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レーダー物理シミュレーター

1つのレーダーパルスが光速で飛び出し、目標に当たって戻ってくる様子を見てみましょう — その時間は距離を、強さは探知可能性を、周波数の変化は速度を教えてくれます。

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探知距離を半分にするには反射断面積を16分の1にする

受信電力は 1/R⁴ で減衰します。パルスは往路で広がり、反射波は復路でもう一度広がるからです。したがって探知距離はレーダー反射断面積の四乗根に比例します。この四乗根は両方向に容赦がありません。このツールの RCS プリセットはステルス機の 0.01 m² から艦船の 1000 m² まで、実に10万倍の幅がありますが、そこから出てくる探知距離の差はわずか 100000¼ ≈ 17.8 倍にすぎません。5 m² の戦闘機と比べると、ステルス設計は断面積を500分の1にしながら、距離の低減は 500¼ ≈ 4.7 倍しか買えていません。見つかる距離をさらに半分にするたびに、もう16分の1が必要になります。

1つのエコー、3つの答え

レーダーは電波のパルスを1つ発射し、返ってくるエコーを同時に3通りに読み取ります。戻るまでの遅延が距離を与え(R = c·Δt/2、パルスが往復するため2で割る)、エコーの強さは目標がそもそも検出できるかを示し、周波数のずれは目標が近づく・遠ざかる速さを明かします。要点:光は非常に速いため、150 km先の目標でも1ミリ秒未満で応答が返ります。

適切な速度で航空機が消える仕組み

MTIレーダー(移動目標指示)は、パルスごとに周波数が変わらないエコーを無視することで地表クラッターを除去します。しかしブラインド速度で飛ぶ目標——ドップラー偏移がちょうどPRFの整数倍になる速度——はパルス間で静止して見え、丘と一緒に濾し取られてしまいます。これらの速度は v = n·λ·PRF/2 に従い、λ = 0.1 m、PRF = 1000 Hz なら最初は 50 m/s です。実際のレーダーはPRFを切り替えてこの隙間を埋めます。

全プロセスの詳細解説

  1. レーダー反射断面積が5 m²で90 km離れた戦闘機 7 ステップ

    距離 90 km、レーダー反射断面積 5 m² の戦闘機。本装置は 3 GHz で 100 kW を利得 1000 のアンテナを通じて送信し、その受信機は -120 dBm で検出と判定する。帰還する信号を算出し、目標が遠ざかり続けた場合にこのレーダーがどこまで探知できるかを求めよ。

    1. パルスは往復するため、タイマーが測定しているのは 90 km ではなく 180 km の移動時間である。c で割る前に半分にしなければ、報告する距離がすべて 2 倍になってしまう。ここでは 600 µs となる。

      Δt=2Rc=2×9×1043×108=6×10−4 s=600 μs\Delta t=\frac{2R}{c}=\frac{2\times9\times10^{4}}{3\times10^{8}}=6\times10^{-4}\ \mathrm{s}=600\ \mu\mathrm{s}

    2. 周波数によって波長が決まり、その波長は 2 つの役割を果たす。ドップラー感度を決定することと、反射波をアンテナがどれだけ集められるかを決定することである。3 GHz では λ = 0.1 m となる。

      λ=cf=3×1083×109=0.1 m\lambda=\frac{c}{f}=\frac{3\times10^{8}}{3\times10^{9}}=0.1\ \mathrm{m}

    3. ここからがレーダー計算の難所である。往路において電力は球面状に拡散するため、目標に到達する電力密度は 1/R² に比例して低下する。目標はそのうちの σ を捕捉して再放射し、その再放射された電力も同様に球面状に拡散する。すなわち、2 回目の独立した 1/R² の拡散が生じる。アンテナは実効面積 Ae = Gλ²/4π から電力を収集する。

      St=PtG4πR2,Sr=St σ4πR2,Ae=Gλ24πS_{\mathrm{t}}=\frac{P_tG}{4\pi R^{2}},\qquad S_{\mathrm{r}}=\frac{S_{\mathrm{t}}\,\sigma}{4\pi R^{2}},\qquad A_e=\frac{G\lambda^{2}}{4\pi}

