超新星膨張推定機

3000 km/s、1000 年、6500 光年離れた場所。殻の半径と見かけの広がりを求めよ。さらに、「自由膨張」が今なお許容されるかを検証せよ。

1. 光年とは光が一年間に進む距離と定義されているため、速度を c で割り、時間を一年で割ることで、すべての単位が一度に相殺される。メートルも秒も必要ない。

   $$R=vt;\qquad 1\ \mathrm{ly}=c\times1\ \mathrm{yr}\ \Longrightarrow\ \frac{R}{\mathrm{ly}}=\frac{v}{c}\times\frac{t}{\mathrm{yr}}$$

2. 計算を行う。3000 km/s は光速のほぼ正確に 1% であり、これにより半径は光年単位での年齢のほぼ正確に 1% となる。これは物理法則ではなく選ばれた数値の偶然によるものである。

   $$\frac{v}{c}=\frac{3000}{299\,792.458}=0.0100069=1.0007\%\ \Longrightarrow\ R=0.0100069\times1000=10.0069\ \mathrm{ly}$$

3. 直径の計算は自明である。秒単位の年齢は上記の計算には不要であり、パネルに表示されているために提示されているだけである。

   $$D=2R=20.0138\ \mathrm{ly};\qquad t=1000\ \mathrm{yr}=3.156\times10^{10}\ \mathrm{s}=31.6\ \mathrm{Gs}$$

4. 角直径は直径を距離で割ったものである。比率が 0.003 であるため、ここでの小角近似は安全であり、パネルにも明示的にその旨が記載されている。

   $$\theta=2\arctan\frac{R}{d}\approx\frac{2R}{d}=\frac{20.0138}{6500}=3.0791\times10^{-3}\ \mathrm{rad}$$

5. ラジアンに 206,265 を掛けて arcsec に変換する。これは一ラジアンに含まれる arcsec の数であり、パーセクを定義する定数と同じものである。

   $$3.0791\times10^{-3}\times206\,265=635.1\ \mathrm{arcsec}=10.6\ \mathrm{arcmin}$$

6. ここでモデル自体の仮定を検証する。殻の体積を計算し、一立方センチメートルあたり一個の水素原子で満たし、爆風が押し出さねばならなかった物質の質量を測定する。

   $$M_{\text{swept}}=\tfrac{4}{3}\pi R^{3}\rho_{\mathrm{ISM}},\ \ n=1\ \mathrm{cm^{-3}}:\quad \tfrac{4}{3}\pi(9.467\times10^{16})^{3}\times1.67\times10^{-21}=5.9\times10^{30}\ \mathrm{kg}=3.0\,M_\odot$$