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Ferramenta de Comprimento de Onda de Pico de Wien

Insira uma temperatura em kelvin para encontrar o comprimento de onda de emissão máxima pela lei do deslocamento de Wien.

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A constante esconde um número que ninguém consegue escrever

λmax = b/T parece exigir uma constante medida, mas b não é medido: ele é derivado, e contém uma raiz transcendente. Maximizar a curva de Planck leva a x = 5(1 − e−x), cuja solução não nula é x = 4,965114232…, um número sem forma fechada. Então b = hc/(x·kB), o que dá 2,897772 × 10⁻³ m·K — exatamente o valor que esta ferramenta usa. Portanto o incômodo 2,8978 não é um acaso de unidades: é a constante de Planck vezes a velocidade da luz, dividida pela constante de Boltzmann e por uma raiz que ninguém escreve com exatidão.

Por que a cor de uma estrela revela seu calor

Esta ferramenta transforma em número a relação cotidiana entre cor e temperatura. A intuição do dia a dia é invertida: na torneira o vermelho indica quente e o azul frio, mas nos corpos incandescentes ocorre o contrário. Um corpo frio brilha num vermelho fraco; ao aquecê-lo, o pico passa pelo laranja, amarelo e enfim pelo branco-azulado. Por isso a estrela vermelha Betelgeuse (~3500 K) é bem mais fria que a branco-azulada Rigel (~12000 K).

O pico depende de como você o representa

A lei de Wien esconde uma armadilha: o comprimento de onda em que um corpo negro atinge o máximo e a frequência em que o atinge não descrevem o mesmo fóton. O espectro do Sol tem pico perto de 500 nm em comprimento de onda (verde), mas por volta de 880 nm (infravermelho) em frequência. A diferença surge porque converter comprimento de onda em frequência estica o eixo de forma desigual. Assim, a 'frequência de pico' que esta ferramenta mostra, ν = c/λmax, não é onde a curva em frequência realmente culmina.

Problema resolvido na íntegra

  1. A cor na qual o Sol atinge o pico e porque funciona uma estufa 5 passos

    Encontre a cor em que o Sol atinge o seu pico e depois use a mesma lei de uma linha para explicar por que funciona uma estufa — e por que razão as câmaras de visão noturna veem corpos quentes. Sol: T = 5772 K.

    1. Tudo o que tem uma temperatura radia, e o comprimento de onda em que radia mais intensamente é inversamente proporcional à temperatura. Mais quente significa mais azul — esse é todo o conteúdo da lei de Wien, e a constante é fixada pela natureza.

      λmax⁡=bT,b=2.898×10−3 m K\lambda_{\max}=\frac{b}{T},\qquad b=2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}

    2. Substitua a temperatura efetiva do Sol. A calculadora acima apresenta este valor, que fica na zona verde, perto do centro do espectro visível e muito próximo do ponto de máxima sensibilidade do olho humano.

      λmax⁡=2.898×10−35772=5.020×10−7 m=502.039 nm\lambda_{\max}=\frac{2.898\times10^{-3}}{5772}=5.020\times10^{-7}\ \mathrm{m}=502.039\ \mathrm{nm}

    3. A frequência decorre imediatamente da relação de onda, e a ferramenta também a apresenta.

      f=cλmax⁡=2.998×1085.020×10−7=5.971×1014 Hzf=\frac{c}{\lambda_{\max}}=\frac{2.998\times10^{8}}{5.020\times10^{-7}}=5.971\times10^{14}\ \mathrm{Hz}

    4. Agora aplique a mesma lei a algo que não seja uma estrela: a superfície da Terra a 288 K.

      T=288 K:λmax⁡=2.898×10−3288=1.006×10−5 m=10.06 μmT=288\ \mathrm{K}:\quad \lambda_{\max}=\frac{2.898\times10^{-3}}{288}=1.006\times10^{-5}\ \mathrm{m}=10.06\ \mathrm{\mu m}

    5. Compare os dois picos. A mesma lei, a mesma constante, temperaturas a diferir por um fator de 20 — logo os comprimentos de onda diferem por um fator de 20 no sentido oposto.

      λEarthλSun=10.06 μm0.502 μm=20\frac{\lambda_{\text{Earth}}}{\lambda_{\text{Sun}}}=\frac{10.06\ \mathrm{\mu m}}{0.502\ \mathrm{\mu m}}=20

    Resposta

    502 nm, no verde. A Terra atinge o pico a 10.06 μm, no infravermelho profundo, e esse fator de vinte é todo o mecanismo do efeito de estufa: o vidro e o CO₂ são transparentes a meio mícron e opacos a dez, pelo que a luz solar entra livremente e o calor reemitido não consegue sair pela mesma via. É também a razão pela qual as câmaras térmicas funcionam no escuro — um corpo a 310 K atinge o pico perto de 9.4 μm e brilha constantemente num comprimento de onda que o seu olho não consegue ver. Uma proporcionalidade inversa, três fenómenos de aspeto não relacionado.

    λmax⁡T=b502 nm (Sun)vs10.06 μm (Earth)\lambda_{\max}T=b\qquad 502\ \mathrm{nm}\ \text{(Sun)}\quad vs\quad 10.06\ \mathrm{\mu m}\ \text{(Earth)}
Referências (2)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.