← Matemática

Laboratório de Matemática Musical

teoria dos números, polirritmia e comparação de afinações

A carregar a simulação interativa...

Doze quintas justas passam de sete oitavas

Empilhe doze quintas puras, cada uma com razão de frequências de 3:2, e você deveria voltar à nota de partida, sete oitavas acima. Não volta. (3/2)¹² = 129,7463 enquanto sete oitavas são 2⁷ = 128, então a espiral erra a oitava em 1,4% — a coma pitagórica, 23,46 cents. Não há como afinar um teclado mantendo ao mesmo tempo todas as quintas puras e todas as oitavas puras, porque 3 e 2 não compartilham nenhuma potência comum. O temperamento igual de doze tons resolve isso raspando 1,955 cent de cada quinta: todas as doze ficam ligeiramente baixas e nenhuma exata. Todo piano que você já ouviu está desafinado de propósito e de forma uniforme.

Como um número se torna um acorde

Todo número inteiro se decompõe em fatores primos, seus blocos indivisíveis. Esta ferramenta transforma cada primo num intervalo musical: 2 é uma oitava, 3 uma quinta justa e 5 uma terça maior. Assim, o número 6 = 2 × 3 soa como uma oitava com uma quinta por cima, enquanto um primo como 7 toca um único tom puro. Você literalmente ouve o esqueleto aritmético de um número.

Ritmos nascidos num acelerador de partículas

Os padrões de batidas uniformemente espaçados vêm do algoritmo de Bjorklund, concebido para sincronizar pulsos de nêutrons numa fonte de nêutrons por espalação em Los Alamos. Em 2005, o cientista da computação Godfried Toussaint notou que sua saída coincide com ritmos folclóricos do mundo todo — um dos padrões, E(5,8), é o cinquillo cubano. Mais estranho ainda: o método é o algoritmo de Euclides para o máximo divisor comum, com mais de 2000 anos.

Problema resolvido na íntegra

  1. Uma quinta perfeita com um desvio de 1,96 cents num piano 6 passos

    Uma quinta justa é 3/2 na afinação justa e 2^(7/12) num piano. A diferença é de 1,96 cents. Descubra por que razão ninguém a podia simplesmente corrigir.

    1. Duas definições do mesmo intervalo. Uma é uma razão de números inteiros pequenos, o que a faz soar consonante; a outra é uma raiz décima segunda, o que a faz caber num teclado.

      just fifth=32=1.500;equal fifth=27/12=1.4983\text{just fifth}=\frac{3}{2}=1.500;\qquad \text{equal fifth}=2^{7/12}=1.4983

    2. Os cents colocam ambas numa escala logarítmica onde uma oitava é 1200 e os intervalos se somam. A quinta justa não é um número redondo de cents e a temperada é-o, por construção.

      1200log⁡232=1200(0.584963)=702.0 cents;1200⋅712=700.0 cents1200\log_2\tfrac{3}{2}=1200(0.584963)=702.0\ \text{cents};\qquad 1200\cdot\tfrac{7}{12}=700.0\ \text{cents}

    3. A diferença é pequena — muito abaixo dos 5 cents que a maioria dos ouvintes nota num tom sustentado, razão pela qual o temperamento igual é sequer tolerável.

      difference=701.96−700.00=1.96 cents\text{difference}=701.96-700.00=1.96\ \text{cents}

    4. Agora empilhe doze delas e compare com sete oitavas, que é onde doze quintas deveriam chegar.

      (32)12=129.746against27=128\left(\tfrac{3}{2}\right)^{12}=129.746\quad\text{against}\quad 2^{7}=128

    5. A diferença em cents é a coma pitagórica, e é cerca de um quarto de semitom — inconfundível.

      1200log⁡2129.746128=23.46 cents1200\log_2\frac{129.746}{128}=23.46\ \text{cents}

    6. E é exatamente o pequeno erro, doze vezes. Nada se perdeu ou ganhou no empilhamento; o temperamento igual simplesmente divide a coma por doze e paga-a uma vez por quinta.

      12×1.955=23.4612\times1.955=23.46

    Resposta

    Porque doze dessas diferenças fazem 23,46 cents, e esse é um intervalo real que se consegue ouvir. Empilhe doze quintas puras e chega a 129,746; empilhe sete oitavas e chega a 128. As duas deveriam ser a mesma nota e diferem em 1,4%, a coma pitagórica. Não existe nenhuma afinação que mantenha todas as quintas puras e feche o círculo, porque 3/2 elevado a qualquer potência inteira nunca é uma potência de 2 — as decomposições em fatores primos não podem coincidir. Assim, qualquer afinação de teclado é uma decisão sobre onde colocar a coma: distribuí-la uniformemente por todas as doze quintas, o que é o temperamento igual e custa 1,96 cents a cada uma, ou escondê-la em tonalidades que ninguém toca, que foi o que os temperamentos históricos fizeram e a razão pela qual a música escrita para eles soa diferente em tonalidades diferentes.

    12 just fifths≠7 octaves12\ \text{just fifths}\ne7\ \text{octaves}
Referências (1)
  • Insight block 3 — the algorithm, and the observation that it makes folk rhythms: E. Bjorklund, "The Theory of Rep-Rate Pattern Generation in the SNS Timing System." Los Alamos National Laboratory, SNS ASD Tech Note 2003. G. T. Toussaint, "The Euclidean algorithm generates traditional musical rhythms." Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, 47–56, 2005.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.