Grelha da multiplicação cruzada

Ponha os quatro números num quadrado, trace a cruz e circunde aquele que procura. O que sobra diz-lhe o que multiplicar e por que dividir.

Exemplo resolvido — Grelha da multiplicação cruzada

Lido na grelha	250 × 20 ÷ 100
Resultado	50

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Não se lembra de quais dois multiplicar — olha

É este todo o argumento a favor deste método, e não é um argumento matemático. Há aqui quatro perguntas — achar a parte, o todo, a percentagem, o valor novo — e aprendidas como fórmulas são quatro coisas a manter separadas sob pressão. Aprendidas como este quadrado, são uma só: circunde o número que quer; os dois que não lhe estão ligados pela cruz multiplicam-se, e aquele que está divide. Isso nunca muda, seja qual for o canto que circunde. Um desenho que se consegue reconstruir nas costas de um talão vence uma fórmula que é preciso recordar com exactidão, e é por isso que quem o aprendeu assim continua a usá-lo décadas depois.

O quadrado são dois triângulos semelhantes

Uma vara de 2 m projeta uma sombra de 3 m; a árvore ao lado projeta 18 m. O mesmo sol, o mesmo ângulo, portanto os dois triângulos têm a mesma forma — e em triângulos equiângulos os lados são proporcionais, o que é Euclides, Elementos VI.4. Com os quatro números no quadrado, a árvore tem 2 × 18 ÷ 3 = 12 m, medida sem sair do chão. Este é também o limite honesto do método. Funciona exatamente quando uma grandeza é um múltiplo fixo de outra, porque é então que os dois triângulos existem. Por trás do T² ∝ a³ de Kepler não está nada disso, e nenhuma disposição de uma grelha 2×2 dará um período orbital.

Durante mil anos, a aritmética acabava aqui

Brahmagupta registou a regra em 628 d.C., e não como uma equação — nela não há incógnita nenhuma. Nomeou três grandezas, pramāṇa, phala e icchā, com a observação de que duas delas são da mesma espécie e a terceira não. É a condição que o quadrado impõe ao pôr o semelhante debaixo do semelhante. A mesma formulação continua reconhecível séculos depois em fontes árabes e depois nos livros de ábaco italianos — a aritmética dos mercadores do Liber abaci de Fibonacci (1202) e das escolas de cálculo que se lhe seguiram. E manteve-se como o fim do programa, não o princípio: quando em dezembro de 1859 lhe pediram que descrevesse a sua própria escolaridade, Abraham Lincoln escreveu que sabia «ler, escrever e calcular até à regra de três; mas era tudo».

A subida para voltar não é a queda que você sofreu

Uma queda de 20% não é anulada por uma subida de 20%, e a diferença não é um erro de arredondamento — é uma curva que sobe e se torna vertical. Em uma queda de 50%, você precisa de um ganho de 100% para recuperar; numa queda de 80%, precisa de 400%; numa queda de 90%, 900%. A perda escala linearmente, mas o esforço para recuperar foge para o infinito.

Problemas resolvidos na íntegra

Quanto custam 7 quando 3 maçãs custam 2,4 5 passos
3 maçãs custam 2,4. Calcule quanto custam 7 — e depois determine o que teve de assumir para o fazer.

Abrir este problema na ferramenta
1. Preencha o quadro como na grelha, com um par por linha e cada quantidade ao lado do respetivo preço: em cima, 3 e 2,4, o par dado; por baixo, 7 e D, o par que procura. A relação pressupõe que o preço por maçã é o mesmo nas duas linhas.
  
  $\begin{array}{rcl}3&\;\text{—}\;&2.4\\7&\;\text{—}\;&D\end{array}$
2. Trace as duas diagonais. Se o preço por maçã for o mesmo nas duas linhas, os produtos ao longo das diagonais são iguais: 3 vezes D numa, 2,4 vezes 7 na outra.
  
  $3\times D=2.4\times7$
3. A incógnita fica multiplicada pelo número no extremo oposto da diagonal. Para a isolar, divida por esse número. Os dois números a multiplicar estão na diagonal que não passa pela incógnita.
  
  $D=\frac{2.4\times7}{3}$
4. 2,4 × 7 = 16,8 e 16,8 ÷ 3 = 5,6.
  
  $D=\frac{16.8}{3}=5.6$
5. Faça-o também uma vez pelo caminho mais longo, porque isso mostra o que a regra da cruz realmente é. 2,4 ÷ 3 = 0,8 é o preço de uma maçã, e 7 × 0,8 = 5,6. A cruz é a taxa unitária com a divisão adiada para o fim, razão pela qual também funciona quando a taxa unitária é um número menos convenientemente redondo.
  
