 0.067 であり、各項は前の項の 20 倍以上小さくなります。3 項で打ち切ると 1.017378 が得られ、これを掛け合わせると 2.0409 s となります。最後の桁を動かすのは第 4 項です。

      k2=sin⁡215∘=0.066987:  1+0.016747+0.000631+0.000029=1.017407k^2=\sin^2 15^\circ=0.066987:\ \ 1+0.016747+0.000631+0.000029=1.017407

    11. 乗算します。これがパネルに表示される正確な周期であり、1.0174 はその横に表示されている比率です。どちらも K を数値的に一度も評価することなく到達したものです。

      T=2.0061×1.017407=2.0410 sT=2.0061\times1.017407=2.0410\ \mathrm{s}

    解答

    微小角公式が 2.0061 s を約束したのに対し、2.0410 s となります。そこに到達させた級数の適用範囲は狭く、その項は k = sin(θ0/2) を持つ k2n を伴うため、離す角度が鉛直に近づくにつれて縮小しなくなり、積分そのものに向き合わなければならなくなります。そこでは K(k) は ln(4/cos(θ0/2)) のように増加します。周期は 180° で確かに発散しますが、対数的に発散するのみであり、対数は逆関数にするには厄介なものです。微小角の値の約 5 倍にあたる 10 s の周期を得るには、鉛直から 0.182° 以内からの解放が必要です。それを2倍の 20 s にすると、要求は2乗され、約 2500 倍も厳しい 7.2×10⁻⁵ 度となります。振り子は全軌道をゆっくり漂うことでその時間を稼ぐのではありません。その時間のほぼすべてを、最後の1度のわずかな分数の領域内で過ごすのです。

    K(k)∼ln⁡4cos⁡(θ0/2)(θ0→180∘)K(k)\sim\ln\frac{4}{\cos(\theta_0/2)}\quad(\theta_0\to180^\circ)
参考文献 (2)

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。