    4. これら 3 つを掛け合わせると R² の項が自乗される。受信電力は R⁻⁴ に比例して減衰するため、レーダーのエコーは単に微弱なだけでなく、圧倒的に微弱となる。距離が 2 倍になれば、エコーは 4 分の 1 ではなく 16 分の 1 に激減する。

      Pr=SrAe=PtG2λ2σ(4π)3R4P_r=S_{\mathrm{r}}A_e=\frac{P_tG^{2}\lambda^{2}\sigma}{(4\pi)^{3}R^{4}}

    5. 数値を代入する。分子は 5×10⁹ であり、分母は (4π)³ = 1984 に R⁴ = 6.56×10¹⁹ を乗じた 1.30×10²³ となる。エコーは 3.84×10⁻¹⁴ W である。これは 100 kW の送信電力に対して戻ってくるわずか 38 femtowatts であり、この 2 つの比率こそがこの問題のすべてである。

      Pr=105⋅106⋅10−2⋅51984×(9×104)4=5×1091.30×1023=3.84×10−14 WP_r=\frac{10^{5}\cdot10^{6}\cdot10^{-2}\cdot5}{1984\times(9\times10^{4})^{4}}=\frac{5\times10^{9}}{1.30\times10^{23}}=3.84\times10^{-14}\ \mathrm{W}

    6. レーダーの電力は 20 桁にも及ぶため、ミリワット基準の dB（dBm）で表記される。3.84×10⁻¹⁴ W は -104 dBm であり、受信機が必要とする -120 dBm を十分に上回っている。

      10log⁡10 ⁣(3.84×10−1410−3)=10log⁡10(3.84×10−11)=−104 dBm10\log_{10}\!\left(\frac{3.84\times10^{-14}}{10^{-3}}\right)=10\log_{10}(3.84\times10^{-11})=-104\ \mathrm{dBm}

    7. このマージンは探知距離の延伸に変換されるが、それほど寛大ではない。ワット単位ではエコーは限界値の 38.4 倍であり、電力は R⁻⁴ に比例するため、探知距離は 38.4 の 4 乗根の分しか伸びない。それは 2.489 であり、90 km × 2.489 = 224 km となる。

      PrPmin⁡=3.84×10−1410−15=38.4 ⟹ Rmax⁡=90×38.41/4=90×2.489=224 km\frac{P_r}{P_{\min}}=\frac{3.84\times10^{-14}}{10^{-15}}=38.4\ \Longrightarrow\ R_{\max}=90\times38.4^{1/4}=90\times2.489=224\ \mathrm{km}

    解答

    224 km — そしてその距離に達するには、受信機が必要とする強さの 38 倍のエコーが必要であった。この数値の陰には第 2 の限界が隠されており、操作パネルのどこにも表示されていない。224 km からのエコーが手元に戻るには 2 × 224 km / c = 1.49 ms かかる。次のパルスをそれより早く発射すると、遅れて届いたエコーは新しいパルスが出射した後に到着することになり、装置はそれがどのパルスに帰属するかを識別できず、224 km にある目標を近距離のものとして報告してしまう。したがって、今導出した探知距離は、約 670 Hz というパルス繰り返し周波数の上限を固定することになる。レーダーがどこまで見通せるかと、どれだけの頻度で観測できるかは、光速のみによってトレードオフの関係にあり、どれほど送信電力を増やしてもそのトレードオフを変えることはできない。

    2Rmax⁡c=1.49 ms⟹PRF<11.49 ms=670 Hz\frac{2R_{\max}}{c}=1.49\ \mathrm{ms}\quad\Longrightarrow\quad \mathrm{PRF}<\frac{1}{1.49\ \mathrm{ms}}=670\ \mathrm{Hz}
  2. 70 km先にあるσ = 0.01 m²の標的 5 ステップ

    同一のレーダー（100 kW、3 GHz）で、今度は 70 km 先にある σ = 0.01 m² の目標を観測する。これは戦闘機と比べてレーダー反射断面積が 500 分の 1 であり、20 km 近い位置にある。エコーを求め、次いで探知されるために目標がどこまで近づかなければならないかを求めよ。

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    1. 分子で変化した因子は 1 つだけである：10⁵ × 10⁶ × 10⁻² × 10⁻² = 10⁷。70 km における R⁴ により分母は 4.76×10²² となり、エコーは 2.1×10⁻¹⁶ W — すなわち 0.21 femtowatts となる。

