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Traçador de Raios em Lente Fina

Ajuste a distância focal e a distância do objeto para ver como uma lente fina forma imagens reais ou virtuais.

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Objeto e imagem podem trocar de lugar

A equação da lente delgada 1/v = 1/f − 1/u é simétrica em u e v, e esta ferramenta mostra isso. Carregue o exemplo convergente — f = 100 mm, objeto a 250 mm — e a distância da imagem marca 166,7 mm com −0,67×. Agora digite 166,7 no campo da distância do objeto: a imagem vai para 250 mm com −1,50×. Os dois aumentos multiplicados dão exatamente 1. Toda lente tem, portanto, duas posições do objeto que focalizam na mesma tela, uma ampliando e outra reduzindo, e a distância entre elas fornece f sem nunca precisar localizar o centro da lente — o clássico método de deslocamento de Bessel.

Dois raios já bastam

Uma lente delgada desvia todos os raios que saem de um ponto do objeto para que voltem a convergir em um único ponto imagem, então basta acompanhar dois raios fáceis. O raio paralelo sai da ponta na horizontal e depois passa pelo foco; o raio central atravessa o centro da lente sem se desviar. Onde os dois se cruzam está a imagem. Se só coincidem ao prolongá-los para trás, a imagem é virtual — o caso da lupa.

A imagem que voa pelo infinito

Aproxime o objeto do foco e veja a distância da imagem v disparar para +∞, sumir e reaparecer à esquerda como −∞: uma imagem virtual. Nada se teletransporta; a equação das lentes 1/v = 1/f − 1/u é uma transformação de Möbius (linear fracionária), e essas transformações tratam o infinito como um ponto comum. Ao cruzar u = f, a imagem simplesmente passa suavemente por esse ponto no infinito e muda de real para virtual.

Problemas resolvidos na íntegra

  1. Um objeto de 40 mm a 250 mm à frente de uma lente convergente 5 passos

    Um objeto de 40 mm encontra-se a 250 mm à frente de uma lente convergente de distância focal 100 mm. Determine a imagem — onde se forma, qual o seu tamanho, qual a sua orientação — e, em seguida, encontre a única coisa que esta lente não consegue fazer.

    1. Uma única equação rege toda a página. Isole a distância da imagem antes de introduzir quaisquer números, para que a aritmética seja feita apenas uma vez.

      1f=1do+1di⟹1di=1f−1do\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}

    2. Substitua. Ambos os inversos partilham o denominador 250, que é a totalidade do cálculo; a ferramenta apresenta este valor.

      1di=1100−1250=2.5−1250=1.5250⟹di=166.7 mm\frac{1}{d_i}=\frac{1}{100}-\frac{1}{250}=\frac{2.5-1}{250}=\frac{1.5}{250}\quad\Longrightarrow\quad d_i=166.7\ \mathrm{mm}

    3. A ampliação é a razão entre as duas distâncias, negativa porque uma imagem real é invertida. O objeto está para lá de 2f, pelo que a imagem teria de resultar menor — isso é o projetor a funcionar ao contrário.

      m=−dido=−166.7250=−0.67,h′=m h=−0.67×40=−26.7 mmm=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{166.7}{250}=-0.67,\qquad h'=m\,h=-0.67\times40=-26.7\ \mathrm{mm}

    4. A forma de Newton da mesma lei mede ambas as distâncias a partir dos pontos focais em vez de a partir da lente. O seu produto é exatamente f², para qualquer posição do objeto, o que é uma afirmação mais forte do que a forma inversa parece capaz de fazer.

      x=do−f=150,x′=di−f=66.7,x x′=150×66.7=10 000=f2x=d_o-f=150,\quad x'=d_i-f=66.7,\qquad x\,x'=150\times66.7=10\,000=f^{2}

    5. Agora pergunte quão próximos o objeto e a imagem podem estar. Minimizar a sua separação resulta numa disposição simétrica, e a resposta não depende de nada a não ser da lente.

      D=do+di,dDddo=0 ⇒ do=di=2f ⇒ Dmin⁡=4f=400 mm(here 416.7)D=d_o+d_i,\quad \frac{dD}{dd_o}=0\ \Rightarrow\ d_o=d_i=2f\ \Rightarrow\ D_{\min}=4f=400\ \mathrm{mm}\quad(\text{here }416.7)

    Resposta

    A imagem forma-se 166,7 mm atrás da lente, invertida, com 26,7 mm de altura. A última linha é a que é útil. O objeto e a imagem estão a 416,7 mm de distância neste caso, e nenhuma regulação da distância do objeto os aproxima a menos de 4f = 400 mm: à medida que aproxima o objeto do foco, a imagem afasta-se mais depressa do que o objeto se aproxima. Um projetor que tem de projetar uma imagem real num ecrã tem, portanto, uma distância de projeção mínima rigorosa, determinada apenas pela sua distância focal — razão pela qual uma sala pequena precisa de uma lente curta, e não de uma mais engenhosa.

    di=166.7 mm,m=−0.67,h′=26.7 mmd_i=166.7\ \mathrm{mm},\quad m=-0.67,\quad h'=26.7\ \mathrm{mm}
  2. A lupa, e por que razão o cabo diz 5× 7 passos

    Segure uma lente de 50 mm a 30 mm acima de um escaravelho de 40 mm. Onde fica a imagem, com que orientação e qual o seu tamanho? Explique depois por que razão a ferramenta apresenta 2,50× para uma lupa em cujo cabo está gravado 5×.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. O método não muda: aplicamos a mesma equação do problema 1, mas numa lente mais curta. A diferença é que agora o objeto se encontra no interior da distância focal, em vez de bem afastado dela.

