L1: 基礎
多くのデータを1つの数字で：要約統計
MATHここにある三つのツールは、ひとつの授業を形作ります。要約値とはいわば非可逆圧縮であり、どのように圧縮するかが、その要約が何を正しく伝えているかを決定づけます。それぞれのステップは、単一の数値による要約が抱える特有の限界を浮き彫りにし、その課題を次のステップへと手渡していくのです。
数学
この分野のすべてのツール
Calculus & Analysis
- 2曲線間の面積
- オイラー法ビジュアライザー
- テイラー級数エクスプローラー
- フーリエ級数ビルダー
- ラプラス変換ラボ
- ラプラス方程式：定常状態の平板
- リーマンの再配列
- リーマン和エクスプローラー
- 三角関数の積分
- 二つの立体の組み合わせ
- 二重積分
- 偏微分と勾配
- 傾き場と常微分方程式ソルバー
- 円筒殻法
- 最適化：箱と缶
- 初等関数で表せない積分
- 原始関数
- 収束半径
- 合成関数の微分法
- 変化の蓄積と運動
- 媒介変数曲線
- 平均値の定理
- 弧長と回転体
- 微分・接線エクスプローラー
- 微積分学の基本定理
- 数値積分ラボ
- 断面積分による体積
- 極座標での二重積分
- 極座標曲線
- 極限エクスプローラー
- 積の微分と商の微分
- 積分法を選ぶ
- 第1次導関数判定法
- 置換積分
- 部分分数
- 部分積分
- 関連変化率
- 陰関数の微分
Linear Algebra & Geometry
- 2次元固有ベクトルエクスプローラー
- PCA 2D/3D ビジュアライザー
- ガウスの驚異の定理
- グラム・シュミットの直交化法
- コンパスと定規による作図
- ジンバルロックとクォータニオン
- ピタゴラス・ラボ
- ピックの定理：点を数えて面積を求める
- ピラミッドの幾何学
- ベクトル計算機
- ベジェ曲線エクスプローラー
- 三角形の中心とオイラー線
- 円とπの秘密
- 円周角の定理ラボ
- 円錐曲線エクスプローラー
- 円錐曲線パラメータ・エクスプローラー
- 最小二乗法ジオメトリ・エクスプローラー
- 双曲平面
- 座標幾何エクスプローラー
- 正則タイル張りラボ
- 球面上の平行移動
- 相似三角形ラボ
- 立体ラボ：球・円錐・円柱
- 行列変換ビジュアライザー
- 角度の追跡
- 鏡映と平面の合同変換
- 面積と周長
Algebra & Precalculus
- sec・csc・cot と三角関数の相互関係
- ガウスの消去法
- グラフの変換：平行移動、拡大縮小、反転
- サイン・コサイン波エクスプローラー
- 一次方程式
- 三角形ソルバー
- 三角方程式の解き方
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の合成
- 三角関数の恒等式の証明
- 不等式
- 二次方程式ソルバー
- 倍角の公式
- 分数はどこまで真値に迫れるか
- 区分的モデリング・ラボ
- 単位円エクスプローラー
- 多項式の割り算トレーナー
- 対数エクスプローラー
- 式の展開と因数分解
- 指数関数的増加・減少エクスプローラー
- 文章題：物語から方程式へ
- 有理関数エクスプローラー
- 無理方程式チェッカー
- 等式の変形
- 論理矛盾ラボ
- 逆三角関数
- 逆関数エクスプローラー
- 連立方程式
- 関数合成計算機
Number Theory & Arithmetic
Discrete Math & Sequences
章
数と代数
L1: 基礎
数を書き下すということ
MATH三つのツールが一つの筋道をつくります。世の中には最後まで書き切れない数があります。その数にもっとも近い短い表し方は当てづっぽうではなく探し出せますし、数を打ち切ることには測れる代償があります。
L1: 基礎
xについて解く：マイナス記号からの積み上げ
MATH方程式の解法を、概念が本来依存しあう順序で組み立てていく六つのツールです。マイナス記号の働きから出発し、最後は三つの未知数を一度に解く機械的な手法へと至ります。各段階は、次の段階へ具体的なものを一つ手渡します。式の操作、操作に対する制限、あるいはその操作が数学的に許されるかどうかの判定です。
L2: 中等
関数：順に重ね、元へ戻す
MATH関数を順に重ねていく操作について、三つのページで考えます。グラフの平行移動や拡大縮小もまさにその一つで、そこでは括弧が操作の順序を定めています。一般に関数を合成すると、順序を変えれば結果も変わります。f と合成したときに元の x を返す関数が逆関数であり、そのグラフは直線 y = x に関して f のグラフと対称になります。
幾何と三角法
L1: 基礎
三角形の公式は、どこから来るのか
MATH三角形と円に関する基本的な定理を、実際の依存関係に沿って導き出す六つのツール。根拠なく主張される事柄は一つもありません。すべての法則が、直前の法則の必然的な帰結として現れます。そして道のりの最後で最初の法則を座標平面上に置き直したとき、距離の公式へと姿を変えるのです。
L2: 中等
三角関数の恒等式と方程式
MATH恒等式は、両辺が定義されるすべての角度で成り立ちます。そのため、問題で与えられた三角関数と、求めたい三角関数を結びつけられます。この章では、まず逆数で定義される三角関数と、三平方の定理に基づく三つの恒等式を学びます。続いて、電卓が返す値のもとになる逆三角関数と、その値を手がかりに解く三角方程式へ。加法定理、倍角の公式、三角関数の合成を学んだあと、最後に恒等式の証明を一行ずつ進めます。
L2: 中等
円運動と波は同じ運動
MATH三つの道具。この一連の学習の核心は、これらが三つの別々のテーマではないという点にあります。正弦波とは等速円運動を真横から見た姿であり、重力がその回転を担うとき、それは揺れる振り子として現れるのです。
微分積分
L2: 中等
なぜ、近づけばすべてはまっすぐに見えるのか
MATHひとつのアイデアをめぐる、五つのツール。なめらかな曲線は、十分に拡大すると直線と区別がつきません。導関数が測るもの、テイラー展開が拡張するもの、そして複数の方向において勾配が行うこと。そのすべてが、この単一の事実に基づいているのです。道のりは、計算がすっきりとまとまる角度の測り方から出発します。そして最後には、最も急な傾斜が、実際に測ったどの方向をも上回る丘の斜面へと至ります。
L2: 中等
微分法：変化率はどう結びつくか
MATH導関数とは変化率です。微分の公式はどれも、それらの変化率がどう結びつくかを教えてくれます。関数の積として掛け合わされているとき、別の関数の内側に入り込んでいるとき、あるいは誰も y について解いていない方程式のままのとき。最後の二つのページでは、実際の講義で問われる実践的な問題へとこれらの公式を役立てます。ある一瞬の変化の速さ、そしてどれが最善の選択かという問いです。
L3: 学部
f′ と f″ が教えてくれるグラフの姿
MATHグラフがどこで上がり、どこで下がるかは f′ の符号から、どちらへ曲がっているかは f″ の符号から分かります。そうした読み取りに確かな裏付けを与えるのが、冒頭で扱う平均値の定理です。この定理を足がかりに、第一次・第二次導関数による極値判定、さらには f′ のグラフから元の関数 f の姿を読み解く手法へと進んでいきます。
L3: 学部
無限級数と収束