  $\frac{2.4}{3}=0.8\quad\Longrightarrow\quad 7\times0.8=5.6$
Resposta

A grelha apresenta 5,6. A aritmética é a parte fácil; aquilo em que assenta é que não. A multiplicação em cruz assume que o custo é um múltiplo fixo da quantidade — que a taxa é a mesma para 3 e para 7, e que 0 maçãs custam 0. Se definir o preço das mesmas maçãs em 0,6 pelo saco mais 0,6 por cada uma, 3 continuam a custar exatamente 2,4, pelo que a questão parece inalterada, mas 7 custam agora 4,8 e a grelha fica 0,8 acima do valor real. Uma única linha identifica o problema: dobre uma quantidade e verifique se o outro lado também dobra. Os custos fixos estão em todo o lado — uma taxa de entrega, uma tarifa fixa, uma tarifa mínima — e qualquer um deles invalida o quadrado, mantendo o enunciado da questão completamente inalterado.

$c=0.8\,n\ \Longrightarrow\ c(7)=5.6;\qquad c=0.6+0.6\,n\ \Longrightarrow\ c(3)=2.4,\ c(7)=4.8$
Um aumento de 20% e uma diminuição de 20% aplicados a 200 5 passos
200 aumenta 20% e depois diminui 20%. O aumento regista 120 em relação a 100, resultando em 200 × 120 ÷ 100 = 240. Determine qual o resultado após a diminuição e porque motivo a resposta não é 200.

Abrir este problema na ferramenta
1. A linha inferior é a alteração escrita como uma razão em relação a 100, e é aqui que o canto é preenchido incorretamente. Uma diminuição de 20% é 80 em relação a 100, e não 20, porque o que resta continua a corresponder a 80% do valor que lá estava. Se colocar 20 nesse canto, o quadrado devolve 48, que é o valor da redução e não o novo preço.
  
  $100-20=80\quad\Longrightarrow\quad \frac{A}{240}=\frac{80}{100}$
2. Com o 80 no seu lugar, a cruz funciona exatamente como no caso das maçãs: o novo valor vezes 100 é igual a 240 vezes 80.
  
  $A\times100=240\times80=19200$
3. Divida por 100: 192, que é 8 abaixo do número de onde tudo começou.
  
  $A=\frac{19200}{100}=192,\qquad 200-192=8$
4. A causa é que as duas percentagens são medidas em relação a quantias diferentes. O aumento adicionou 40, que é 20% de 200. A diminuição retirou 48, que é 20% de 240. Percentagens iguais, quantias desiguais — e a maior seria sempre a subtração, porque foi retirada do número maior.
  
  $240-200=40=0.20\times200,\qquad 240-192=48=0.20\times240$
5. Na forma de multiplicadores é apenas uma linha, e essa linha explica mais do que a grelha. 1,2 × 0,8 = 0,96, e a multiplicação não depende da ordem, pelo que diminuir primeiro e aumentar a seguir também resulta em 192.
  
  $\frac{120}{100}\times\frac{80}{100}=1.2\times0.8=0.96,\qquad 200\times0.96=192$
Resposta

A grelha apresenta 192. Por trás disto está um resultado algébrico que vale a pena memorizar: (1 + p)(1 − p) = 1 − p², pelo que um aumento e uma diminuição iguais deixam-nos sempre aquém do original em p², qualquer que seja a ordem em que ocorram. Aqui p = 0,2, a perda é 0,04 × 200 = 8, e é suficientemente pequena para parecer um arredondamento. Para p = 0,5, o mesmo percurso completo custa 25% de tudo. A diminuição que realmente desfaz um aumento de 20% não é de todo 20% — desfazer significa dividir por 1,2, e 1 ÷ 1,2 = 0,8333, uma diminuição de 16,67%. Trata-se do mesmo quadrado com a incógnita deslocada para o canto inicial: 240 × 100 ÷ 120 = 200.

$(1+p)(1-p)=1-p^{2};\qquad \frac{1}{1.2}=0.8333\quad\Longrightarrow\quad -16.67\%$

Percurso de aprendizagem

Um número para muitos: estatísticas de resumo

Referências (5)

Why the square works: Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4 — "In equiangular triangles the sides about the equal angles are proportional." David E. Joyce's edition, Clark University.
Brahmagupta and the transmission: Jens Høyrup, "Sanskrit-Prakrit Interaction in Elementary Mathematics as Reflected in Arabic and Italian Formulations of the Rule of Three — And Something More on the Rule Elsewhere", in Selected Essays on Pre- and Early Modern Mathematical Practice. Springer, 2019, pp. 131–156.
The date of the Brāhmasphuṭasiddhānta: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, "Brahmagupta", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.
Merchant arithmetic in Latin Europe: Laurence Sigler (trans.), Fibonacci's Liber Abaci: Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer, 2002. ISBN 978-0-387-40737-1.
The Lincoln quotation: Abraham Lincoln, autobiography written for Jesse W. Fell, 20 December 1859 — "I could read, write, and cipher to the Rule of Three; but that was all."

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

Grelha da multiplicação cruzada

Não se lembra de quais dois multiplicar — olha 🖖

O quadrado são dois triângulos semelhantes 🖖

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