← Física

Explorador do Pêndulo Duplo

explore o caos determinístico e o efeito borboleta em um movimento acoplado

A carregar a simulação interativa...

por que pêndulos duplos se tornam imprevisíveis

Isso é caos determinístico, não aleatoriedade. Inicie duas simulações com apenas 0,1° de diferença: depois de um tempo, elas não parecem mais relacionadas, porque a separação cresce de forma aproximadamente exponencial (um expoente de Lyapunov positivo). A energia fica migrando continuamente entre os dois braços por causa do acoplamento não linear, então diferenças de fase minúsculas se amplificam em estados futuros completamente diferentes. As equações são exatas; o que desmorona é o horizonte de previsibilidade.
Este pêndulo não vai apenas de um lado para o outro — ele fica mudando de ideia sobre qual braço lidera a dança.

apenas duas hastes e a gravidade

Não há motor, nem gerador de acaso, nem truque — apenas dois braços, duas articulações e a gravidade. O movimento selvagem vem inteiramente da segunda articulação, pela qual cada braço empurra o outro. Experimente começar com um pequeno impulso perto do repouso: ele oscila quase como um pêndulo comum. O caos só assume o controle quando você dá energia suficiente para os braços passarem por cima do ponto mais alto.
A complexidade não está embutida; ela cresce a partir de algo quase constrangedoramente simples.

a ponta pode cair mais rápido que a gravidade

Solte o pêndulo do repouso com os braços na horizontal e observe a massa externa: por um instante ela pode acelerar para baixo mais rápido que uma bola em queda livre — ou seja, mais que g. Os braços rígidos agem como alavanca e chicote, então o braço interno arremessa o externo para baixo com mais força do que a gravidade jamais conseguiria. É o mesmo efeito que faz uma vara com dobradiça chegar ao chão antes de uma moeda que cai.
A gravidade inicia a queda, mas a geometria decide quem chega primeiro.

Problema resolvido na íntegra

  1. O período de duas oscilações limpas a partir da libertação em repouso 7 passos

    Libertado do repouso com θ₁ = 20° e θ₂ = 10°, com m₁ = m₂ = 1, l₁ = l₂ = 1 e g = 9,81, e amortecimento c = 0. Ângulos tão pequenos não são caóticos — o movimento é a soma de duas oscilações puras. Determine o período de cada uma e, em seguida, decida qual delas as marcas de ciclo no painel estão a contar.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Simplifique as equações do movimento acima. Ângulos pequenos significam que sin θ passa a θ e cos 2Δ passa a 1, e os termos de velocidade ao quadrado são de segunda ordem numa amplitude pequena, pelo que desaparecem. Ambos os denominadores reduzem-se a 2m₁ + m₂ − m₂ = 2, e o que resta é linear e continua acoplado: nenhuma das massas se move sem empurrar a outra.

      θ¨1=−2kθ1+kθ2,θ¨2=2kθ1−2kθ2,k=gℓ\ddot\theta_1=-2k\theta_1+k\theta_2,\qquad \ddot\theta_2=2k\theta_1-2k\theta_2,\qquad k=\frac{g}{\ell}

    2. Defina uma referência antes de resolver qualquer coisa. Um pêndulo simples de 1 m oscila a ω₀ = √(g/l), dando os 2,01 s que o painel apresenta como indicação de período e assinala em cada marca de ciclo. Guarde este valor, pois nada do que se segue será igual a ele.

      k=9.811=9.81 s−2,ω0=k=3.132 rad/s,T0=2πω0=2.01 sk=\frac{9.81}{1}=9.81\ \mathrm{s^{-2}},\quad \omega_0=\sqrt{k}=3.132\ \mathrm{rad/s},\quad T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=2.01\ \mathrm{s}

    3. Um modo normal é um movimento no qual ambos os ângulos oscilam a uma única frequência partilhada e mantêm uma razão fixa. Substitua θᵢ = aᵢ cos ωt e cada uma das duas equações fornece essa razão a₂/a₁, obtida a partir de caminhos opostos.

      θi=aicos⁡ωt ⟹ (2k−ω2)a1=k a2,(2k−ω2)a2=2k a1\theta_i=a_i\cos\omega t\ \Longrightarrow\ (2k-\omega^{2})a_1=k\,a_2,\quad (2k-\omega^{2})a_2=2k\,a_1

    4. As duas expressões para a mesma razão têm de coincidir, e igualá-las elimina ambas as amplitudes. O que resta é uma equação do segundo grau em ω², e uma equação do segundo grau tem 2 raízes. É daí que provém o segundo período.

      (2k−ω2)2=2k2⟹ω2=(2∓2) k=5.747, 33.49 s−2(2k-\omega^{2})^{2}=2k^{2}\quad\Longrightarrow\quad \omega^{2}=(2\mp\sqrt2)\,k=5.747,\ 33.49\ \mathrm{s^{-2}}

    5. Portanto, este pêndulo tem 2 períodos, 2,62 s e 1,09 s, e os 2,01 s nas marcas de ciclo não correspondem a nenhum deles. Fica entre eles e não pertence a nenhum.

      ω−=2.397,  ω+=5.787 rad/s⟹T−=2.62 s,  T+=1.09 s\omega_-=2.397,\ \ \omega_+=5.787\ \mathrm{rad/s}\quad\Longrightarrow\quad T_-=2.62\ \mathrm{s},\ \ T_+=1.09\ \mathrm{s}

    6. Cada raiz devolve a sua própria forma. A raiz lenta dá a₂/a₁ = +1,414: ambas as massas oscilam no mesmo sentido, a inferior 1,414 vezes mais amplamente. A raiz rápida dá −1,414: oscilam em oposição e a articulação entre elas faz um movimento de tesoura.

      a2a1=2k−ω2k=±2=±1.414\frac{a_2}{a_1}=\frac{2k-\omega^{2}}{k}=\pm\sqrt2=\pm1.414

    7. Um início com 20° e 10° não corresponde a nenhuma das duas formas, pelo que ambos os modos estão a funcionar ao mesmo tempo. Decompondo numa amplitude lenta A e numa amplitude rápida B — a massa superior exige A + B = 20°, a inferior exige √2(A − B) = 10° — o modo lento fica com 13,54° do valor inicial, enquanto o modo rápido fica com 6,46°.

      A+B=20∘,  2 (A−B)=10∘⟹A=13.54∘,  B=6.46∘A+B=20^\circ,\ \ \sqrt2\,(A-B)=10^\circ\quad\Longrightarrow\quad A=13.54^\circ,\ \ B=6.46^\circ

    Resposta

    2,62 s e 1,09 s, e a sua razão é exatamente 1 + √2. Uma razão irracional significa que os 2 modos nunca voltam a estar em fase, pelo que a figura que a massa inferior traça nunca se repete exatamente — e este é o caso comportado de ângulos pequenos, sem qualquer caos. Esclarece também o que são as marcas de ciclo de 2,01 s: uma régua de pêndulo simples aplicada a um movimento de 2 frequências, razão pela qual os ângulos registados em cada marca continuam a derivar em vez de regressarem a 20,0° e 10,0°. Aumente a libertação para 145° e até as 2 frequências desaparecem, porque sin 145° = 0,5736 enquanto o próprio ângulo é 2,531 rad — com um erro por um fator de 4,4, e a linearização sobre a qual assenta toda esta dedução já nada tem a dizer.

    T−T+=2+22−2=1+2=2.4142…\frac{T_-}{T_+}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{2-\sqrt2}}=1+\sqrt2=2.4142\ldots
Referências (1)
YouTube (1)
Up and Atom·The REAL Three Body Problem in Physics

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.