MATH無限和は有限和の極限です。この極限は、有限の和を扱う際には全く問題にならない要素に左右されます。項の順序、そして最も近い特異点の位置です。特異点が実軸上にない場合すら例外ではありません。
L3: 学部
三つの数値計算法と、それぞれの限界
MATHニュートン法、シンプソンの公式、そしてオイラー法。これらはみな、同じ一つのエンジンで動いています。十分に小さな区間のなかでは、曲線を直線とみなすという仕組みです。だからこそ、どの手法にもバグではない、必然的な破綻が存在します。どの破綻がどの手法に属しているのか。それを知ることこそが、生きた知識となるのです。ここでのすべてのステップは、固有の名前を持つ誤差とそれが縮小していく割合を、次のステップへと手渡していきます。
L3: 学部
積分の応用
MATH積分とは、こまやかに積み重なった総量のこと。面積も移動距離も体積も、すべてその現れです。本章では「積み重なり」と「変化率」を結びつける定理から解き起こし、二つの曲線に挟まれた面積、物体の運動、断面のスライスから求める体積へと視野を広げていきます。
L3: 学部
微分方程式：傾きから極へ
MATH微分方程式が語るのは、ある量が「いまどれほどの速さで変化しているか」であって、その値そのものではありません。方向場はその言葉を幾何学的に描き出し、初期値ごとに一本ずつ伸びる解の族全体を浮かび上がらせます。指数関数なら、その族をわずか一行で解くことができます。さらにラプラス変換を使えば、その変化率をs平面上の一点へと写し取り、そこでは方程式を解くことすらなくその結末を読み取れるのです。
線形代数とデータ
L3: 学部
データへの直線当てはめ
MATH散らばった点の集まりを、確かな根拠のある数値へと変える七つの道具。そこから、その数値がどうやって導かれたのか、どの程度信用できるのか、誰も正解を教えてくれない時に何が起きるのかを問いかけ、最後には、最初から確率でしかなかった予測をどう評価するのかへと向かいます。この道筋では統計学よりも幾何学を辿ります。幾何学こそが、統計を嘘のない誠実なものにしてくれるからです。
証明・数え上げ・ゲーム
L2: 中等
2つの値が衝突するとき
MATH誕生日問題は一見するとパーティーの余興のようですが、実は衝突について考察するための標準的な道具なのです。そして続く第2段階で、計算機科学者たちは別の名前で再びこの問題に出会うことになります。
L3: 学部
最適反応、そして誰も計算しないときに起こること
MATH四つのゲームと一つの操作。それは、相手がどんな手に出ようと最適な応答となる手を見つけ出すことだ。第一のゲームはそれ単独で決着がつく。第二のゲームではその位置を特定するのにマス目全体を要し、第三のゲームでは代償を伴う。そして第四のゲームにおいては、誰も計算などしない。それにもかかわらず、集団は自ずと答えに行き着くのだ。
お金と投資
L2: 中等
時間の経過とお金の価値
MATH四つのツールが形作る、一つの概念。お金は時点が異なれば価値も変わるということ、そして繰り返される支払いは一つの数式に集約できるということです。ここにある各ステップは、次のステップへと特定の要素を確実に手渡していきます。
生物・地学・化学
波・光・量子
L3: 学部
熱伝導方程式、波動方程式、ラプラス方程式
PHYひとつの演算子であるラプラシアンを土台としながら、時間の振る舞いだけが異なる三つの方程式。熱は忘却します。最も鋭い細部から先に。波は乱れを彼方へ運び去りますが、平面上ではいつまでも波紋が届き終えることはありません。ラプラス方程式には時間が一切含まれません。それは熱が忘却の果てに行き着く先、すなわち、すべての点が周囲の平均値と等しくなった状態なのです。
全プロセスの詳細解説
- 状態1から始まる3状態連鎖の8ステップ
- 同一の固有値を持つ単位行列とせん断行列
- 7 12 mod 13 の評価（フルグリッド上）
- ニュートン法による x³ − x − 2 の根
- e x に対する n = 8 の台形公式
- 点を数えて正方形の面積を求める
- 交わる二枚の鏡が図形に与える影響
- 面積 4.7124（カージオイド r = 1 + cos θ に囲まれた領域）
- 25 個の素数のふるい落とし（100 未満、手作業）
- 斜辺 1.4142 が分数で表せない数であることの証明
- 平方完成による x² − 5x + 6 = 0 の解法
- 切片と漸近線
- 3つの正方形が頂点で接する際の 90° の余り
- 中点の長方形8個で ∫₀² x² d x を近似する
- 8つの数を足さずに和が80になる8項
- 1 + 1/2 + 1/3 + … の第50部分和
- 拡大図の中に元の3-4-5の三角形がいくつ収まるか
- 3次のマクローリン多項式で sin 1 を近似し、誤差を評価する
- 3辺のみによる3-4-5の三角形の解法
- 45° でのサインのみを用いた π の下界
- 硬貨の瓶を式に表して解く
- ISBN-10の汚れて読めない数字の復元
- 正接の値と象限から、倍角の値を求める
- √x を (3, 1) から始まり (5, 5) を通るように移動させる
これらのツールから生まれた記事
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An antiderivative with no formula, and an area of exactly ln 2
The rules of the integration chapter get nowhere with (x − 1)/ln x. The area under it from 0 to 1 is still exactly ln 2, and the route there is three lines long once you give the integral a dial to turn.
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Every rule you memorised in algebra is about the same one move
There are two moves in school algebra: add something to both sides, or multiply both sides by something. Adding has never needed a warning, and every rule you had to memorise is about the other one.
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The fraction for π that nothing smaller has beaten in 1,500 years
Zu Chongzhi wrote down 355/113 in the fifth century. It is still the best fraction for π that anyone can reach with three digits over three, and the reason is a single large number sitting in π’s continued fraction.