      Pr=105⋅106⋅10−2⋅10−21984×(7×104)4=1074.76×1022=2.1×10−16 WP_r=\frac{10^{5}\cdot10^{6}\cdot10^{-2}\cdot10^{-2}}{1984\times(7\times10^{4})^{4}}=\frac{10^{7}}{4.76\times10^{22}}=2.1\times10^{-16}\ \mathrm{W}

    2. この 2 つの変化がいかに不均衡であるかに着目されたい。距離が 90 km から 70 km へ縮まることでエコーは (90/70)⁴ = 2.73 倍になるが、反射断面積により 500 分の 1 に減少する。幾何学的な利得は完全にかき消されてしまう。

      (9070)4=2.73  ≪  50.01=500\left(\frac{90}{70}\right)^{4}=2.73\ \ \ll\ \ \frac{5}{0.01}=500

    3. dBm で表すと -127 であり、受信機限界（フロア）の -120 を下回っている。エコーがフロア以下であるため、本装置に関する限り、70 km においてこの目標は存在しない。

      10log⁡10(2.1×10−13)=−127 dBm < −120 dBm10\log_{10}(2.1\times10^{-13})=-127\ \mathrm{dBm}\ <\ -120\ \mathrm{dBm}

    4. 残された変数は距離のみである。ワット単位ではエコーは 10⁻¹⁵ / 2.1×10⁻¹⁶ = 4.76 の因子だけ不足しており、電力は R⁻⁴ に比例して増加するため、距離は 4.76 の 4 乗根である 1.477 の因子だけ縮まらなければならない。70 km / 1.477 = 47.4 km である。

      Pmin⁡Pr=10−152.1×10−16=4.76 ⟹ R=704.761/4=701.477=47.4 km\frac{P_{\min}}{P_r}=\frac{10^{-15}}{2.1\times10^{-16}}=4.76\ \Longrightarrow\ R=\frac{70}{4.76^{1/4}}=\frac{70}{1.477}=47.4\ \mathrm{km}

    5. 反対の端、すなわち戦闘機の 224 km を起点として同じ数値に到達することもできる。探知距離は σ の 1/4 乗に比例するため、σ を 500 で割ることは距離を 500 の 1/4 乗（4.73）で割ることに相当する。224 / 4.73 = 47.4 km となる。一つの法則が、双方向から示されたことになる。

      Rmax⁡∝σ1/4:2245001/4=2244.73=47.4 kmR_{\max}\propto\sigma^{1/4}:\qquad \frac{224}{500^{1/4}}=\frac{224}{4.73}=47.4\ \mathrm{km}

    解答

    レーダー反射断面積を 500 分の 1 に減らしても探知距離は 4.73 分の 1 に縮まるにとどまり、この 4 乗根こそが低観測性（ステルス性）の経済性のすべてである。それは代替手段のコストをも規定する。電力のみによってこの目標を再び 224 km で探知できるようにするには、積 Ptσ を元の値に戻さなければならない。σ が 500 分の 1 に低下したため、Pt は 500 倍 — すなわち 100 kW から 50 MW へ引き上げられなければならない。これこそが、レーダーを大型化するよりも目標の形状設計を行うべきとされる根拠である。ただし、この指数は形状設計者に対しても同じ割合で代償を求める。探知距離をさらに半分にするごとに、σ にはさらに 16 倍の削減コストが課されるのである。

    Rmax⁡∝(Ptσ)1/4 ⟹ Pt→500×100 kW=50 MWR_{\max}\propto(P_t\sigma)^{1/4}\ \Longrightarrow\ P_t\to500\times100\ \mathrm{kW}=50\ \mathrm{MW}
参考文献 (2)
  • The radar range equation and the R⁴ two-way loss: M. I. Skolnik, Introduction to Radar Systems, 3rd ed., ch. 1–2. McGraw-Hill, 2001. ISBN 978-0-07-288138-7.
  • MTI, blind speeds and PRF staggering, behind the third block: M. A. Richards, Fundamentals of Radar Signal Processing, 2nd ed., ch. 5. McGraw-Hill, 2014. ISBN 978-0-07-179832-7.

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