国家債務エクスプローラー

すべてのダイヤルを 今日 プリセットが設定した状態のままにしておく。金利 3.447%、名目成長率 4.2%、対 GDP 比 2% のプライマリー赤字、そして将来にわたって政策変更は一切なしとする。パネルによれば、比率は現在の 130.1% から30年後に 158.8% へ変化する。さらに時間を進めた場合、これは上昇し続けるのだろうか。

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1. 比率の一年分の変化は、一つの式で表せます。その形が重要です。今年の比率にある数を掛け、基礎的財政収支を引きます。これは線形写像ではなくアフィン写像であり、定数項があるからこそ、落ち着く先が生まれます。この乗数をφと置きましょう。以下では、φが1より大きいか小さいかがすべてを決めます。

   $$d_{n+1} = d_n\,\frac{1+r}{1+g} - pb = \varphi\, d_n - pb, \qquad \varphi = \frac{1+r}{1+g}$$

2. 2つの率を代入する。成長率が金利を上回っているため、φ は1をわずかに下回る値となる。毎年、拡大する経済に対して既存の債務は相対的に少しずつ縮小する一方で、赤字はそれを増加させる方向に働く。この写像が引き分けるのは、これら2つの効果である。

   $$\varphi = \frac{1.03447}{1.042} = 0.992774 \;<\; 1$$

3. 乗数が1でないアフィン写像には、値が変わらない点がただ一つあります。来年の値を今年の値と等しいと置いて解きます。

   $$d^{*} = \varphi\, d^{*} - pb \quad\Longrightarrow\quad d^{*} = \frac{-pb}{1-\varphi}$$

4. 2% のプライマリー赤字は pb = −0.02 を意味するため、−pb は +0.02 となり、1 − φ は 0.007226 となる。割り算を実行する。比率は発散せず、対 GDP 比で 276% を少し超えた値へと収束して静止する。

   $$d^{*} = \frac{0.02}{0.0072265} = 2.7676 = 276.8\%\ \text{of GDP}$$

5. これにより、シミュレーションを行わずとも全経路が閉じた形で得られる。現在地と行先とのギャップは毎年 φ 倍ずつ縮小するため、債務比率は不動点と減衰する残差の和で表される。

   $$d_n = d^{*} + (d_0 - d^{*})\,\varphi^{\,n}$$

6. 信頼する前に、パネルと照合して確認しよう。d₀ は 30.77 分の 40.033 であり、n は 30 である。

   $$d_{30} = 2.7676 + (1.30104 - 2.7676)(0.992774)^{30} = 1.5878 = 158.8\%$$

7. では、「収束する」とはどれほどの期間を指すのだろうか。ギャップは ln(½)/ln φ 年ごとに半減する。30年間で埋まるギャップは 19.6% である。ツールが描く予測は全距離の5分の1をカバーしているに過ぎず、半分が埋まるのは96年目であり、指数関数がそのすべてを埋め尽くすことは決してない。

   $$t_{1/2} = \frac{\ln \tfrac12}{\ln 0.992774} = 95.6\ \text{years}$$

8. すべてを左右する条件を変えてみましょう。金利が成長率を上回るをクリックしてください。金利5.5%、成長率3%、基礎的財政収支はちょうど均衡しています。φは1を超えます。基礎的財政収支が均衡していると固定点は0ですが、φが1を超えると、固定点は値を引き寄せるのではなく遠ざけます。そのため比率は、どこから出発しても等比的に増えていきます。

   $$\varphi = \frac{1.055}{1.03} = 1.024272 \;>\; 1, \qquad t_{2} = \frac{\ln 2}{\ln \varphi} = 28.9\ \text{years}$$

成長が金利を上回るプリセットを読み込みます。金利 3%、名目成長率 5%、GDP 比 1.5% の基礎的財政赤字です。「比率を一定に保つ基礎的財政収支」のカードは −2.48% を示します。これがドルでいくらになるかを求め、そのうえで、債務についての見出し記事はパネルの二つの時計のどちらのものかを判断してください。

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1. このカードは GDP に対する割合で、GDP 比とは動いている二つの量の比です。まずその出どころから始めましょう。来年の比率を今年と等しくする収支のことです。金利 3% に対して成長率 5% なら、これは負になります。つまりこの国は GDP 比 2.48% の基礎的財政赤字を恒久的に続けても、債務比率をまったく動かさずにいられます。

   $$pb^{*} = d\,\frac{r-g}{1+g} = 1.30104 \times \frac{0.03-0.05}{1.05} = -0.02478 = -2.48\%$$

2. 次に金額に直します。基礎的財政収支は来年の GDP に対して測るので、それを掛けます。すると GDP が約分されて消えるのが見えます。残るのは債務に二つの率の差を掛けたもので、経済の大きさには一切関係しません。恒常的に年 8,010 億ドル（0.801 兆ドル）の赤字です。

   $$pb^{*}\,G(1+g) = \frac{D}{G}\cdot\frac{r-g}{1+g}\cdot G(1+g) = D(r-g) = 40.033 \times (-0.02) = -0.801$$

3. これは基礎的財政収支、つまり利払い前の予算です。パネルが表示する利払い 1.20 兆ドルを足せば、財務省がその場に留まるために一年で実際に借りる額になります。合計 2.00 兆ドル、債務のちょうど 5% です。

   $$rD - pb^{*}G(1+g) = 1.201 + 0.801 = 2.002 = gD = 0.05 \times 40.033$$

4. この数字の偶然ではありません。比率が変わらないなら、債務も経済も同じ倍率で大きくなっているので、新規の借り入れは成長率に債務を掛けたものになります。金利は消え、基礎的財政収支も消えました。この二つが何であれ、お金がどちらのポケットから出るかを組み替えるだけです。

   $$\frac{D'}{G'} = \frac{D}{G} \iff D' = D(1+g) \iff D' - D = gD$$

5. ここでページのもう半分を見ましょう。「年間の返済額」のスライダーは 2.00 兆ドルにあり、「完済までの時間」のカードは 31.0 年と出ています。同じ 2.00 兆ドルです。一方のパネルはそれを毎年財務省から出ていくお金と呼び、もう一方は入ってくるお金と呼んでいて、両方が同じページに同時に印字されています。

   $$n = \frac{\ln\!\big(P/(P - rD)\big)}{\ln(1+r)} = \frac{\ln(2/0.799)}{\ln 1.03} = 31.0, \qquad gD = 2.002$$

6. このプリセットは比率を一定に保つ赤字を走らせてはいません。走っているのはそれより小さい 1.5%、2.48% ではないので、比率は下がります。30年後のカードは 107.6%、はじめの 130.1% からの低下です。

   $$d_{30} = 1.0759 = 107.6\%, \qquad G_{30} = 30.77 \times 1.05^{30} = 132.99$$

7. そして同じ30年間の、ドルで見た債務そのものです。経済は 5% で複利成長して 4.32 倍になり、それに比率を掛ければ債務は 143 兆ドル。問題かどうかを測る数字のほうが下がっている間に、債務は3倍を超えて増えました。

   $$D_{30} = 1.0759 \times 132.99 = 143.1, \qquad \frac{143.1}{40.033} = 3.57$$