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Crescimento populacional e caos

Explore a dinâmica populacional: o crescimento logístico contínuo e o caminho do mapa logístico discreto rumo ao caos.

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O caos vem de picar o tempo em passos

A equação logística contínua se comporta notavelmente bem: qualquer que seja a taxa de crescimento que você lhe dê, a população sobe ou desce suavemente e se acomoda na capacidade de suporte, sem oscilação e sem surpresas, para sempre. Todo o comportamento selvagem aparece somente quando o mesmo modelo é escrito em gerações discretas, xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ). Ali o estado estacionário só permanece estável enquanto r está abaixo de 3, divide-se num ciclo de dois anos em r = 3, duplica de novo e de novo, e se dissolve em caos por volta de r = 3,5699. A mesma biologia, o mesmo parâmetro — a diferença é se a reprodução acontece continuamente ou uma vez por estação. O caos é uma propriedade do passo de tempo, não da população.

Por que as curvas de crescimento achatam num S

No modelo contínuo, uma população cresce mais depressa quando atinge metade da capacidade de suporte. À medida que se aproxima de K, a concentração de indivíduos reduz o alimento e o espaço disponíveis para cada um; o crescimento abranda e a curva estabiliza suavemente, assumindo a forma de um S. Selecione o separador Contínuo e observe como o crescimento máximo ocorre no ponto de inflexão, exatamente em N = K/2, e não no início.

Um caos que se resolve com uma fórmula

Em r = 4 o mapa discreto é totalmente caótico e, ainda assim, tem uma solução exata em forma fechada: escrevendo x = sin²(π θ), cada passo se reduz a dobrar θ e manter a parte fracionária. Em binário, dobrar apenas desloca os dígitos para a esquerda, de modo que a órbita "imprevisível" na verdade apenas lê os bits sucessivos do valor inicial. Ela só parece aleatória porque fixar θ exigiria precisão infinita.

Problema resolvido na íntegra

  1. O modelo discreto com 80 gerações 5 passos

    Determine onde uma população estabiliza quando a sua própria regra de crescimento não a deixa estabilizar. Este é o modelo Discreto, xt+1 = rdxt(1 − xt), com rd = 3,2, x0 = 0,1 e 80 gerações.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Um equilíbrio é um valor que a aplicação devolve inalterado. Resolvendo a equação obtêm-se duas raízes, e a útil é a fração não nula da capacidade de carga: 68,75% de ocupação.

      x∗=r x∗ ⁣(1−x∗) ⟹ x∗=1−1r=1−13.2=0.6875x^{*}=r\,x^{*}\!\left(1-x^{*}\right)\ \Longrightarrow\ x^{*}=1-\frac{1}{r}=1-\frac{1}{3.2}=0.6875

    2. A existência de um ponto fixo não é o mesmo que uma população alcançá-lo. Desloque ligeiramente a população e a aplicação multiplica esse erro pelo declive a cada geração, pelo que o equilíbrio só se mantém enquanto o declive for menor do que 1 em módulo. Em rd = 3,2 é de −1,2: o sinal de menos atira a população para o outro lado de 0,6875 a cada ano, e o 1,2 coloca-a mais longe do que no início.

      f′(x)=r(1−2x),f′(x∗)=r ⁣(2r−1)=2−r=−1.2,∣−1.2∣>1f'(x)=r(1-2x),\qquad f'(x^{*})=r\!\left(\frac{2}{r}-1\right)=2-r=-1.2,\qquad \left|-1.2\right|>1

    3. Assim, procure-se antes um par de valores que troquem de lugar. Qualquer valor que se repita ao fim de dois passos resolve f(f(x)) = x, que é uma equação do quarto grau — mas 0 e 0,6875 já a resolvem, visto que tudo o que se repete ao fim de um passo se repete ao fim de dois. Dividindo por essas duas raízes conhecidas, resta uma equação do segundo grau.

      f(f(x))−x=−r3 x(x−x∗)(x2−r+1r x+r+1r2)f(f(x))-x=-r^{3}\,x\left(x-x^{*}\right)\left(x^{2}-\frac{r+1}{r}\,x+\frac{r+1}{r^{2}}\right)

    4. As raízes da equação do segundo grau são o ciclo. A 80.ª geração da ferramenta é a menor delas, em todos os seis dígitos que apresenta; a 79.ª é a maior.

      x1,2=(r+1)±(r+1)(r−3)2r=4.2±0.846.4=4.2±0.9165156.4=0.513045,  0.799455x_{1,2}=\frac{(r+1)\pm\sqrt{(r+1)(r-3)}}{2r}=\frac{4.2\pm\sqrt{0.84}}{6.4}=\frac{4.2\pm0.916515}{6.4}=0.513045,\ \ 0.799455

    5. O ciclo é um ponto fixo de f aplicada duas vezes, pelo que se aplica o mesmo teste de estabilidade, e o seu declive é o produto dos declives nos dois pontos. Em 0,16, o ciclo reduz os erros por um fator de seis a cada passo duplo, razão pela qual 80 gerações a partir de um valor inicial nada próximo dele vão parar exatamente sobre ele. Aumente-se rd até que esse produto atinja −1 e o ciclo de período 2 perde, por sua vez, a estabilidade.

      μ=f′(x1)f′(x2)=4+2r−r2=0.16;μ=−1 ⟹ r=1+6=3.4495\mu=f'(x_1)f'(x_2)=4+2r-r^{2}=0.16;\qquad \mu=-1\ \Longrightarrow\ r=1+\sqrt{6}=3.4495

    Resposta

    A ferramenta apresenta 0,513045 e rotula o regime como Oscilação de período 2. Nem um único dígito desse valor é aproximado: trata-se de (4,2 − √0,84) / 6,4, um número algébrico, e o regime transitório extinguiu-se décadas de gerações antes do passo 80. O mecanismo vale mais do que o número. O equilíbrio em 0,6875 não desapareceu em rd = 3 — continua lá em 3,2, sendo ainda uma solução perfeitamente válida e simplesmente inalcançável, e o que o substituiu nasceu já estável. Isso volta a acontecer em 1 + √6 = 3,4495, depois em 3,5441 e em 3,5644: janelas de 0,4495, 0,0946 e 0,0203, cada uma aproximadamente 4,7 vezes mais curta do que a anterior. Uma sucessão geométrica decrescente tem uma soma finita, pelo que infinitas duplicações cabem abaixo de 3,5699, e para lá dessa fronteira já não resta qualquer ciclo, de comprimento algum, onde estabilizar.

    rn=3, 1+6=3.4495, 3.5441, 3.5644, … ⟶ r∞=3.5699r_n=3,\ 1+\sqrt6=3.4495,\ 3.5441,\ 3.5644,\ \ldots\ \longrightarrow\ r_\infty=3.5699

Percurso de aprendizagem

Crescimento limitado

Referências (1)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.