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Calculadora de potência solar de Stefan-Boltzmann

Insira o raio e a temperatura da estrela para calcular a potência emitida usando a lei de Stefan-Boltzmann.

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Betelgeuse é mais fria que o Sol e 79.000× mais brilhante

Por metro quadrado a temperatura domina — T⁴ contra R² — e ainda assim, nestes exemplos, quem vence é o raio, porque estrelas reais não variam as duas grandezas igualmente. Compare as duas linhas de fatores da própria ferramenta: nestes quatro exemplos o raio abrange 3820× (de 0,2 a 764 R☉), enquanto a temperatura abrange apenas 3,1× (de 3200 a 9940 K). Betelgeuse é mais fria que o Sol, então sua linha (T/T☉)⁴ mostra 0,135 — uma penalidade pura — e ela ainda chega a 78.914 L☉ porque sua linha (R/R☉)² mostra 5,84 × 10⁵. Sirius, quase duas vezes mais quente que o Sol, alcança apenas 25,7. Um expoente mais íngreme perde quando a outra variável tem quatro ordens de magnitude para explorar.

Por metro quadrado, a temperatura é o fator decisivo

Esta ferramenta tem apenas duas variáveis: o tamanho da estrela e a temperatura da sua superfície. No entanto, cada uma pesa de maneira muito diferente. O raio entra como R², enquanto a temperatura entra como T⁴; por metro quadrado, é o calor que prevalece. Se a temperatura de uma estrela duplicar sem que o seu tamanho mude, cada metro quadrado irradiará 2⁴ = 16 vezes mais potência. É essa quarta potência que determina o fluxo. O seu efeito na estrela inteira depende de outra coisa: do raio que a estrela tem.

Stefan mediu o calor do Sol em 1879

Josef Stefan não apenas afirmou que o fluxo cresce como T⁴: em 1879 ele inverteu a lei. Passando a luz solar medida por σT⁴, estimou a superfície do Sol em cerca de 5430 °C (perto de 5700 K), o primeiro valor credível numa época em que estimativas rivais iam de 1500° a milhões de graus. Esta calculadora faz a mesma inversão: o fluxo que você calcula é exatamente a grandeza que Stefan mediu para tomar a temperatura do Sol.

Problema resolvido na íntegra

  1. A potência total do Sol a partir do seu tamanho e temperatura de superfície 5 passos

    Calcule a potência total do Sol a partir apenas do seu tamanho e da sua temperatura de superfície e, em seguida, use esse único número para prever quão fria a Terra deveria ser. Este é o estado Sol da ferramenta: R = 1 R☉ = 6,957 × 108 m, T = 5772 K, ε = 1.

    1. Stefan-Boltzmann fornece a potência por metro quadrado, pelo que a contagem de metros quadrados tem de vir em primeiro lugar. Uma estrela radia a partir da sua fotosfera, e a área de uma esfera necessita apenas do raio.

      A=4πR2=4π(6.957×108)2=6.082×1018 m2A=4\pi R^{2}=4\pi\left(6.957\times10^{8}\right)^{2}=6.082\times10^{18}\ \mathrm{m^{2}}

    2. Agora o fluxo de um metro quadrado. A quarta potência é o que torna esta lei tão implacável: uma estrela apenas 20% mais quente do que o Sol radia 1,204 = 2,07 vezes mais intensamente de cada ponto da sua superfície.

      F=εσT4=(5.6704×10−8)(5772)4=(5.6704×10−8)(1.110×1015)=6.294×107 W/m2F=\varepsilon\sigma T^{4}=\left(5.6704\times10^{-8}\right)\left(5772\right)^{4}=\left(5.6704\times10^{-8}\right)\left(1.110\times10^{15}\right)=6.294\times10^{7}\ \mathrm{W/m^{2}}

    3. A luminosidade é o fluxo vezes a área e nada mais, porque cada fotão que sai da estrela atravessa essa superfície exatamente uma vez. O resultado é a definição de uma luminosidade solar, razão pela qual a linha de comparação da ferramenta indica 1.

      L=A F=(6.082×1018)(6.294×107)=3.828×1026 WL=A\,F=\left(6.082\times10^{18}\right)\left(6.294\times10^{7}\right)=3.828\times10^{26}\ \mathrm{W}

    4. Deixe-se a estrela. A mesma potência espalha-se agora sobre uma esfera cujo raio é a distância da Terra, pelo que apenas a área no denominador muda. Os satélites acima da atmosfera medem 1361 W/m2, e essa concordância é a verificação de todos os três passos anteriores.

      S=L4πd2=3.828×10264π(1.496×1011)2=1361 W/m2S=\frac{L}{4\pi d^{2}}=\frac{3.828\times10^{26}}{4\pi\left(1.496\times10^{11}\right)^{2}}=1361\ \mathrm{W/m^{2}}

    5. A Terra interceta a luz solar através de um disco de área πR⊕2, mas radia a partir de toda a sua esfera, 4πR⊕2. O raio do planeta simplifica-se, o fator 4 não, e as nuvens e o gelo refletem cerca de 30% diretamente para fora antes que qualquer parte seja absorvida.

      πR⊕2(1−a)S=4πR⊕2σTeq4 ⟹ Teq=(1−0.30)(1361)4σ4=254.6 K\pi R_\oplus^{2}(1-a)S=4\pi R_\oplus^{2}\sigma T_{\mathrm{eq}}^{4}\ \Longrightarrow\ T_{\mathrm{eq}}=\sqrt[4]{\frac{(1-0.30)(1361)}{4\sigma}}=254.6\ \mathrm{K}

    Resposta

    A ferramenta indica 6,082 × 1018 m2, 6,294 × 107 W/m2 e 3,828 × 1026 W. Tudo o que se segue é a mesma lei usada mais duas vezes, e termina em 254,6 K. A temperatura média real da superfície da Terra é de 288 K, pelo que a previsão erra por 33 K, e erra numa direção específica: sempre demasiado fria. Essa diferença é o efeito de estufa, e é a única grandeza na cadeia que σT4 não pode fornecer, porque a lei descreve o que uma superfície radia e não diz nada sobre o que o ar acima dela faz à radiação no caminho para fora. Um cálculo assim tão simples ficar a menos de 12% de um planeta é a razão pela qual é a primeira coisa que qualquer pessoa calcula sobre um exoplaneta.

    Teq=(1−a)S4σ4=254.6 K,T⊕=288 K,ΔT=33 KT_{\mathrm{eq}}=\sqrt[4]{\frac{(1-a)S}{4\sigma}}=254.6\ \mathrm{K},\qquad T_\oplus=288\ \mathrm{K},\qquad \Delta T=33\ \mathrm{K}
Referências (3)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.