Espectrograma

Quatro pequenas peças compostas por tons puros, o seu espectrograma, e uma fatia do mesmo. Altere o comprimento da janela e observe as notas próximas a separar-se enquanto o tempo se esbate, ou o inverso. As barras tracejadas representam a partitura: o local onde as notas realmente estão.

Exemplo resolvido — Espectrograma

Semitom acima da nota base	26,16 Hz
Um batimento desse semitom	38,2 ms
Janela que o divide sempre	50,6 ms
Janela (semicolcheias 120 bpm)	0,31
Lobo principal, centro ao primeiro zero	26,2 Hz
Picos até 6 dB na fatia em 1,06 s	dois
Fatias que mostram dois picos	61,9%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Espectrograma

Um espectrograma mostra como o espectro de um sinal muda no tempo. O sinal é cortado em fatias sobrepostas, sendo cada uma multiplicada por uma janela de comprimento T e sujeita à transformada de Fourier (a transformada de Fourier de curto termo), após o que as magnitudes são dispostas lado a lado. Uma janela de comprimento T desfoca o tempo em cerca de T e a altura em cerca de 1/T, logo nenhum comprimento único revela alturas próximas e mudanças rápidas em simultâneo. Duas alturas separadas por um semitom diferem em Δf = f(2^1/12 − 1), e batem uma vez a cada 1/Δf.

Pressupõe: Tons senoidais puros de igual sonoridade. Onde uma nota real possui harmónicos, os enésimos harmónicos de duas notas separadas por um semitom encontram-se n vezes mais afastados do que as próprias notas, pelo que um espectrograma separa esses harmónicos com janelas mais curtas do que os tons fundamentais requerem; a proporção de um som de baixo que reside nos seus harmónicos depende do instrumento.

Duas notas separadas por um semitom requerem uma janela mais longa do que um batimento

Prima Um batimento, retangular. O Lá4 e o Lá♯4 estão distanciados por 26,16 Hz, logo batem em conjunto 26,16 vezes por segundo, uma vez a cada 38,2 ms. Uma janela com esta duração é a regra prática habitual: a resolução de frequência é um a dividir pelo comprimento da janela. A página conta as fatias, e apenas 61,9% apresentam dois picos. Aquelas que falham são os momentos em que os dois tons estão em fase e se somam num único pico a meio caminho entre as suas alturas; um batimento depois, voltam a estar em fase. Todas as fatias se separam apenas quando a janela contém 1,33 batimentos, 50,6 ms, no caso de uma janela retangular, ou 1,88 batimentos, 72,0 ms, para a de Hann, cujas extremidades atenuadas a fazem escutar por menos tempo do que o seu comprimento. Prima Suficientemente longa: aos 80 ms, todas as fatias mostram as duas notas. A regra de Julius Smith em Spectral Audio Signal Processing, de dois batimentos para a retangular e quatro para a de Hann, é mais segura do que a exigida por este teste, pois pede que os dois lobos principais não se sobreponham de todo.

Uma linha de baixo precisa de um relógio mais lento do que uma melodia

Um semitom é um rácio fixo, 2^1/12, pelo que a sua largura em hertz encolhe com a altura: 52,33 Hz no Lá5, 3,27 Hz no Lá1, quatro oitavas abaixo. A janela tem de crescer para acompanhar, e a tabela por baixo dos resultados ilustra esta escada: uma janela de Hann requer 36,0 ms para separar um semitom no Lá5 e 576,2 ms no Lá1, o que equivale a mais de quatro semicolcheias e meia a 120 batidas por minuto. Prima Trilo melódico: Lá5 e Lá♯5 a alternar em semicolcheias, e uma janela de 36 ms mostra qual a nota que toca em 95,0% das fatias. Prima Trilo de baixo, o mesmo trilo quatro oitavas abaixo, através de uma janela com a duração de uma nota, 125 ms: 1,2%. Agora arraste a janela. Curta, é demasiado imprecisa para distinguir 55 Hz de 58,27 Hz; suficientemente longa para os distinguir, abrange quatro ou cinco notas e escuta ambas em simultâneo. Nenhuma janela entre 10 ms e um segundo revela qual a nota de baixo que toca num quarto das fatias. Os analisadores construídos para a música resolvem esta questão ao atribuir a cada altura a sua própria janela: a transformada de Q constante de Judith Brown, de 1991, faz o comprimento da janela variar inversamente com a frequência, longa para os graves e curta para os agudos.

