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Razão Áurea e Espiral de Fibonacci

Construa quadrados de Fibonacci, compare razões consecutivas e veja como a recorrência se aproxima da razão áurea.

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por que phi é o ponto fixo

A recorrência de Fibonacci substitui sucessivamente uma razão por 1 mais o seu inverso: F(n)/F(n-1) = 1 + F(n-2)/F(n-1). Quando essa razão estabiliza em x, precisa satisfazer x = 1 + 1/x, logo x² = x + 1. A solução positiva é phi. A espiral é a representação geométrica dessa mesma autossimilaridade: cada retângulo maior contém o retângulo anterior mais um novo quadrado.

A razão ziguezagueia até phi

Observe o gráfico de barras: as razões de Fibonacci consecutivas caem alternadamente logo acima e logo abaixo de φ, e a diferença encolhe a cada passo. Em 21/13 = 1.615 você já está a menos de 0.003 de φ, e poucos termos depois a razão coincide com φ em tantas casas decimais quantas a tela conseguir mostrar. A convergência é rápida, e nenhum desvio isolado permanece longe por muito tempo.

O número mais irracional

Escrito como fração contínua, φ = [1; 1, 1, 1, …]: apenas uns, os menores coeficientes possíveis. Isso torna φ o número mais difícil de aproximar por frações, e suas melhores aproximações são justamente as razões de Fibonacci que esta ferramenta traça. A natureza aproveita isso: sementes separadas por 360°/φ² ≈ 137.5° nunca se alinham deixando lacunas, dando a girassóis e pinhas seu empacotamento denso e uniforme.

Problema resolvido na íntegra

  1. Erro ao medir 144/89 = 1,617978 contra φ = 1,618034 6 passos

    144/89 = 1,617978 face a φ = 1,618034. Preveja esse erro antes de o medir e, em seguida, explique por que razão φ é o pior número da matemática para aproximar.

    1. A equação definidora não é assumida, é forçada: se a razão entre termos consecutivos estabilizar num valor, a recorrência dita que o limite a satisfaz.

      Fn+1Fn→φ ⟹ φ=1+1φ ⟹ φ2−φ−1=0\frac{F_{n+1}}{F_n}\to\varphi\ \Longrightarrow\ \varphi=1+\frac{1}{\varphi}\ \Longrightarrow\ \varphi^{2}-\varphi-1=0

    2. Resolva a equação do segundo grau e tome a raiz positiva.

      φ=1+52=1.618034\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.618034

    3. O décimo primeiro convergente, e o erro que você deve prever. Ele é negativo e o anterior era positivo — os convergentes alternam em torno de φ.

      F12F11=14489=1.617978,error=−5.65×10−5\frac{F_{12}}{F_{11}}=\frac{144}{89}=1.617978,\qquad \text{error}=-5.65\times10^{-5}

    4. A fórmula de Binet fornece o erro em forma fechada. A raiz conjugada ψ é o que os números de Fibonacci descartam, e é precisamente o que falta à aproximação.

      ψ=1−52=−0.618034,Fn+1Fn−φ=ψnFn=−0.00502589=−5.65×10−5\psi=\frac{1-\sqrt5}{2}=-0.618034,\qquad \frac{F_{n+1}}{F_n}-\varphi=\frac{\psi^{n}}{F_n}=\frac{-0.005025}{89}=-5.65\times10^{-5}

    5. Compare com o teorema de Hurwitz, que é a afirmação mais forte possível sobre a aproximação de qualquer irracional por racionais. O erro não está meramente abaixo do limite; está sobre ele.

      Hurwitz: ∣pq−α∣<15 q2 infinitely often;15⋅892=5.6459×10−5\text{Hurwitz}:\ \left|\frac{p}{q}-\alpha\right|<\frac{1}{\sqrt5\,q^{2}}\ \text{infinitely often};\quad \frac{1}{\sqrt5\cdot89^{2}}=5.6459\times10^{-5}

    6. A fração contínua explica o porquê. Ter apenas uns é a convergência mais lenta possível, e o ângulo de ouro é esse facto convertido numa regra de crescimento.

      φ=[1;1,1,1,… ] ⟹ golden angle=360∘φ2=137.508∘\varphi=[1;1,1,1,\dots]\ \Longrightarrow\ \text{golden angle}=\frac{360^{\circ}}{\varphi^{2}}=137.508^{\circ}

    Resposta

    O erro é ψ¹¹/F₁₁ = −5,6461 × 10⁻⁵, e situa-se exatamente no limite mínimo que nenhum irracional pode ultrapassar. Hurwitz provou que qualquer irracional α tem infinitos racionais com |p/q − α| < 1/(√5 q²), e que o √5 não pode ser melhorado. Aqui, 1/(√5 × 89²) = 5,6459 × 10⁻⁵ — o erro real e o limite teórico concordam até uma parte em quarenta mil. É isto que significa "o número mais irracional": não que φ seja misterioso, mas sim que a sua fração contínua [1;1,1,1,…] nunca apresenta um dígito elevado, pelo que nenhum convergente obtém qualquer ganho e cada um deles atinge o limite. As plantas tiram partido disso. Sementes dispostas com um afastamento de 360°/φ² = 137,508° nunca se alinham em filas, porque alinhar-se em filas significa que o ângulo está próximo de uma fração simples de uma volta — e φ é comprovadamente o número mais distante de qualquer fração simples existente.

    ψ11F11=−5.6461×10−5 against the Hurwitz floor 15 F112=5.6459×10−5\frac{\psi^{11}}{F_{11}}=-5.6461\times10^{-5}\ \text{against the Hurwitz floor}\ \frac{1}{\sqrt5\,F_{11}^{2}}=5.6459\times10^{-5}
Referências (1)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.