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Calculadora de Desvio para o Vermelho Cosmológico

Estique um fóton através do universo em expansão. Defina z, escolha um comprimento de onda emitido e veja o espectro se deslocar.

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Três horizontes diferentes, e só num deles v = c

O desvio para o vermelho cosmológico é muitas vezes descrito como efeito Doppler, mas é mais subtil. Uma galáxia não se move pelo espaço — o espaço entre nós e ela se estica, e o comprimento de onda do fóton cresce em proporção ao fator de escala a(t). Em z baixo a distinção é acadêmica, já que as duas imagens dão v ≈ H₀d. Passado z ≈ 1,5 a velocidade de recessão excede c, o que é impossível para movimento pelo espaço e nada notável para o espaço em si: o limite de velocidade da relatividade rege o deslocamento pelo espaço-tempo, não a sua expansão. Três distâncias distintas se confundem aqui. A recessão alcança c no raio de Hubble, c/H₀ ≈ 14,5 bilhões de anos-luz — e observamos rotineiramente galáxias muito além dele, a prova mais simples de que recessão superluminal não esconde nada. O que não conseguimos ver além é o horizonte de partículas, a cerca de 46 bilhões de anos-luz, a distância que a luz teve tempo de percorrer. E o que é permanentemente inalcançável é fixado por uma terceira superfície, o horizonte de eventos, perto de 16 bilhões de anos-luz: a luz que hoje deixa uma galáxia além dele nunca chegará.

O que o desvio para o vermelho realmente mede

A luz de uma galáxia distante chega com seus comprimentos de onda esticados para o vermelho. Divida o comprimento de onda observado pelo emitido, subtraia 1 e você tem z. Quanto maior o z, mais tempo a luz viajou — então z é ao mesmo tempo o relógio e a régua do cosmos. Em z = 1, a luz deixou sua galáxia há cerca de 8 bilhões de anos, quando o universo tinha metade do tamanho atual (fator de escala a = 1/(1+z) = 0.5).

O desvio para o vermelho também estica o tempo

A expansão estica cada comprimento de onda por um fator (1+z) — mas estica a duração dos eventos pelo mesmo fator. Uma supernova do tipo Ia em z = 1 é observada brilhando e desvanecendo ao longo do dobro de dias que uma idêntica próxima. Foi exatamente esse esticamento que se mediu, descartando a velha ideia da 'luz cansada': só uma expansão real atrasa o relógio além de avermelhar a luz.

Problema resolvido na íntegra

  1. Velocidade de recessão quando a linha Hα do hidrogénio chega a 721,6 nm 5 passos

    A linha Hα do hidrogénio sai de uma galáxia a 656 nm e chega a 721,6 nm. Determine a velocidade de recessão. A fórmula óbvia erra por cerca de 1500 km/s aqui, e a desvios para o vermelho mais elevados falha por completo.

    1. O desvio para o vermelho é definido como o alongamento fracionário do comprimento de onda, pelo que é lido diretamente a partir dos dois números. z = 0,1: a luz chegou 10% mais vermelha do que partiu.

      z=λobs−λ0λ0=721.6−656656=0.1000z=\frac{\lambda_{\text{obs}}-\lambda_0}{\lambda_0}=\frac{721.6-656}{656}=0.1000

    2. A fórmula a que quase toda a gente recorre é v = cz, herdada do efeito Doppler a baixas velocidades. Resulta em 29 979 km/s, um décimo da velocidade da luz.

      vnaive=cz=0.1×299 792=29 979 km/sv_{\text{naive}}=cz=0.1\times299\,792=29\,979\ \mathrm{km/s}

    3. Mas um décimo da velocidade da luz não é uma velocidade baixa. A relação Doppler relativística associa 1 + z a uma raiz quadrada de (1 + β)/(1 − β); resolver em ordem a β exige uma linha de álgebra e dá 0,09502, e não 0,1.

      1+z=1+β1−β ⟹ β=(1+z)2−1(1+z)2+1=0.212.21=0.095021+z=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\ \Longrightarrow\ \beta=\frac{(1+z)^2-1}{(1+z)^2+1}=\frac{0.21}{2.21}=0.09502

    4. Isso dá 28 487 km/s. O valor ingénuo sobreestima-a em 5,2% — aproximadamente 1500 km/s, o que é maior do que as diferenças de velocidade sobre as quais os astrónomos discutem habitualmente.

      v=0.09502 c=28 487 km/s(29 97928 487=1.052)v=0.09502\,c=28\,487\ \mathrm{km/s}\qquad\left(\frac{29\,979}{28\,487}=1.052\right)

    5. Leve z a 1 e a discrepância deixa de ser uma mera correção. v = cz resulta exatamente em c; a fórmula relativística devolve três quintos desse valor.

      a=11+z=0.9091;z=1: vnaive=c,  β=35=0.600a=\frac{1}{1+z}=0.9091;\qquad z=1:\ v_{\text{naive}}=c,\ \ \beta=\frac{3}{5}=0.600

    Resposta

    A ferramenta mostra 721,6 nm, 28 487 km/s e 9,50% de c, com um fator de escala de 0,9091 — o universo tinha 91% do seu tamanho atual quando essa luz partiu. A ideia a reter é o passo 5: a z = 1 o atalho devolve exatamente a velocidade da luz, enquanto a resposta é 0,600c. Clique na predefinição de campo profundo e verifique. As galáxias são catalogadas a z = 7 e além, onde cz lhe daria sete vezes a velocidade da luz — o que não é um paradoxo sobre a relatividade, mas sim uma fórmula a ser utilizada muito fora do regime em que foi deduzida.

    β=(1+z)2−1(1+z)2+1:z=0.1⇒0.0950 c,z=1⇒0.600 c (not c)\beta=\frac{(1+z)^2-1}{(1+z)^2+1}:\quad z=0.1\Rightarrow0.0950\,c,\qquad z=1\Rightarrow0.600\,c\ (\text{not}\ c)
Referências (2)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.