スミスチャート & RFブラックマジック実験室

Z_Lを入力すればどんなインピーダンスもスミスチャート上にプロットでき、それをドラッグして動かすと、Γ、VSWR、反射損失がリアルタイムでどう変化するかを見られます。直列/並列のLとC素子を追加して整合回路を組み立てれば、インピーダンスが中心へ向かう軌跡を描く様子を見られます。これがRF設計の「魔法」を目に見える形にしたものです。

計算例 — スミスチャート & RFブラックマジック実験室

不整合損失	0.345 dB
供給電力	92.4%
z（正規化）	0.720−j0.400
y（正規化）	1.061+j0.590

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レッスン

理論 — スミスチャート & RFブラックマジック実験室

スミスチャートは、たった一つの複素数の絵です。Γ = (Z_L − Z_0)/(Z_L + Z_0) はあらゆる負荷を半径 1 の円板に折り畳むので、点の位置がそのまま答えになります。下に並ぶ五つの行は五つの測定ではありません。その一つの数を、五通りに書き直したものです。

各記号の意味

Γ: 反射係数。入射波のうち戻ってくる割合を、大きさと角度で表します。ほかはすべてここから導かれます。
VSWR: (1+|Γ|)/(1−|Γ|)。完全整合の 1 から全反射の無限大まで動くので、悪い側を引き伸ばし、良い側を圧縮します。
RL: リターンロス、−20 log₁₀|Γ|、単位はデシベル。同じ量をひっくり返したもので、大きいほど良く、完全整合では無限大になります。
y: 正規化アドミタンス 1/z。並列素子はアドミタンスに、直列素子はインピーダンスに加わるため、この行が表示されています。

公式の導き方

すべては一つの測定から始まります。50 Ω 系に 36 − j20 Ω をつなぐと Γ = 0.276 ∠ −111.9°。このページで測っているのはこれだけで、あとは計算です。
大きさだけが四つの行を動かします。0.276 から VSWR 1.76、リターンロス 11.17 dB、ミスマッチ損 0.345 dB、供給電力 92.4%。角度 −111.9° はそのどれにも現れません。
では角度の役割は何か。円のどこにいるかを示し、したがって何を足すべきかを決めること、それだけです。正規化された二行がその換金方法にあたります。インピーダンスを変える直列素子には z = 0.720 − j0.400、アドミタンスを変える並列素子には y = 1.061 + j0.590。
自動整合はこの幾何を解きます。まず +j42.45 Ω の直列インダクタ——915 MHz で 7.38 nH——を選び、続いて +j12.5 mS、すなわち 2.17 pF の並列キャパシタを置くと、表示は |Γ| = 0.000 まで落ちます。

表示の読み方

見本を並べて、五つの名前が食い違うさまを見てください。915 MHz のアンテナは VSWR 1.76——問題ありそうに聞こえます——で、電力の 92.4% を届けます——そうは聞こえません。2.4 GHz の増幅器入力は VSWR 4.56 と 59.0%。短絡は VSWR 5000 と 0.1%。VSWR は三桁を駆け上がる一方、供給電力はほとんど全部から一部へ、そしてゼロへと動きました。VSWR は片端に無限大を持ち、百分率は持たないからです。デシベルで読めば同じ三つの負荷は 0.345、2.293、30.971 dB。行儀のよい目盛りはこちらです。

前提: 整合素子に損失がないこと、周波数が一つしか問題にならないこと、そして部品が十分に小さく長さを持たないこと。最後の点はノモグラフが確認し、崩れると知らせます。915 MHz では波長が 327.6 mm なので、10 mm の配線はその 3.05% にすぎず、集中定数モデルが成り立ちます。同じ 10 mm を 2.4 GHz へ持っていくと 8.0% になり、λ/10 の境界についての警告が出ます。単一周波数という前提はまったく検査されません。L 型整合回路は設計周波数で解かれるだけで、その左右でどれほど速く崩れるかは、このページのどこにも出てきません。
成り立たない場合: ミスマッチ損 0.345 dB は、それ自体としては何でもありません。1/3 デシベルに気づくリンクバジェットはなく、92.4% 供給は良い数字です。それでもこのページは、この程度の定在波比が送信機の出力段を壊しうると警告します。そしてその警告は誇張ではありません。二つの記述は別々の問いに答えているのです。ミスマッチ損が問うのは、どれだけの電力が届かないか。危険が問うのは、反射波がどこへ行くか——線路を逆流して増幅器へ戻り、想定外の熱となり、ケーブルのどこかで絶縁が保証していない電圧の腹となります。負荷は電力をほとんど浪費せずに、それでも無線機を壊す当のものになりえます。RF 部品が供給率ではなく VSWR とリターンロスで規定されるのはそのためです。百分率は、誰も心配していなかったほうの問いに答えています。

無限の半平面を一つの円に畳み込む

スミスチャートは、複雑な負荷インピーダンス Z_L を単位円上の複素反射係数 Γ に変換する共形写像です：Γ = (z - 1)/(z + 1)。1939年にフィリップ・スミスによって開発され、伝送線路方程式をグラフィカルに解決します。この図は、無限の直交インピーダンス座標を円形領域に変換します。等抵抗円はすべて右端の点（開放）で交わります。高周波工学では、素子によってインピーダンスがこれらの円および円弧に沿って移動します。直列または並列の素子を追加することで、任意のインピーダンスをチャートの中心（50 Ω）に導き、反射を防ぐことができます。