Uma nota deslizante tem uma janela ideal, e uma mais longa desfoca-a

Prima Um glissando: um tom a deslizar de 440 Hz para 880 Hz em dois segundos, 220 Hz a cada segundo. Através de uma janela de Hann de 140 ms, a sua linha tem uma largura de 18,2 Hz a meio. Reduza a janela para metade, 70 ms, e a linha alarga para 29,0 Hz, tal como uma janela mais curta deve fazer. Duplique para 280 ms e esta alarga também, para 30,8 Hz. Uma janela mais longa possui um lobo principal mais estreito, mas a altura move-se enquanto esta escuta: em 280 ms o glissando cobre 61,6 Hz, e a janela esbate toda essa extensão numa única linha. Os dois esbatimentos puxam em sentidos opostos, e para este glissando a linha é mais estreita perto dos 140 ms. Um acorde mantido não possui tal comprimento ideal: para lá dos 72,0 ms todas as fatias de Hann se dividem, e uma janela mais longa apenas estreita os lobos. Na base de ambos encontra-se um limite sobre quão pequena a dispersão no tempo de uma janela multiplicada pela sua dispersão na frequência pode ser. É precisamente disto que trata a página sobre pacotes de ondas.

Problema resolvido na íntegra

A nota mais grave do piano 4 passos
O Lá mais grave de um piano é o Lá0, a 27,5 Hz. Qual o comprimento de uma janela de Hann que um espectrograma exige para revelar o Lá0 e o Lá♯0 como dois picos em todas as fatias, e como se compara com uma semicolcheia a 120 batidas por minuto? Que janela utiliza aí um analisador de Q constante como o de Judith Brown? Prima primeiro Trilo de baixo: a página fornece os valores para o Lá1, uma oitava acima.

Abrir este problema na ferramenta
1. O semitom acima do Lá0:
  
  $\Delta f=27{.}5\ \mathrm{Hz}\times\left(2^{1/12}-1\right)=27{.}5\times0{.}05946=1{.}635\ \mathrm{Hz}$
2. Uma janela de Hann requer 1,8845 batimentos. Uma oitava abaixo do Lá1 a diferença cai para metade, pelo que a janela duplica os 576,2 ms da página:
  
  $T=\dfrac{1{.}8845}{1{.}635\ \mathrm{Hz}}=1{.}152\ \mathrm{s}=2\times576{.}2\ \mathrm{ms}$
3. Em semicolcheias a 120 batidas por minuto, 125 ms cada:
  
  $\dfrac{1{,}152\ \mathrm{ms}}{125\ \mathrm{ms}}=9{.}2$
4. As janelas de Q constante de Brown contêm Q = 34 ciclos da altura que analisam (com forma de Hamming, para uma resolução de um quarto de tom), pelo que o seu comprimento é Q/f:
  
  $T_Q=\dfrac{Q}{f}=\dfrac{34}{27{.}5\ \mathrm{Hz}}=1{.}236\ \mathrm{s};\qquad \dfrac{34}{440\ \mathrm{Hz}}=77{.}3\ \mathrm{ms}$
Resposta

Cerca de 1,15 s, mais de nove semicolcheias. Com essa duração, uma janela abrange mais de nove notas de uma passagem rápida na oitava inferior do piano. A janela de Brown no Lá0, de 1,24 s, é ainda mais longa; no Lá4, os seus 77,3 ms ficam próximos dos 72,0 ms da página para a de Hann, a partir de um critério diferente.

$T\approx1{.}15\ \mathrm{s}>9\times125\ \mathrm{ms}$

Percurso de aprendizagem

A transformada de Fourier na prática

Referências (2)

How long a window must be to resolve two sinusoids Δf apart: M ≥ K fₛ/|f₂ − f₁|, “the window length M must span at least K periods of the difference frequency”, with K = 2 for the rectangular window and 4 for Hann, a sharper empirical K* of 1.44 and 2.36, and the summary that “the window must ‘see’ at least 1.5 cycles of the minimum difference frequency”: J. O. Smith III, Spectral Audio Signal Processing, W3K Publishing (2011), “Resolving Sinusoids”, “Simple Sufficient Condition for Peak Resolution” and “Summary”.
The constant-Q transform, built because the DFT's fixed resolution does not suit musical pitch: “for the ratio of frequency to bandwidth to be a constant (constant Q), then the window size must vary inversely with frequency”, with Q = f/δf = f/0.029f = 34 for quarter-tone resolution and window length N[k] = (S/fₖ)Q samples (p. 427): J. C. Brown, “Calculation of a constant Q spectral transform”, Journal of the Acoustical Society of America, vol. 89, no. 1, pp. 425–434 (1991).

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

Espectrograma

Duas notas separadas por um semitom requerem uma janela mais longa do que um batimento 🖖

Uma linha de baixo precisa de um relógio mais lento do que uma melodia 🖖

Uma nota deslizante tem uma janela ideal, e uma mais longa desfoca-a 🖖

Duas notas separadas por um semitom requerem uma janela mais longa do que um batimento

Uma linha de baixo precisa de um relógio mais lento do que uma melodia

Uma nota deslizante tem uma janela ideal, e uma mais longa desfoca-a