O Plano Hiperbólico

O plano de curvatura negativa constante, desenhado no disco de Poincaré. Construa um triângulo e compare os seus ângulos e área com um plano, coloque um ponto ao lado de uma reta e veja quais as retas que, passando por ele, nunca a cruzam, ou meça um círculo em relação a 2πr.

Exemplo resolvido — O Plano Hiperbólico

Lados, distâncias no plano	1,0000, 1,0000, 1,0000
Ângulo em A	52,643°
Ângulo em B	52,643°
Ângulo em C	52,643°
Os três ângulos juntos	157,93°
Área	0,385
Como proporção de π	12,26%
Um triângulo plano igual (Herão)	0,43

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — O Plano Hiperbólico

O plano hiperbólico é a superfície completa, simplesmente conexa, cuja curvatura gaussiana é o mesmo número negativo em todo o lado; aqui K = −1, portanto as distâncias são expressas em unidades do raio de curvatura e as áreas no seu quadrado. A área de um triângulo é π menos a soma dos seus ângulos, e por um ponto que não pertença a uma reta passam infinitas retas que nunca a cruzam. O disco de Poincaré desenha todo o plano infinito dentro de um círculo: as retas passam a arcos que cruzam a borda em ângulos retos, os ângulos mantêm os valores reais, e os comprimentos encolhem em direção à borda, que está infinitamente distante.

O que significa cada símbolo

K: a curvatura gaussiana, −1 em todos os pontos deste plano
Π(d): o ângulo de paralelismo: as retas que passam por um ponto à distância d de uma reta cruzam-na apenas a menos de Π(d) da perpendicular

Nenhum triângulo aqui contém mais que π, por mais longos que sejam os seus lados

Pressione Equilátero, lado 1. Os lados são retas deste plano, desenhadas como arcos porque o disco é um mapa, e os ângulos somam 157,93°. O que falta para 180° é a área: 180° − 157,93° = 22,07°, o que em radianos é 0,385. Agora pressione Equilátero, lado 10. Cada ângulo fechou-se para 0,772°, a soma é 2,32°, e a área é 3,101, 98,71% de π, enquanto um triângulo plano com lados de 10 tem 43,30. Como a área é π menos a soma dos ângulos, e os ângulos não podem ser inferiores a zero, nenhum triângulo neste plano contém mais que π, independentemente dos seus lados. A tabela mostra a aproximação: o lado 5 já atinge 84,41% de π, o lado 20 atinge 99,99%. Apenas um triângulo cujos vértices recuaram até ao infinito, com três ângulos de 0°, tem uma área exatamente igual a π.

Por um ponto exterior a uma reta, infinitas retas nunca a cruzam

Pressione Paralelas a distância 1. A linha preta é uma reta deste plano, e o ponto está a 1 de distância dela. Observe a reta a girar pelo ponto. Ela só cruza a reta preta enquanto se encontra a menos de 40,395° da perpendicular, de um lado ou do outro. Lobachevsky chamou a este ângulo o ângulo de paralelismo, Π(d), e em 1840 descreveu-o como tan(Π/2) = e^−d. As duas retas exatamente em Π(d), a rosa, aproximam-se da reta preta nas suas extremidades mas nunca a alcançam, e todas as retas entre elas, nos restantes 99,21°, também falham o cruzamento. A geometria de Euclides tem apenas uma paralela a passar pelo ponto; esta tem infinitas. Pressione Paralelas a distância 3: Π(d) cai para 5,700°, e 168,60° das direções não a cruzam. Em vez disso, aproxime o ponto e o leque estreita quase até desaparecer, 55,05° para d = 0,5: perto da reta, o plano comporta-se quase como uma folha de papel.

