級数の収束エクスプローラー

1 + 1/2 + 1/3 + … の第50項までの部分和は4.499であり、項の大きさは0.02まで下がり、比の判定法の結果は0.98となっている。パネル上のすべての表示は収束を示しているように見える。この級数が発散することを証明し、100に達するにはどこまで項を進める必要があるかを求めなさい。

1. まず比の判定法を整理しておこう。この判定法は隣り合う項を比較するものであり、1/n についてはその比が (n − 1)/n となり、どのようにしても下から1へと近づいていく。判定結果は 判定不能 であり、収束 ではない。その言葉を添えずに0.98とだけ表示するページは、言葉足らずで誤解を招くことになる。

   $$\left|\frac{a_{50}}{a_{49}}\right|=\frac{49}{50}=0.98\ \longrightarrow\ 1\quad(\text{test inconclusive})$$

2. 証明はオレームによるもので、700年前のものである。項を2の累乗ごとに区切られたブロックにまとめる。1/3 + 1/4 は 1/2 を超え、次の4項も 1/2 を超え、さらに次の8項も同様である。すべてのブロックが少なくとも 1/2 を加え、そのようなブロックが無限に存在する。

   $$\sum_{n=1}^{2^m}\frac1n\ \ge\ 1+\frac{m}{2}\quad\Longrightarrow\quad \text{unbounded}$$

3. これにより発散は確定するが、増加速度まではわからない。表示された和である4.5に対して発散を納得できるものにするのは、その増加速度である。この和を ∫dx/x と比較することで速度が得られる。部分和は ln n に定数を加えた値に沿って推移し、その定数が γ である。

   $$H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+O(n^{-2}),\qquad \gamma=0.5772157$$

4. 検証してみよう。表示された 4.499205 に対して ln 50 + γ = 4.489239 であり、残りの 0.009967 は展開の次の項である 1/2n = 0.01 に相当する。この近似は単に精度が高いだけでなく、自らの誤差を予言するような形で精度が高いのである。

   $$\ln 50+\gamma=4.489239,\qquad 4.499205-4.489239=0.009967\approx\frac{1}{2\times50}$$

5. したがって、逆算すればよい。和が10に達するには約 e^(10−γ) ≈ 12 000 項を必要とする。和が100に達するには e^(100−γ) 項が必要である。

   $$H_n=100\ \Longrightarrow\ n\approx e^{\,100-\gamma}=1.5\times10^{43}$$