      1di=1f−1do=150−130=3−5150=−175⟹di=−75.0 mm\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}=\frac{1}{50}-\frac{1}{30}=\frac{3-5}{150}=-\frac{1}{75}\quad\Longrightarrow\quad d_i=-75.0\ \mathrm{mm}

    2. A distância da imagem resulta negativa, e essa é toda a resposta para "onde". Ser negativa significa que os raios emergem da lente ainda a divergir, pelo que nunca se cruzam e nenhum ecrã captará nada. Prolongados para trás, parecem provir de um ponto a 75 mm de distância, do mesmo lado do escaravelho, que é onde o seu olho encontra a imagem.

    3. A ampliação transporta o sinal consigo. Um m positivo significa direita, pelo que o escaravelho surge direito com 100 mm de altura, e a ferramenta classifica a imagem como virtual e direita.

      m=−dido=−−75.030=+2.50,h′=m h=2.50×40=100.0 mmm=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{-75.0}{30}=+2.50,\qquad h'=m\,h=2.50\times40=100.0\ \mathrm{mm}

    4. Resolva a equação de forma genérica em vez de num cenário específico, e o comportamento de qualquer lupa revela-se numa única fração. Dentro da distância focal de uma lente convergente, a ampliação é positiva e maior do que um. Isto acontece a qualquer distância, sem exceções a memorizar.

      m=ff−do⟹do<f ⇒ m>1 and m>0 alwaysm=\frac{f}{f-d_o}\quad\Longrightarrow\quad d_o<f\ \Rightarrow\ m>1\ \text{and}\ m>0\ \text{always}

    5. Vale a pena verificar os dois extremos na prática. Aproxime a lente do escaravelho até assentá-la sobre ele e a ampliação passa a 1, que é o que faz uma lente pousada sobre uma página. Eleve-a em direção ao ponto focal e a ampliação dispara, embora a imagem fuja ao mesmo tempo para o infinito e o seu olho a perca. É por isso que a predefinição "Objeto no ponto focal" apresenta ∞ em vez de um número.

      do→f−: m→+∞,do→0: m→1d_o\to f^{-}:\ m\to+\infty,\qquad d_o\to 0:\ m\to 1

    6. De onde vem então o 5×? Não vem deste cálculo. O que uma lupa oferece é dimensão angular, não linear: o quão grande o escaravelho parece em comparação com tê-lo à distância mínima a que um olho relaxado consegue focar, convencionalmente 250 mm. Coloque o objeto no ponto focal, deixe os raios emergir paralelos, e a comparação passa a ser uma razão entre dois ângulos.

      M=h/fh/D=Df=25050=5×(D=250 mm)M=\frac{h/f}{h/D}=\frac{D}{f}=\frac{250}{50}=5\times\qquad(D=250\ \mathrm{mm})

    7. Traga antes a imagem para esse ponto próximo de 250 mm e a mesma lente atinge 6×. Ambas as convenções são utilizadas na prática. É por este motivo que uma lupa de 5× de um fabricante e uma de 6× de outro podem ser a mesmíssima peça de vidro. A ferramenta indica a ampliação linear à distância que efetivamente escolheu. Esse é o número que obteria ao deitar uma régua sobre a imagem. Já aquilo que o seu olho capta depende de onde segura a lente: traga a imagem para o ponto próximo e os dois coincidem.

      M di=−D=1+Df=1+5=6×M_{\,d_i=-D}=1+\frac{D}{f}=1+5=6\times

    Resposta

    A 75 mm da lente, do mesmo lado do escaravelho, direita, com 100 mm de altura e virtual. O valor de 2,50× que a página apresenta e o 5× no cabo medem grandezas diferentes: um é a razão entre a altura da imagem e a altura do objeto na posição em que está a segurar a lente; o outro é uma razão entre ângulos aparentes segundo uma convenção de observação fixa.

    di=−75.0 mm,m=+2.50,h′=100.0 mm  (virtual, upright)d_i=-75.0\ \mathrm{mm},\quad m=+2.50,\quad h'=100.0\ \mathrm{mm}\ \ (\text{virtual, upright})

Percurso de aprendizagem

Desvio da luz

Referências (2)
  • The thin-lens conjugate relation and the two-position focal-length method: Eugene Hecht, Optics, 5th edition, ch. 5. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.
  • Gaussian optics and conjugate planes, in full: M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th (expanded) edition, ch. 4. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64222-4.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.