A borda de um círculo cresce exponencialmente, e a maior parte do disco reside perto da margem

Pressione Círculo de raio 10. A circunferência mede 2π sinh 10 = 69.198,18, contra 62,83 no papel, sendo 1.101 vezes mais longa. A área interior, 2π(cosh 10 − 1) = 69.191,90, é quase o mesmo número, e 63,22% dela encontra-se a menos de 1 de distância da borda. Longe do centro, cada passo de 1 multiplica a borda quase por e. Henderson e Taimina fazem crochê de um modelo deste plano com essa regra: em cada nova carreira, transformam N pontos em N + 1, de modo que cada carreira é um mesmo fator mais longa do que a anterior, e o tecido, contendo mais borda do que uma folha plana tem espaço para acomodar, é obrigado a dobrar e ondular. A sela no Theorema Egregium de Gauss expandia-se da mesma forma. Digite r = 0,5 aqui e o anel indica uma curvatura de −1,0126 (a estimativa só é exata à medida que o anel encolhe), enquanto o anel da sela dava −0,884 com o mesmo raio: este plano tem curvatura −1 em toda a parte, a sela apenas no seu centro.

Problema resolvido na íntegra

Um triângulo conhecido apenas pelos seus ângulos 4 passos
Um triângulo neste plano tem ângulos de 30°, 45° e 60°. Qual é a sua área e qual o comprimento dos seus lados? No papel, a pergunta não tem resposta: qualquer ampliação de um triângulo mantém os seus ângulos. Pressione primeiro Equilátero, lado 1, onde a página apresenta a soma dos ângulos e a área.

Abrir este problema na ferramenta
1. Na predefinição, a área é π menos a soma dos ângulos, em radianos:
  
  $\mathcal A=\pi-(A+B+C)=(180^\circ-157{.}93^\circ)\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=0{.}385$
2. A mesma regra fornece imediatamente a área deste triângulo:
  
  $\mathcal A=(180^\circ-30^\circ-45^\circ-60^\circ)\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{\pi}{4}=0{.}7854$
3. Para os lados, este plano tem uma segunda lei dos cossenos, que recebe os ângulos e devolve um lado:
  
  $\cosh a=\dfrac{\cos 30^\circ+\cos 45^\circ\cos 60^\circ}{\sin 45^\circ\sin 60^\circ}=\dfrac{0{.}866025+0{.}353553}{0{.}612372}=1{.}991564\ \Rightarrow\ a=1{.}3121$
4. e os outros dois da mesma forma, partindo de B e de C:
  
  $\cosh b=\dfrac{\cos B+\cos C\cos A}{\sin C\sin A}\ \Rightarrow\ b=1{.}6231,\qquad \cosh c=\dfrac{\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}\ \Rightarrow\ c=1{.}8131$
Resposta

Área π/4 = 0,7854, lados 1,3121, 1,6231 e 1,8131. Nenhum outro triângulo tem estes ângulos: se o ampliar, a sua área cresce, logo a soma dos ângulos tem de descer. Não existem triângulos semelhantes de tamanhos diferentes neste plano, e os ângulos de um triângulo trazem consigo uma escala de comprimento, o raio de curvatura.

$\mathcal A=\dfrac{\pi}{4}=0{.}7854,\qquad a,\ b,\ c=1{.}3121,\ 1{.}6231,\ 1{.}8131$

Percurso de aprendizagem

Geometria numa superfície curva

Referências (2)

The angle of parallelism: through a point at distance p from a line, the lines within Π(p) of the perpendicular cut it and the rest do not, with tan ½Π(x) = e⁻ˣ: N. Lobachevsky, Geometrical Researches on the Theory of Parallels (Berlin, 1840), translated by G. B. Halsted, Scientiae Baccalaureus 1(3), February 1891 (scan at the University of Missouri Digital Library).
A model of the hyperbolic plane crocheted by increasing the stitches from N to N + 1 in every row, so each row is the same factor longer than the last; and the area of an ideal triangle, with all three corners at infinity, equal to π times the square of the plane's radius: D. W. Henderson and D. Taimiņa, "Crocheting the Hyperbolic Plane", The Mathematical Intelligencer 23(2) (2001), 17–28.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

O Plano Hiperbólico

O que significa cada símbolo

Nenhum triângulo aqui contém mais que π, por mais longos que sejam os seus lados 🖖

Por um ponto exterior a uma reta, infinitas retas nunca a cruzam 🖖

A borda de um círculo cresce exponencialmente, e a maior parte do disco reside perto da margem 🖖

Nenhum triângulo aqui contém mais que π, por mais longos que sejam os seus lados

Por um ponto exterior a uma reta, infinitas retas nunca a cruzam

A borda de um círculo cresce exponencialmente, e a maior parte do disco reside perto da margem