← Matemática

Laboratório de Modelagem por Partes

Use duas regras lineares divididas em x = c e avalie valores e o comportamento do salto.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Laboratório de Modelagem por Partes

Uma função definida por troços não é uma regra com uma excepção; são duas regras completas mais a indicação de qual se aplica onde. Aqui uma regra linear governa tudo abaixo de um ponto de quebra c e uma segunda governa tudo a partir de c. A pergunta interessante nunca é o que faz cada troço — são apenas rectas — mas o que acontece na costura.

O que significa cada símbolo

c
o ponto de quebra: a entrada em que a regra muda.
f(c⁻)
para onde o troço da esquerda se dirige quando x se aproxima de c por baixo. É um limite, não um valor: em c a regra da esquerda já não se aplica.
f(c⁺)
o valor que o troço da direita realmente toma em c, que é também o valor da função aí.
jump
f(c⁺) − f(c⁻). Zero exactamente quando os dois troços se encontram.

De onde vem a fórmula

  1. Escreva a definição com a condição ao lado: f(x) = m₁x + b₁ para x < c, e f(x) = m₂x + b₂ para x ≥ c. Repare a que troço pertence o próprio ponto de quebra — aqui ao da direita, e é por isso que o gráfico mostra um círculo vazado no ramo esquerdo e um cheio no direito.
  2. Em c a função tem um valor dado pela regra da direita, m₂c + b₂. A regra da esquerda não tem valor aí, mas tem destino: quando x sobe em direcção a c, m₁x + b₁ aproxima-se de m₁c + b₁. É o limite à esquerda.
  3. Continuidade num ponto significa que os limites de ambos os lados e o valor coincidem. Aqui o limite à direita e o valor são a mesma coisa, portanto dois dos três são automáticos e toda a condição se reduz a uma equação: m₁c + b₁ = m₂c + b₂.
  4. Uma equação, e qualquer coeficiente pode ser deslocado para a satisfazer: b₂ = (m₁ − m₂)c + b₁. A continuidade está, portanto, sempre disponível e nunca é gratuita — é preciso gastar um parâmetro nela. Quando não se gasta, o que sobra é exactamente aquilo a que a leitura chama salto: (m₂c + b₂) − (m₁c + b₁).

Como ler o que vê

O segmento azul é a regra da esquerda e o laranja a da direita, cada um traçado até onde a sua própria condição permite. No ponto de quebra o ramo azul termina num círculo vazado — um destino que nunca ocupa — e o laranja começa com um ponto cheio, que é o valor verdadeiro de f(c). Quando os dois coincidem, os círculos sobrepõem-se e a linha do salto lê 0. O ponto azul-esverdeado é f(x₀) para o que puser na caixa de avaliação, e as três últimas linhas traduzem a imagem em números: se os troços se encontram, quanto muda o declive na passagem, e se o degrau descendente cria um intervalo de entradas que custam mais do que o próprio ponto de quebra.

Pressupõe
Ambos os troços são rectas, há exactamente um ponto de quebra, e ele está num sítio conhecido. A convenção semiaberta importa e é uma escolha: a regra da direita possui x = c, logo f(c) é m₂c + b₂. Inverta a convenção e o valor no único ponto c muda, mas o salto não.
Falha quando
O problema a sério aparece quando c não é conhecido mas estimado. Um ponto de quebra estimado a partir dos mesmos dados que ajustam as rectas é um parâmetro escolhido para minimizar o erro, pelo que os erros-padrão habituais da regressão ficam pequenos demais e o ajuste parece melhor do que é — é para isso que existem os métodos de regressão segmentada. E um modelo de dois troços nada diz sobre um terceiro regime: prolongar qualquer das rectas para além do intervalo observado pressupõe uma regra que nunca foi testada.

A continuidade no ponto de quebra tem de ser construída

A linha do salto merece atenção: três das quatro predefinições registam nela um valor diferente de zero. No ponto de quebra, o táxi desce de 13 para 12, o desconto cai 2,5 e a curva de arrefecimento, 4,8. Em todos estes casos há uma descida, pelo que a passagem para a tarifa mais barata faz o total diminuir. Aqui, a continuidade não surge por acaso; é preciso impor exatamente m₁c + b₁ = m₂c + b₂. A predefinição do imposto satisfaz esta condição de propósito: o segundo termo constante é −2, valor obtido ao resolver a condição de continuidade em ordem a b₂. Altere o segundo termo constante da predefinição do táxi de 8 para 9 e o salto também passa a ser 0.

Uma função, duas regras

Um modelo definido por partes usa uma regra linear antes do ponto de quebra c e outra depois — como um taxímetro que cobra uma tarifa no início e outra mais barata mais adiante. Os dois trechos se unem de forma suave apenas quando coincidem em c: contínua exatamente quando m1·c + b1 = m2·c + b2. Caso contrário, a leitura mostra um salto — o gráfico salta para cima ou para baixo na junção.

