Números e álgebra
L1: fundamentos
MATHTrês ferramentas que estruturam uma única lição: um valor de resumo é uma compressão com perdas, e a forma de comprimir determina sobre o que o resumo é honesto. Cada etapa entrega à seguinte uma limitação específica dos resumos de um único número.
L1: fundamentos
MATHTrês ferramentas e um único argumento: há números que não se conseguem escrever até ao fim. A melhor versão curta de um deles procura-se em vez de se adivinhar, e cortar um número tem um custo que se pode medir.
L1: fundamentos
MATHSão seis ferramentas que estruturam a resolução de equações respeitando a ordem natural de dependência dos conceitos. Começam com o que um sinal de menos faz e chegam a um método mecânico para três incógnitas em simultâneo. Cada etapa entrega à seguinte algo muito específico: um passo algébrico, uma restrição a esse passo, ou um teste para confirmar se ele foi válido.
L2: escola
MATHTrês ferramentas, um hábito. Quando as grandezas diferem por fatores em vez de quantidades, pare de as contar e passe a contar expoentes. A primeira constrói a régua. A segunda percorre-a. A terceira marca um número nela sem qualquer dado inicial.
L2: escola
MATHQuatro ferramentas, e cada uma existe porque a ferramenta anterior se esgota. A fatorização funciona quando as raízes são simples, a fórmula resolve quando não são, a divisão atua além do grau dois, e uma função racional é o que dois polinômios formam quando um repousa sobre o outro.
L2: escola
MATHTrês páginas sobre a aplicação sucessiva de funções. Transladar e dilatar um gráfico já faz isso mesmo, com a ordem fixada pelos parênteses. A composição mostra que a ordem altera o resultado. A função inversa é a que, composta com f, devolve x, e o seu gráfico é a reflexão do gráfico de f em relação à reta y = x.
Geometria e trigonometria
L1: fundamentos
MATHSeis ferramentas que constroem os resultados fundamentais do triângulo e do círculo na ordem em que realmente dependem uns dos outros. Nada aqui é imposto: cada regra surge como consequência da anterior, e o percurso termina ao colocar a primeira de novo num referencial, onde se transforma na fórmula da distância.
L2: escola
MATHUma identidade é válida para qualquer ângulo em que ambos os membros estejam definidos. É isso que permite passar da função dada num problema à função cujo valor se pretende calcular. O capítulo começa pelas funções recíprocas e pelas três identidades pitagóricas. Seguem-se as funções inversas, com os valores que a calculadora devolve, e a resolução de equações trigonométricas. Depois das fórmulas da soma e da diferença de ângulos, das fórmulas do ângulo duplo e da forma harmónica, o capítulo termina com a demonstração de identidades, linha a linha.
L2: escola
MATHTrês ferramentas. A ideia central desta sequência é percebermos que não se trata de três assuntos distintos. Uma onda senoidal é o aspeto de um movimento circular uniforme visto de perfil, e o pêndulo oscilante é o que observamos quando a gravidade assegura a rotação.
Cálculo
L2: escola
MATHCinco ferramentas para uma só ideia: uma curva suave, quando ampliada o suficiente, é indistinguível de uma reta. Esse fato isolado é o que a derivada mede, o que a série de Taylor expande e o que o gradiente faz em mais de uma direção. O percurso começa com a medida angular que deixa a aritmética elegante e termina numa encosta onde a inclinação mais íngreme supera todas as direções que você de fato mediu.
L2: escola
MATHUma derivada é uma taxa de variação. Cada regra de derivação mostra como essas taxas se combinam: num produto, numa função dentro de outra ou numa equação que ninguém resolveu em ordem a y. As duas últimas páginas aplicam as regras às perguntas que um curso realmente faz: quão depressa algo muda num instante e qual é a melhor escolha.
L3: universidade
MATHO sinal de f′ indica onde o gráfico sobe e desce; o de f″, para que lado se curva. O capítulo começa pelo Teorema do Valor Médio, que dá segurança a essas leituras, e avança rumo aos testes da primeira e da segunda derivada e à leitura de f a partir do gráfico de f′.
L3: universidade
MATHUma soma infinita é o limite de somas finitas, e este limite depende de aspetos que nenhuma soma finita tem em conta: a ordem dos termos e a posição da singularidade mais próxima, mesmo quando esta se situa fora da reta real.
L3: universidade
MATHO método de Newton, a regra de Simpson e o método de Euler assentam todos no mesmo princípio: dentro de um intervalo suficientemente pequeno, trate a curva como uma reta. Cada um tem, por isso, uma falha que não é um defeito. O conhecimento útil reside em saber qual falha pertence a qual método. Cada passo transmite ao seguinte um erro nomeado e a taxa a que este diminui.
L3: universidade
MATHA derivação é um procedimento; a integração, uma busca. Por este motivo, os exercícios deste capítulo avaliam as respostas de uma única forma: derive o resultado e compare com o integrando. A substituição e a integração por partes são as regras da cadeia e do produto aplicadas às avessas. O método das frações parciais resolve a grande família de funções onde existe sempre uma solução elementar. Por fim, a última página demonstra que para e⁻ˣ² não há qualquer solução desse tipo.
L3: universidade
MATHUm integral é uma quantidade acumulada: área, distância, volume. Este capítulo começa pelo teorema que liga essa acumulação às taxas de variação e avança depois para áreas entre curvas, movimento e volumes obtidos por fatiamento.
L3: universidade
MATHUma equação diferencial diz com que rapidez algo muda, nunca o que esse algo é. O campo de declives desenha essa afirmação e mostra toda uma família de soluções, uma para cada ponto de partida. A exponencial é a família que se resolve numa só linha, e a transformada de Laplace converte a sua taxa num ponto do plano s, onde o desfecho se lê sem resolver nada.
