Resolução do Ecrã e Distância de Visualização

O seu sofá está a 3,0 m da parede. Tem à disposição uma televisão 4K de 55 polegadas e uma televisão 4K de 65 polegadas. Alguma delas lhe oferece mais detalhe do que 1080p, e se não, o que ofereceria?

1. Comece pela largura. A diagonal é o número na caixa. A largura é o valor que decide o ângulo. Para 16:9 a diagonal é √(16² + 9²) = 18,3576 partes, das quais 16 representam a largura.

   $$W = 55'' \times \frac{16}{\sqrt{16^2 + 9^2}} = 47.94'' = 1217.6\ \mathrm{mm}$$

2. Considere agora o ângulo que a largura cobre a partir do sofá. Divida o valor a meio: metade da largura corresponde a 608,8 mm, vistos a 3000 mm.

   $$\theta = 2\arctan\!\frac{608.8}{3000} = 22.94^\circ = 1376.6'$$

3. Divida pelo ângulo de resolução. Um olho 20/20 separa detalhe com a distância de um minuto de arco. Assim, num cenário 20/20 a contagem de minutos de arco é igual à contagem de colunas e não é necessária qualquer aritmética para passar de uma para a outra.

   $$N = \frac{1376.6'}{1.0'} = 1377$$

4. 1.377 colunas. O 1080p fornece 1.920 e o 4K fornece 3.840, pelo que, a partir daquele sofá, o ecrã de 55 polegadas entrega menos detalhe do que um painel 1080p conseguiria, e o rótulo 4K não traz qualquer benefício. Experimente o de 65 polegadas.

   $$65'' \Rightarrow W = 1439.0\ \mathrm{mm}, \; \theta = 26.97^\circ \Rightarrow N = 1618$$

5. Continua aquém, e por 302 colunas. Faça o percurso inverso e pergunte qual seria a largura que colocaria a contagem nas 1.920. A um minuto de arco isso equivale a 1.920 minutos de arco, ou seja 32°, logo 16° para cada lado do centro.

   $$N = 1920 \Rightarrow \theta = 32^\circ \Rightarrow W = 2(3000)\tan 16^\circ = 1720\ \mathrm{mm}$$

6. Converta essa largura de volta para o número escrito na caixa.

   $$D = 1720 \times \frac{\sqrt{16^2 + 9^2}}{16} = 1974\ \mathrm{mm} = 77.7''$$

7. Defina a diagonal para 78 e a distância para 3,0, e a ferramenta indica 1.927 colunas. A 3,0 m, portanto, o 1080p começa a compensar por volta das 78 polegadas. O 4K exigiria 64° de ecrã: um painel de 169 polegadas com 3,74 m de largura, o que excede a largura da parede onde ficaria pendurado na maioria das casas.

   $$N = 3840 \Rightarrow \theta = 64^\circ \Rightarrow W = 2(3000)\tan 32^\circ = 3749\ \mathrm{mm} \;(D = 169'')$$

8. Existe uma ressalva, e opera em sentido oposto a tudo o que foi dito acima. Essas 1.377 colunas são um orçamento distribuído pela totalidade dos 22,9°, e o seu olho não mantém uma visão 20/20 ao longo de 22,9°. A capacidade total de resolução reside na fóvea, que cobre aproximadamente os dois graus centrais.

   $$2^\circ \times 60 = 120$$

Uma televisão 8K de 55 polegadas, a 2,5 m. Calcule quantos dos seus 33 milhões de píxeis chegam como detalhe e decida depois o que teria de mudar para que os restantes valessem o silício.

Abrir este problema na ferramenta

1. É a largura, e não a diagonal, que fixa o ângulo.

   $$W = 55'' \times \frac{16}{\sqrt{16^{2} + 9^{2}}} = 47.94'' = 1217.6\ \mathrm{mm}$$

2. Metade dessa largura vista a 2,5 m dá 27,4°, e com uma acuidade de um minuto de arco os graus convertem-se diretamente em colunas.

   $$\theta = 2\arctan\!\frac{608.8}{2500} = 27.4^\circ = 1{,}642'$$

3. Chegam ao sofá 1.642 colunas, das 7.680 que existem no vidro. O cartão apresenta o primeiro número; a caixa apresentava o segundo.

   $$N = \frac{1{,}642'}{1.0'} = 1{,}642 \quad\mathrm{of}\quad 7{,}680$$

4. As colunas são apenas uma dimensão. As linhas que o olho aproveita escalam da mesma maneira, pelo que a imagem entregue é de 1.642 por 924, ou seja, 1,52 megapíxeis.

   $$1{,}642 \times \tfrac{9}{16} = 924, \qquad 1{,}642 \times 924 = 1{,}517{,}208 = 1.52\ \mathrm{Mpx}$$

5. Face aos 33,18 do painel, isso são 4,6%. A versão 4K do mesmo ecrã, no mesmo lugar, entrega as mesmas 1.642 colunas e os mesmos 1,52 megapíxeis, o que representa 18,3% da sua própria contagem. Quatro vezes os píxeis, e nenhum dos que sobram chega.

   $$\frac{1.52}{33.18} = 4.6\%, \qquad \frac{1.52}{8.29} = 18.3\%$$

6. O que teria de mudar é o ângulo, e apenas o ângulo. Usar as 7.680 colunas exige 7.680 minutos de arco de visão, ou seja, 128°, o que significa sentar-se a 297 mm de um ecrã de 55 polegadas.

   $$7{,}680' = 128^\circ \;\Longrightarrow\; d = \frac{608.8}{\tan 64^\circ} = \frac{608.8}{2.050} = 297\ \mathrm{mm}$$

7. Ou ficar no mesmo lugar e aumentar o ecrã até aos 10,25 m de largura, uma diagonal de 463 polegadas.

   $$W = 2(2500)\tan 64^\circ = 10{,}251\ \mathrm{mm} \;\Longrightarrow\; D = 463''$$