チャートを的として読む

このチャートは実のところ一枚の的だ。負荷がどこに落ちようと、重要なのは点が中心からどれだけ離れているかだけである。ちょうど中心では信号源と負荷が完全に一致し、信号は一切戻ってこない。点が外側の縁へ離れるほど、電力はアンテナへ届かず送信機へ反射され、それを数値で表したものがVSWRと反射損失だ。要するに、よい設計とは「点を中央へ引き寄せる」ことに尽きる。

三つの大陸で、三度発明された

通常はフィリップ・スミス一人の功績とされるが、(z − 1)/(z + 1) という写像に基づく同じチャートは、1930年代に三度も独立に考案された。水橋東作は1937年12月に日本で自らの版を発表し、アミエル・ヴォルペルトはスミスとまったく同じ1939年にソ連で発表した。ロシアの技術者は今でもこれをヴォルペルト・スミス図と呼び、歴史家は三人すべてを称えて水橋・ヴォルペルト・スミス図と呼ぶこともある。

全プロセスの詳細解説

50 Ω線路における不整合な915 MHzアンテナ 6 ステップ
915 MHz のアンテナを 50 Ω 給電線で測定すると 36 − j20 Ω であった。不整合の程度を算出し、それを修正する 2 素子の回路網を設計したうえで、その修正がどれほど狭帯域であるかを判定せよ。
1. 規格化する。チャート上のすべての法則は Z₀ を単位として記述されており、アドミタンスはその単なる逆数である。直列素子はインピーダンスに加算され、並列素子はアドミタンスに加算されるため、両方が必要となる。
  
  $z=\frac{Z_L}{Z_0}=\frac{36-j20}{50}=0.720-j0.400,\qquad y=\frac{1}{z}=1.061+j0.590$
2. 反射係数は、このチャートをチャートたらしめている双一次変換である。分母の共役複素数を全体に乗じる。その絶対値が次の行で必要となる。
  
  $\Gamma=\frac{z-1}{z+1}=\frac{-0.280-j0.400}{1.720-j0.400}=-0.1031-j0.2565,\qquad |\Gamma|=0.276$
3. パネルの行のうち 3 つは、装いを変えた同じ数値である。いずれにおいても Γ の絶対値のみが寄与し、偏角はまったく関与しない。これこそが、偏角が残りの半分の情報を担う余地を持つ理由である。
  
  $P_{\text{del}}=1-|\Gamma|^{2}=0.924,\quad \mathrm{ML}=-10\log_{10}0.924=0.345\ \mathrm{dB},\quad \mathrm{VSWR}=\frac{1.276}{0.724}=1.76$
4. ここで偏角が本領を発揮する。直列リアクタンスは実部を触らずにインピーダンスの虚部を変化させるため、得られるアドミタンスの実部が 1/50 に等しくなる値を選択する。2 次方程式には 2 つの根があり、これが正の根である。
  
  $\Re\!\left\{\frac{1}{36+j(X-20)}\right\}=\frac{1}{50}\ \Rightarrow\ 36^{2}+(X-20)^{2}=1800\ \Rightarrow\ X=+42.45\ \Omega$
5. 残ったサセプタンスは逆符号の並列素子によって打ち消される。両方を 915 MHz における素子値に変換すれば、回路網は完成する。
  
  $B=\frac{X-20}{1800}=12.47\ \mathrm{mS};\qquad L=\frac{X}{2\pi f}=7.38\ \mathrm{nH},\quad C=\frac{B}{2\pi f}=2.17\ \mathrm{pF}$
6. 最後に、それがどれほど敏感かを問う。L 型回路網のノード Q は、それが架け橋となる 2 つの抵抗値のみに依存する。
  
  $Q_{\text{node}}=\sqrt{\frac{Z_0}{R_L}-1}=\sqrt{\frac{50}{36}-1}=0.62$
解答

7.38 nH の直列インダクタとそれに続く 2.17 pF の並列キャパシタにより、反射はゼロになる。保持する価値があるのは最後の行である。この整合のノード Q は 0.62 と小さく、低 Q の整合は広帯域となる。負荷を固定したまま周波数を ±10% 変動させても、VSWR は 1.00 から約 1.12 に上昇するに過ぎない。「L 型回路網は狭帯域である」というのは半ばの真実（不完全な真実）に過ぎない。帯域幅はトポロジーではなく、変換によって抵抗値をどれだけ移動させる必要があるかによって決まる。5 Ω を 50 Ω に整合させるには Q = 3 が必要であり確かに極めて脆弱であるが、36 を 50 に整合させる場合はほとんど影響を受けない。

$\text{series }L=7.38\ \mathrm{nH},\ \text{then shunt }C=2.17\ \mathrm{pF}\ \Rightarrow\ \Gamma=0$

参考文献 (3)

The chart as its usual namesake published it: P. H. Smith, "Transmission Line Calculator." Electronics 12(1), 29–31, January 1939.
And the book in which he set out what to do with it: P. H. Smith, Electronic Applications of the Smith Chart, 2nd edition. Institution of Engineering and Technology, 1995. ISBN 978-1-884932-39-7.
The standard treatment of the conversions between Γ, VSWR and return loss: D. M. Pozar, Microwave Engineering, 4th edition. Wiley, 2011 — chapter 2, on transmission lines and the reflection coefficient. ISBN 978-0-470-63155-3.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。