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Two countries measured the same border and disagreed by 227 kilometres
Spain put its border with Portugal at 1,214 km. Portugal put the same border at 987 km. Both had measured carefully; they had used different rulers, and a shorter ruler always finds more coast.
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π is in the bell curve, and there is no circle anywhere in it
Drop needles on floorboards and you can measure π. Collide two blocks and you can count it. Neither has a circle anywhere in it. π is really about rotation and the sum of two squares; circles are just where most of us meet it first.
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You typed one digit. The answer came back with six.
A calculator cannot be more precise than what you fed it, and none of them say so. Here is what the extra digits actually mean, why a reciprocal is the worst place to forget it, and why this site prints them anyway.
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Halving the step size should halve the error. The tool says 1.73.
"First order" is a promise about the limit, not about the step size you are running. The gap between the promise and the measurement is itself first order, which is why an error estimate built on the promise is wrong in a predictable direction.
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Newton's method can double its mistake every step, and the answer was 0.01 away
The standard way to solve an equation numerically converges so fast it feels like cheating. Give it the cube root and it walks away from the answer, doubling the distance every step, forever.
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Primes thin out at a rate you can name
The density of primes near a number n is about one in ln n. That one fact tells you how many primes lie below any bound, why they never run out, and how long a computer must search to find a 1024-bit one.
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Twice as tall is four times the paint, and eight times the concrete
Lengths scale as k, areas as k² and volumes as k³. Getting this wrong is probably the most expensive arithmetic mistake ordinary people make.
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The rule that was the ceiling of arithmetic for a thousand years
Cross-multiplication is usually dismissed as a procedural trick. It was written down in 628 CE, carried across three continents, and was the end of the mathematics syllabus for most people who ever received one.
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Every football has twelve pentagons, and it could not have any other number
Any closed cage of pentagons and hexagons with three faces at each corner has exactly twelve pentagons. Always twelve, whatever size the ball, and the proof never counts a single one.
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Pythagoras is not a fact about triangles
a² + b² = c² fails on a sphere and fails the other way in hyperbolic space. What the theorem actually asserts is that the surface you are standing on is flat.