O canto que move o aprendizado profundo

A função de ativação por trás da maioria das redes neurais modernas, a ReLU, não passa de uma função linear por partes: inclinação 0 enquanto x é negativo e inclinação 1 assim que se torna positivo, unidas no ponto de quebra x = 0. Ali ela é contínua, mas não tem derivada — um canto afiado, não uma curva suave. Empilhe milhões dessas unidades e toda a rede ainda calcula uma única e enorme função linear por partes contínua.

Um desconto pode tornar oito mais caro do que dez

Carregue a predefinição de desconto de quantidade e veja a última linha da leitura. A tarifa cai de 1,2 para 0,7 às dez unidades e o total cai com ela: dez unidades custam 9,5 enquanto oito custam 9,6. A linha dá toda a zona: a partir de 7,916667 unidades e até ao ponto de quebra, paga mais do que pagaria encomendando simplesmente dez. Todo o salto para baixo cria um intervalo destes, e é uma coisa estranha de escrever numa tabela de preços, porque premeia quem quer oito por encomendar dez e levar as duas restantes de graça. É essa a razão prática para verificar a continuidade, e não uma razão decorativa. Mude para a predefinição de arrefecimento e a linha diz que não existe zona nenhuma assim — um ramo descendente nunca sobe acima do valor para onde se dirige.

Problema resolvido na íntegra

  1. Um ponto de mudança de tarifa em 5 e o intervalo onde comprar mais custa menos 6 passos

    Uma tarifa cobra 2x + 3 abaixo de um ponto de transição em 5 e 0,8x + 8 acima dele. Determine o valor em 7 — depois determine o intervalo em que comprar mais custa menos.

    1. Duas retas e uma regra para saber qual se aplica. O único cuidado necessário diz respeito à fronteira: exatamente em x = 5, o segundo ramo é o que está em vigor.

      f(x)={2x+3,x<50.8x+8,x≥5f(7)=0.8(7)+8=13.6f(x)=\begin{cases}2x+3,&x<5\\0.8x+8,&x\ge5\end{cases}\qquad f(7)=0.8(7)+8=13.6

    2. Aproxime-se do ponto de transição por ambos os lados. O limite à esquerda e o valor real discordam, e a dimensão da discrepância é o salto.

      lim⁡x→5−f=2(5)+3=13,f(5)=0.8(5)+8=12,jump=12−13=−1\lim_{x\to5^{-}}f=2(5)+3=13,\qquad f(5)=0.8(5)+8=12,\qquad \text{jump}=12-13=-1

    3. Os declives também discordam, e de forma independente. Uma função pode ser contínua com um ponto anguloso, ou dar um salto sem ponto anguloso; esta faz ambas as coisas.

      m2−m1=0.8−2=−1.2m_2-m_1=0.8-2=-1.2

    4. Agora a questão interessante. Averigue onde o primeiro ramo já subiu acima do valor em que o segundo ramo começa.

      2x+3>12 ⟺ x>4.5on the branch that applies for x<52x+3>12\ \Longleftrightarrow\ x>4.5\quad\text{on the branch that applies for }x<5

    5. Essa desigualdade verifica-se de 4,5 até ao ponto de transição, e em todo esse intervalo a compra mais barata é a de maior quantidade.

      x∈(4.5, 5) ⟹ f(x)>f(5)x\in(4.5,\,5)\ \Longrightarrow\ f(x)>f(5)

    6. Vale a pena escrever a condição que eliminaria o intervalo, pois é essa que um tarifário bem concebido satisfaz.

      continuous  ⟺  b2−b1=(m1−m2)c:8−3=5 against (1.2)(5)=6\text{continuous}\iff b_2-b_1=(m_1-m_2)c:\quad 8-3=5\ \text{against}\ (1.2)(5)=6

    Resposta

    13,6, e entre 4,5 e 5 deve comprar-se sempre 5. O segundo ramo começa em 12 enquanto o primeiro ramo ainda está a subir para além dele, pelo que qualquer pessoa nesse intervalo paga mais por menos. O intervalo não é um artefacto de arredondamento — é 10% de todo o primeiro escalão, e é exatamente o que se obtém com uma tarifa descontínua. Os tarifários reais evitam-no fazendo com que os ramos se encontrem: a continuidade exige b₂ − b₁ = (m₁ − m₂)c, o que aqui exigiria que 5 fosse igual a 6. Os escalões marginais de imposto são construídos dessa forma de propósito, razão pela qual a crença popular de que um aumento de salário pode reduzir o rendimento líquido é falsa para o imposto sobre o rendimento e verdadeira para quase todos os descontos de quantidade alguma vez impressos.

    f jumps by −1 at c=5, so f(x)>f(5) for x∈(4.5, 5)f\ \text{jumps by}\ -1\ \text{at}\ c=5,\ \text{so}\ f(x)>f(5)\ \text{for}\ x\in(4.5,\,5)
Referências (2)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.