Álgebra linear e dados
L3: universidade
MATHSete ferramentas que transformam uma imagem de pontos dispersos num número que se pode defender, para de seguida perguntarem como se chega a ele, que grau de confiança lhe devemos dar e o que acontece quando ninguém nos revela a resposta. Por fim, ensinam a classificar uma previsão que nunca passou de uma probabilidade. O percurso avança através da geometria em vez da estatística, pois é a geometria que torna a estatística honesta.
L3: universidade
MATHUma pergunta, feita quatro vezes com cada vez menos informação: o que esta matriz realmente faz ao espaço? As colunas respondem de imediato. Os autovetores têm a resposta para as direções que sobrevivem. A SVD responde quando não existe nenhuma, e a PCA aponta a mesma maquinaria a uma nuvem de medições.
Demonstração, contagem e jogos
L2: escola
MATHO problema do aniversário parece um truque de salão, mas é, na verdade, a ferramenta padrão para analisar colisões. É na segunda etapa que os cientistas da computação o reencontram, sob um nome diferente.
L2: escola
MATHUma demonstração é um raciocínio que abrange todos os casos, incluindo aqueles que nunca ninguém chegará a verificar. Estas páginas constroem esse raciocínio de quatro formas: por indução, pela contagem de elementos em gavetas, através de uma quantidade inalterável e por emparelhamento. A primeira começa com uma fórmula que produz um número primo quarenta vezes seguidas e depois resulta em 41 × 41.
L3: universidade
MATHQuatro jogos e uma operação: descobrir a jogada que responde a qualquer ação do adversário. A operação resolve o primeiro jogo por si só. Requer um quadrado inteiro para ser encontrada no segundo e acarreta um custo no terceiro. No quarto jogo, ninguém sequer a calcula, mas a população chega à resposta na mesma.
Dinheiro e investimento
L2: escola
MATHQuatro ferramentas que fundamentam uma ideia: o dinheiro tem valores diferentes em momentos distintos, e um pagamento recorrente pode ser reduzido a uma única fórmula. Cada passo fornece algo específico ao seguinte.
Biologia e Química
L2: escola
GEONuma superfície curva as regras demonstradas no papel deixam de se aplicar, e a exata medida em que cada uma falha quantifica a curvatura a partir do interior. Uma rota retilínea altera o seu rumo na bússola, uma seta transportada sem rodar regressa rodada, um círculo fica com o comprimento errado e, no plano hiperbólico, nenhum triângulo consegue conter mais do que π.
Ondas, luz e quanta
L3: universidade
PHYTrês equações construídas sobre um único operador, o Laplaciano, que diferem apenas no papel do tempo. O calor esquece, apagando primeiro o detalhe mais nítido. Uma onda transporta uma perturbação e, numa superfície, nunca termina totalmente de chegar. A equação de Laplace não contém tempo algum. É o destino a que o calor chega ao esquecer: cada ponto é a média dos seus vizinhos.
An antiderivative with no formula, and an area of exactly ln 2
The rules of the integration chapter get nowhere with (x − 1)/ln x. The area under it from 0 to 1 is still exactly ln 2, and the route there is three lines long once you give the integral a dial to turn.
Every rule you memorised in algebra is about the same one move
There are two moves in school algebra: add something to both sides, or multiply both sides by something. Adding has never needed a warning, and every rule you had to memorise is about the other one.
The fraction for π that nothing smaller has beaten in 1,500 years
Zu Chongzhi wrote down 355/113 in the fifth century. It is still the best fraction for π that anyone can reach with three digits over three, and the reason is a single large number sitting in π’s continued fraction.
Two countries measured the same border and disagreed by 227 kilometres
Spain put its border with Portugal at 1,214 km. Portugal put the same border at 987 km. Both had measured carefully; they had used different rulers, and a shorter ruler always finds more coast.
π is in the bell curve, and there is no circle anywhere in it
Drop needles on floorboards and you can measure π. Collide two blocks and you can count it. Neither has a circle anywhere in it. π is really about rotation and the sum of two squares; circles are just where most of us meet it first.
You typed one digit. The answer came back with six.
A calculator cannot be more precise than what you fed it, and none of them say so. Here is what the extra digits actually mean, why a reciprocal is the worst place to forget it, and why this site prints them anyway.
Halving the step size should halve the error. The tool says 1.73.
"First order" is a promise about the limit, not about the step size you are running. The gap between the promise and the measurement is itself first order, which is why an error estimate built on the promise is wrong in a predictable direction.
Newton's method can double its mistake every step, and the answer was 0.01 away
The standard way to solve an equation numerically converges so fast it feels like cheating. Give it the cube root and it walks away from the answer, doubling the distance every step, forever.
Primes thin out at a rate you can name
The density of primes near a number n is about one in ln n. That one fact tells you how many primes lie below any bound, why they never run out, and how long a computer must search to find a 1024-bit one.
Twice as tall is four times the paint, and eight times the concrete
Lengths scale as k, areas as k² and volumes as k³. Getting this wrong is probably the most expensive arithmetic mistake ordinary people make.
The rule that was the ceiling of arithmetic for a thousand years
Cross-multiplication is usually dismissed as a procedural trick. It was written down in 628 CE, carried across three continents, and was the end of the mathematics syllabus for most people who ever received one.
Every football has twelve pentagons, and it could not have any other number
Any closed cage of pentagons and hexagons with three faces at each corner has exactly twelve pentagons. Always twelve, whatever size the ball, and the proof never counts a single one.
Pythagoras is not a fact about triangles
a² + b² = c² fails on a sphere and fails the other way in hyperbolic space. What the theorem actually asserts is that the surface you are standing on is flat.
