画面解像度と視聴距離

壁から3.0 m離れた場所にソファがあります。店頭には55インチの4Kテレビと65インチの4Kテレビが並んでいます。どちらかを選べば、1080pを上回る細部が得られるでしょうか。もし無理なら、どうすればよいのでしょうか？

1. まずは幅を求めます。対角線長は箱に書かれている数字ですが、角度を決めるのは幅だからです。16:9の場合、対角線は√(16² + 9²) = 18.3576となり、そのうち16の割合が幅になります。

   $$W = 55'' \times \frac{16}{\sqrt{16^2 + 9^2}} = 47.94'' = 1217.6\ \mathrm{mm}$$

2. 次に、その幅がソファから見てどれだけの角度を占めるかを計算します。画面を中央で二等分して考えましょう。3000 mmの距離から見る、608.8 mmという半分の幅です。

   $$\theta = 2\arctan\!\frac{608.8}{3000} = 22.94^\circ = 1376.6'$$

3. これを最小分離角で割ります。20/20の視力は一分間隔の細部を識別できるため、20/20においては分の数値がそのまま列数になり、単位を変換するための計算は一切不要です。

   $$N = \frac{1376.6'}{1.0'} = 1377$$

4. 1,377列。1080pは1,920列、4Kは3,840列を供給するため、そのソファから見る55インチのテレビは1080pパネルにも劣る細部しか届けてくれません。4Kという肩書きには何の価値もないことになります。では、65インチを試してみましょう。

   $$65'' \Rightarrow W = 1439.0\ \mathrm{mm}, \; \theta = 26.97^\circ \Rightarrow N = 1618$$

5. これでもまだ302列足りません。そこで逆算し、列数が1,920になるのはどれほどの幅なのかを考えます。一分の視角で計算するとこれは1,920分、すなわち32°に相当するため、中央から左右にそれぞれ16°となります。

   $$N = 1920 \Rightarrow \theta = 32^\circ \Rightarrow W = 2(3000)\tan 16^\circ = 1720\ \mathrm{mm}$$

6. この幅を、箱に書かれている対角線長の数値へと戻します。

   $$D = 1720 \times \frac{\sqrt{16^2 + 9^2}}{16} = 1974\ \mathrm{mm} = 77.7''$$

7. ツールで対角線長を78、距離を3.0に設定すると、1,927列という数値が出ます。つまり3.0 mの距離からなら、78インチあたりでようやく1080pがその真価を発揮し始めるということです。4Kとなれば64°の視野角が求められます。これは幅3.74 mの169インチパネルであり、大半の家では壁そのものより広くなってしまう寸法です。

   $$N = 3840 \Rightarrow \theta = 64^\circ \Rightarrow W = 2(3000)\tan 32^\circ = 3749\ \mathrm{mm} \;(D = 169'')$$

8. 一つ注意点がありますが、これはここまで述べてきたこととは逆の方向に働くものです。この1,377列というのは22.9°全体に広がる上限値ですが、人間の眼は22.9°の範囲すべてで20/20の視力を維持できるわけではありません。最高の解像力が発揮されるのは中心窩（ちゅうしんか）であり、それがカバーするのは中央の約二度に限られます。

   $$2^\circ \times 60 = 120$$

2.5 m離れた場所から見る55インチの8Kテレビ。その3300万画素のうち、細部として実際に眼へ届くのは何画素なのかを求めてください。そのうえで、残りの画素がシリコンの代価に見合うようになるには何が変わればよいのかを考えましょう。

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1. 角度を決めるのは対角線長ではなく幅です。

   $$W = 55'' \times \frac{16}{\sqrt{16^{2} + 9^{2}}} = 47.94'' = 1217.6\ \mathrm{mm}$$

2. その幅の半分を2.5 mの距離から見ると27.4°になり、最小分離角が一分であれば、この角度はそのまま列数へと読み替えられます。

   $$\theta = 2\arctan\!\frac{608.8}{2500} = 27.4^\circ = 1{,}642'$$

3. ソファに届くのは1,642列です。ガラスの上には7,680列あります。前者を表示するのがこのツールのカードで、後者を刷っていたのが箱でした。

   $$N = \frac{1{,}642'}{1.0'} = 1{,}642 \quad\mathrm{of}\quad 7{,}680$$

4. 列は一方向の話にすぎません。眼が使える行数も同じ比率で決まるため、実際に届く映像は1,642×924、すなわち1.52メガピクセルとなります。

   $$1{,}642 \times \tfrac{9}{16} = 924, \qquad 1{,}642 \times 924 = 1{,}517{,}208 = 1.52\ \mathrm{Mpx}$$

5. パネルの33.18メガピクセルに対して4.6%です。同じ席から見る同じ画面の4K版も、まったく同じ1,642列、まったく同じ1.52メガピクセルを届けます。こちらは自身の画素数の18.3%にあたります。画素は四倍、しかし増えた分は一つも届いていません。

   $$\frac{1.52}{33.18} = 4.6\%, \qquad \frac{1.52}{8.29} = 18.3\%$$

6. 変わらなければならないのは角度であり、角度だけです。7,680列すべてを使うには7,680分の視野角、つまり128°が必要で、それは55インチの画面から297 mmの位置に座ることを意味します。

   $$7{,}680' = 128^\circ \;\Longrightarrow\; d = \frac{608.8}{\tan 64^\circ} = \frac{608.8}{2.050} = 297\ \mathrm{mm}$$

7. あるいは席をそのままにして、画面を幅10.25 m、対角線長にして463インチまで大きくすることです。

   $$W = 2(2500)\tan 64^\circ = 10{,}251\ \mathrm{mm} \;\Longrightarrow\; D = 463''$$